水质评价问题的数学模型

1、水质评价问题的数学模型水质评价问题的数学模型摘要本文以某村四个水井因农业和生活排放废物使地下浅表水遇到污染为背景，通过对这四个水井的24个水质监测数据的统计，对四个水井的综合水质进行了细致的分析。针对问题一：首先从水质监测数据中选取相对有用的五种关键数据（分别为溶解氧，高锰酸盐指数，总磷，氨氮，粪大肠菌群）作为评价因子，对各个水井的各种污染物的检测数据进行无量纲标准化处理得到新数据并列出图表，并对比水质分级标准的三组数据，运用层次分析法建模，并利用MATLAB7.0.1编程求解，最后求得北井的水质最好，南井和东井水质次之，西井水质最差。此外，我们还运用了逼近于理想值的排序方法，即TOPSIS法

2、，首先确定四个水井水质监测数据中各项指标的正理想值和负理想值，然后求出各个方案与正理想值、负理想值之间的加权欧氏距离，由此得出各评价因子与最优数据指标的接近程度，作为评价水井水质优劣的标准。经计算得出四个水井的综合评价指标值分别为90，73，210，505，可见北井水质最好，南井水质较好，东井水质中等，西井水质最差。针对问题二：对四个井的地表水进行水质等级判断时，没有明确的界限，因此我们选择在模糊数学中采用隶属函数来描述水质分界，同时采用格贴近度公式，分别求得四个水井与三个水质等级的贴近程度，根椐择近原则，算出西井、东井均属于类，南井属于类，北井属于类。最后，我们就模型存在的不足之处提出了改进

3、方案，并对优缺点进行了分析。关键词：层次分析法；TOPSIS法；模糊数学统计算法；水质等级判断。目录摘要1一、问题重述3二、模型假设3三、符号说明3四、问题分析44.1问题一的分析44.1.1层次分析法54.1.2 TOPSIS分析法54.1.3 两种方法差异分析54.2 问题二的分析5五、模型的建立和求解65.1 问题一求解65.1.1各衡量指标数据的无量纲化处理65.1.2. 模型一 层次分析法85.1.3 模型二 TOPSIS分析方法125.1.4 两种方法的结果分析155.2 问题二：模糊性模型155.2.1 建立因素集155.2.2 设置偏大型柯西分布隶属函数165.2.3 综合指标

4、18六、 模型的评价与推广196.1 模型的评价196.1.1模型优点196.1.2模型缺点196.2 模型的推广20参考文献21附 录22 一、问题重述某村内有各相距500米以上的四口水井，分别位于村东、村西、村南和村北，由于农业和生活排放废物使地下浅表水遇到污染，水质监测资料如附件1所示. 需要解决的问题如下：（1）请用2种以上的数学方法对该村的四个井水的水质进行排序，并比较是否由于方法的不同导致存在着异，以及差异产生的原因。（2）请对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。（水质分级标准参考附件2，或自己查有关资料）二、模型假设（1）不考虑元素间的相互作用的影响（2）短期内重金属元素的

5、物理、化学变化及迁移对周围环境影响不大（3）假设附录中所给该村井水水质监测的数据真实，不会有大的偏差。（4）不考虑历史沉积的重金属的影响三、符号说明分别表示溶解氧，高锰酸盐指数，总磷，氨氮，类大肠菌群表示水质分级标准中的类，类，类。一致性比例一致性指标平均随机一致性指标U评定结果的指标集九项项污染指标值区间最小值区间最大值，区间边界权重V 定性评价的评价论域效益型指标成本型指标.权重矩阵 分别表示东井，西井，南井，北井四、问题分析4.1问题一的分析要对东井、西井、南井、北井四个水井的水质进行排序，并比较是否由于方法的不同导致存在差异，以及差异产生的原因，可从题目的要求中获知利用附录1中的水质监

6、测数据来进行四个水井的排名。经过分析和查阅相关资料，可以运用层次分析法和TOPSIS分析方法求解。在该问题中，我们选择从溶解氧、高锰酸盐指数。总磷、氨氮、粪大肠菌群这几个方面(PH值为无量纲量在此不讨论，之所以选取这五个指标，是由于附件二中，关于水质分级标准，除这五个指标外的其他指标项目在分级时至少有两个标准值是相同的，对于水质的衡量没有太多帮助)来衡量四个水井的水质情况,从而建立了层次结构模型和TOPSIS分析模型。4.1.1层次分析法(1) 最大特征值的MATLAB计算方法：,其中为待计算特征值的矩阵，为对角矩阵，其对角元素为的特征值，最大的即为 。(2)一致性指标计算方法：（其中为矩阵A

7、的最大特征值，为矩阵的阶数）(3)随即一致性指标 的计算方法：RI 与n 有如下关系，如表1234567890 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45(4)权重计算方法计算矩阵的特征根及特征向量，将所求的特征向量单位化后得到的就是权重值。4.1.2 TOPSIS分析法此外，该问题还可以应用TOPSIS方法是一种逼近理想解的排序法。其基本思想是把综合评价问题转化为求各种评价对象之间的差异“距离”，即按照一定的法则先确定理想解与负理想解，然后通过计算每一个被评价对象与理想解和被理想解之间的距离，再加以比较得出其排序。4.1.3 两种方法差异分析由于方法的不同，对数

8、据的使用及舍入也有所不同，加之分析问题的角度不同，所以结果可能出现差异，不过可以确定，尽管计算方法存在不同，如果两种方法都计算准确的话，结果不会有太大出入。 4.2 问题二的分析通过仔细分析题目的要求，得知题目要求我们找出对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。于是我首先想到了利用模糊数学模型中的一个偏大型柯西分布隶属函数去处理，据模糊识别原则中的择近原则，同时运用格贴近度公式，求解出四个与I类、类、类哪个水质等级标准更符合。五、模型的建立和求解5.1 问题一求解先对各评价因子进行无量纲化处理，再分别应用层次分析法和TOPSIS分析法建立模型求解。5.1.1各评价因子数据的无量纲化处理 在

9、利用SPSS统计软件数据进行聚类分析的时候，因为单位不统一需要进行无量纲化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量除以该变量的平均值，即， (1)标准化以后各变量的平均值都为1，标准差为原始变量的变异系数。该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。对极大型指标溶解氧的指标做极小变换，即取倒数变换，其中。用EXCEL方法作出标准化前后的各变量数据如表1所示： 表1 各指标原数据及无量纲化后数据样品编号溶解氧高锰酸盐指数总磷氨氮类大肠菌群东井0.19623.80.7810.7900西井1.1116.20.98131805南井0.1

10、561.90.50.05600北井0.1391.70.30968平均值0.4002510.90.645.93751068.25无量纲化处理后的各指标数据东井0.2.1.218751.0.西井2.1.1.531252.1.南井0.0.0.781250.0.北井0.0.0.4687500.水质分级标准I类0.1320.020.15200类0.1740.10.52000类0.260.2110000平均值0.40.0.554066.667无量纲化处理I类0.780.50.18750.0.04918类1.0210.93750.0.类1.21.51.8751.2.表中所示分别为四个水井的五项评价因子的源数

11、据和无量纲化后数据，以及水质分级标准的源数据和无量纲化后数据。五种评价因子数据表示如下：5.1.2. 模型一 层次分析法（1）建立层次结构模型水质的分级是由一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这个问题的决策提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。（2）构造判断矩阵层次结构反映因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心中，它们各有一定的比例。设现在要比较的5个因子对水质的影响大小，我们采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法，即每次取两个因子和，以表示和对水质的影响大小之比，全部比较结果用矩阵表示，称为之间的成

12、对比判断矩阵，容易看出，若与对的影响为，则与对的影响为。设分别表示溶解氧，高锰酸盐指数，总磷，氨氮，粪大肠菌群，则准则层的判断矩阵为根据题中所给数据得到决策层的判断矩阵如下，其中分别表示东井，西井，南井，北井 1 1/2 1 1 2 1 3 3 1 1/3 1 2 1 1/3 1/2 1 1 1/2 1/3 1/3 2 1 1/4 1/4 3 4 1 1 3 4 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1/2 1 1 1/2 1/3 1 1 1 1 4 6 1 1 2 7 1/4 1/2 1 2 1/6 1/7 1/2 1 1 1/2 1 1 2 1 3 2 1 1/3 1 1 1 1/2

13、 1 1（3）层次单排序及一致性检验对应于问题一，则是用MATLAB工具计算出矩阵对应于最大特征值的特征向量，归一化处理后即为措施层中三个等级对于准则层中五个污染物指标相对重要性的排序权值。同时，可以由是否等于矩阵的阶数来检验矩阵是否为一致矩阵。由于特征根连续的依赖于，故比大得越多，的非一致性程度也就越严重，对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出在对因素的影响中所占的比重。对所得到的判断矩阵做一次一致性检验，以便决定是否能接受它。判断矩阵的一致性检验步骤如下：（1）计算一致性指标，其中为判断矩阵的阶数5通过MATLAB编程(见附录1)得到判断矩阵的为5.6579，为0.1645。（2）查找

14、相应的平均随机一致性指标。对于，的值如表2所示：表2：一致性指标1234567890 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45（3）计算一致性比例当时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。由上两个步骤算出为0.0762，则该判断矩阵的一致性是可以接受的。（4）层次总排序及一致性检验由上面得到的措施层各等级对准则层中各个衡量指标的权重向量,最终要得到最底层中各方案对于目标的排序权重，从而进行排序。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。准则层（层）包含共5个元素，他们的层次总排序权重分别为，方案层包含3个因素,它们关于上一层次单排序权重分别为，关于总目标的权

15、重按照来计算。最后得到各水井的综合评价为根据模型的特点，可知，最后综合评价值越小，对应水井的水质越好，则可以看出，北京的水质最好，东井和南井水质次之，西井水质最差。5.1.3 模型二 TOPSIS分析方法TOPSIS方法是一种逼近理想解的排序法。其基本思想是把综合评价问题转化为求各种评价对象之间的差异“距离”，即按照一定的法则先确定理想解与负理想解，然后通过计算每一个被评价对象与理想解和被理想解之间的距离，再加以比较得出其排序。TOPSIS分析方法的解题步骤如下: （1）设有4个目标，5个属性，对其中第个目标的第个属性的评估值为,则初始判断矩阵V为：(2)由于各个指标的量纲可能不同，需要对决策

16、矩阵进行归一化处理：其中 =/(3)根据DELPHI法获取专家群体对属性的信息权重矩阵，形成加权判断矩阵： = （4）根据加权判断矩阵获取评估目标的正负理想解： 正理想解： 负理想解： 其中，为效益型指标，为成本型指标.（5）计算各目标值与理想值之间的欧氏距离： （6）计算各个目标的相对贴近度：（7） 依照相对贴近度的大小对目标进行排序，形成决策依据.，表3如下：表3 各水井的决策依据目标溶解氧高锰酸盐指数总磷氨氮粪大肠菌群东井5.123.80.7810.7900西井6.916.20.9813.0 1805南井6.41.9 0.15 0.05600北井7.21.7 0.03 DL968初始条件

17、：根据表l的数据生成初始判断矩阵V利用德尔菲法则，生成集结后的群体偏好矩阵： 正、负理想解如下：（8）结果(计算贴近度)：，依据从小到大的顺序对决策方案进行排序可知，结果表明，北井水质最好，南井水质较好，东井水井一般，西井水质最差。表4 综合评价值四个水井的综合评价指标值地区东井西井南井北井综合评价指标值21050090735.1.4 两种方法的结果分析由层次分析法得水井的综合评价为，因为综合评价值越小，对应水井的水质越好，由此可知北井的水质最好，南井、东井水质次之，西井水质最差。而由TOPSIS分析方法得出的结果是，由于该模型的特点是数值越小，水井水质越好，该结果表明北井水质最好，南井水质较

18、好，东井水井一般，西井水质最差。由上可知，两种方法的判断结果基本一致。5.2 问题二：模糊性模型在第二个问题中，我们在模糊数学中采用隶属函数描述水质分界，体现了实际界限的模糊性，使评论结果更接近客观实际，运用模糊统计方法，基于模糊统计的基础上根据模糊统计实验的客观存在性来确定的，所谓的模糊统计实验包含以下四个要素(1)论域；(2)中一个固定元素；(3)中一个随机变动的集合（普通级）；(4)中一个以作为弹性边界的模糊集A,对的变动起着制约作用，其中,或者,致使的关系是不确定的。5.2.1 建立因素集假设做n次模糊统计实验，则可计算出对的隶属频率=的次数/n设评定结果的指标集为U=（），（i=1

19、2 3 4 5 ）分别表示溶解氧，高锰酸盐指数，总磷，氨氮，粪大肠菌群。V表示定性评价的评价论域，（），分别表示I类，类， 类，上每个有序数对（）的隶属度。有序对（）指定的隶属度如表5所示表5V定性评价的评价论域y1y2y3U评定结果的指标集x10.450.350.2x20.30.340.36x30.50.30.2x40.60.30.1x50.560.10.34由此确定一个从到的模糊关系，这个模糊关系函数是一个阶的矩阵，记为5.2.2 设置偏大型柯西分布隶属函数我们假设溶解氧 高锰酸盐指数 总磷 氨氮 类大肠菌群所打分数分别为4分、4分和5分、3分，2分，从中可以看出所打分数越高，所占的比重就

20、越大，所以各个污染物的综合分数不能简单地加权求和。据模糊识别原则中的则近原则，设,(i=1,2,n),若存在，使则认为B与最贴近，即判断与为一类，该原则称为择近原则。在该问题中，已知有三个等级的水质分类标准类、类、 类，而需判断的四个井的地表水设为,反映井地表水水质的因素有9个标准，构成论域，其中=（PH），（溶解氧），（锌），（挥发酚），（高锰酸盐指数），（化学需氧量），（总磷），（氨氮），（粪大肠菌群）设四个井对9项指标的数值为：=7.5 2 15 0.15 0.02 0.05 0.002 200=6 4 15 0.5 0.1 1.0 0.002 20000=5 6 20 1.0 0.2

21、1.0 0.005 10000待别进行水质等级判断的四个井的地表水的各项指标为=0.196 0.15 0.006 23.8 51.4 0.78 10.7 900=1.11 0.15 0.003 16.2 65.1 0.98 13.0 1805=0.156 0.27 0 1.9 10 0.15 0.05 600=0.139 0.19 0 1.7 10 0.03 0 968设,则是模糊集的贴近度，叫做的格贴近度，记为。利用格贴近度计算公式计算可得N(,)=0.3, N(,)=0.5, N(,)=0.2N(,)=0.6, N(,)=0.3, N(,)=0.1N(,)=0.2, N(,)=0.2, N

22、(,)=0.6N(,)=0.5, N(,)=0.3, N(,)=0.2我们根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数其中，为待定常数。根据实际情况，我们取隶属度为； ； 。将其代入函数解得：，于是，隶属函数为在本题中，我们所要求的是样本点x变量类型的数据表，该问题中有24个变量（由于铜、氰化物、汞、镉、六价铬、铅指标均DL,因此不予考虑，只需分析18个变量即可），对它们分别进行3次数据处理，得到3个样本点（），则所构成的数据表X可以写成一个18x3维的矩阵。，其中i=1,2,18.称为第 i个样本点。样本均值为，i=1，2，,18.样本协方差矩阵及样本相关系数矩阵分别为 由水质分级标准参考附件2所给

23、数据，根据得到的若干相关数据，寻找因变量与自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数据拟合的最好因此凭借经验、先验知识或对数据的直接观察决定，用最小二乘算法计算函数中的待定系数，用方差分析方法对模型进行分析，对拟合的优劣给出评价，简单的说，回归分析就是对你和问题做的统计分析。(1)建立因变量对之间的回归模型；(2)对回归模型的可信度进行检验；(3)判断每个自变量对y的影响是否显著；(4)诊断回归模型是否符合这组数据；(5)利用回归模型对进行预报或控制。该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断，得出东井、西井属于类，南井属于类，北井属于类。5.2.3 综合指标我们把带入隶属函数的反函数，求得各个因

24、子的综合得分，通过分析，可以对该村的四个井水的水质做出定量的综合评价，得出东井、西井属于类，南井属于类，北井属于类。 六、 模型的评价与推广6.1 模型的评价6.1.1模型优点第一 问题一从不同角度对四个水井的水质状况作出了定量综合评价，并对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断，分析各水井水质污染情况，通过应用层次分析法和两个角度对四个水井近的水质情况作出定量的综合评价，我们选择从溶解氧、高锰酸盐指数。总磷、氨氮、类大肠菌群这几个方面来衡量四个水井的水质情况，同时应用TOPSIS分析方法理论及其主要思想，运用数学理论给出具体求权重的方法，突出其客观公正性的原理，从多个指标对水井的隶属等级状

25、况进行综合性评判，比较全面，同时也较好地反应了四个水井的水质污染趋势；第二 模糊数学模型问题二的数学模型基于模糊识别原则中的则近原则，有很大的合理性；且计算结果与实际的吻合度较好，误差相对比较小；第三 拟合用拟合的方法确定未知参数，准确地模拟出四个水井与各水质类别所占的比例的关系，与所给数据吻合程度较高；第四 隶属函数用数学软件MATLAB和EXCEL描绘出关系图，结果比较清晰，便于比较。模糊数学中采用隶属函数描述水质分界，体现了实际界限的模糊性，使评论结果更接近客观实际。采用地表水环境质量标准本身确定各个评价因子的隶属函数，方法简便，结果可信度高。因子的选择突出了主要因素，而不是考虑或 较少

26、考虑其他次要元素，既反映客观实践，又能简化计算。 6.1.2模型缺点第一，采用层次分析法，主观因素的影响很大，它无法排除决策者个人可能存在的严重片面性，而且比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。 第二， 逼近于理想值的排序方法的权重信息是事先给定，因此结果有一定主观性；另外此方法在应用中若有新增加的方案时容易产生逆序问题，需要对其进行更加具体深入的分析研究。6.2 模型的推广层次模型可以运用来解决我们日常生活中很多决策方面的问题，而且比较简单处理，特别适合运用到政府部门对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划做出决策。模糊数学模型应用广泛，遍及理、工、农、医及社会科学的各个领

27、域，其中多种隶属函数的确定也可以使经济、社会管理中的许多问题得到很好的解决。参考文献1 姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版，2003年。2 程声通，陈毓龄，环境系统分析，北京：高等教育出版社，1990年。3 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005年。4 高廷耀，水污染控制工程，北京：高等教育出版社，1989年。 5 岳超源 决策理论与方法， 北京：科学出版社6 吴国金 模糊数学法在地下水污染哦评价中的应用7 王叔文， 刘臣 水环境评价的模糊数学法8 刘琼荪，龚劬，何中市，傅鹂，任善强，数学实验，北京：高等教育出版社，2004年。9 赵东方，数学模型与计算，北京：科学出版社，2007年。 附 录附录1：问题一中层次分析法的运行程序如下：clcclear allA=1 1/2 1 1;2 1 3 2; 1 1/3 1 1;1 1/2 1 1;%可换其他判断矩阵ri=0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45;x,y=eig(A);lamda=max(diag(y);num=find(diag(y)=lamda);w0=x(:,num)/sum(x(:,num);cr0=(lamda-3)/2/ri(3);w0,cr0,lamdaclcclear allW=0.1884 0.