等差数列的性质练习含答案

1、课时作业 7 等差数列的性质时间： 45分钟 满分： 100 分课堂训练1. 若一个数列的通项公式是an= k n+ b(其中b, k为常数)，则下列说法中正确的是 ()A. 数列an 定不是等差数列B. 数列an是以k为公差的等差数列C. 数列an是以b为公差的等差数列D. 数列an不一定是等差数列【答案】 B【解析】an+1 an = k( n +1) + b kn b = k.2. 等差数列中，：若 a3+su + a5+a6+a7 + a8+ a9= 420，贝U a2 + aio等于 ()A. 100B. 120C. 140D. 160【答案】 B【解析】t a3 + a4+a +

2、a6+a7+a8 + a9= 7a6= 420,则 a6= 60,+ a10 = 2a6= 2 x 60= 120.3. 在等差数列 an 中, a15= 33, a25= 66,则 a35= .【答案】 99【解析】a15, a25, a35成等差数列，二 a35= 2a25a15= 99.4. 已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21,前三项之积 为231，求数列an的通项公式.【分析】 关键是求出数列an的首项和公差.【解析】 由于数列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为a d+a + a+ d = 21,ad, a, a + d,于是可得a d a a+ d = 231,3a =

3、 21,2.2a a d=231,a= 7, d2= 16,由于数列为单调递增数列，因此 d = 4, a1 = 3,从而an的通项公 式为 an=4n 1.【规律方法】此解法恰到好处地设定等差数列的项，为我们的解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量.一般来说，已知 三个数成等差数列时，可设成：a d, a, a+ d,四个数成等差数列时， 可设成：a 3d, a d, a+ d, a+ 3d,其余依此类推，如五个可设成： a 2d, a d, a, a + d, a + 2d.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1 .在等差数列an中，as= 3, a9 = 5,贝卩a?=()A

4、. 4B. 4C. 7D. 1【答案】 A、 1 1【解析】由题意知a?为a5, as的等差中项，故a7=(a5 + aj = ?X (3 + 5) = 4.2 .在等差数列an中，右 a3+as + a7 + a9+ an = 100,则 3a9 a13 的值为()B. 30A. 20【答案】C【解析】丁 a3+ aii = a5+ a9 = 2a7,a3 + a5 + a7 + a9 + an = 5a7= 100,a7 = 20.3a9 ai3=3( a7 + 2d) (a7 + 6d) = 2a7= 40.3. 在等差数列an中，ai + a4 + a7 = 39, Sb+a5 + a

5、8= 33,贝U a3+a6+ as的值为()A. 30B. 27C. 24D. 21【答案】B【解析】 方法一：由等差数列的性质知，a1 + a4 + a7, gh + a5+ a8, a3 + a6 + a9成等差数列，所以(a + a4 + a7)+ (a3 + a6 + a9)= 2( a2 + a5 + a8),贝卩 a3 + as + a9= 2 x 33 39=27.方法一:(a2 + a5 + a8) (ai + a4 + a7)=3d(d为数列an的公差)，则d=- 2,a3 + a6 + a9 = (a2 + a5 + a8)+ 3d = 33 6= 27.4. 把100个

6、面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较一 1大的二份之和的7是较小的两份之和，问最小的1份是()【答案】C【解析】设这5份为a 2d, a d, a, a + d, a+ 2d,1由已知得 a= 20,且7(a + a+d+a + 2d) = a 2d + a d,555d= 6，二 a 2d= 3.5. 等差数列an的公差d0(舍去)，a4 a2当 a2= 6, a4= 2 时，d= 2.所以数列的通项公式为 an = a2+ (n 2)d= 6 + (n 2) x( 2)=2n+ 10.即 an= 2n +10.6. 设an, 4都是等差数列，且 a1 = 25, b= 75, q

7、+ b2= 100,则a37+ b37等于()A. 0B. 37C. 100D. 37【答案】C【解析】设an , bn的公差分别是d1, d2, A (an+ 1+ bn+1) (an+ bn) = ( an+ 1 an) + ( bn+ 1 bn) = d1 + cb,A an + bn为等差数列.又t ai + b = a? + b2= 100,/ a37+ b37 = 100.故正确答案为C.7. 一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正 数，第七项起为负数，则它的公差是()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】设该数列的公差为d,则由题设条件知：a6= ai

8、 + 5d0, a?= ai + 6d 235,又t ai = 23,d23石,又t d是整数，二d= 4,故选C.8已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为 ai、b,且 ai+ bi = 5, ai, bi N+.设 6= abn(n N+)，则数列Cn的前 10项和等于()A. 55B. 70C. 85D. 100【答案】C【解析】由题Cn= abn( n N+),则数列Cn的前10项和等于 abi + ab+ abi。= abi + ab + 1+ + ab + 9.t ab = ai+ (bi 1) = 4,ab + abi+1+ + ab + 9 = 4+5+ + 1

9、3= 85.二、填空题(每小题10分，共20分)9已知 an 为等差数列， a1+ a3+ a5= 105， a2+ a4+ a6= 99，则 a20【答案】 1【解析】t a1+ a3+ a5= 105，即 3a3= 105，. a3= 35，同理 a4= 33，. d= a4 a3= 2，. a20= a4+ (20 4) d= 1.10等差数列 an 中， a1+ a4+ a10+ a16+ a19= 150，则 a18 2a14=【答案】 30【解析】 由 a1+ a4+ a10+ a16+ a19= 5a10= 150，得 a10= 30， a18 2a14= ( a10+ 8d)

10、2( a10+ 4d) = a10= 30.三、解答题(每小题 20分，共 40分解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 )11(1) 已知数列 an 为等差数列，若 a1 a5+ a9 a13+ a17= 117， 求 a3+ a15.(2) 在等差数列 an 中，已知 a2+ a5+ a8= 9， a3a5a7= 21 ，求数列 an 的通项公式【解析】(1)方法一：t数列an是等差数列，.设数列an的 首项为a1,公差为d,则由题意得a1 (a1 + 4d) + (a1 + 8d) (a1 + 12d) + ( a1+ 16d) = 117，. a1+8d=117.从而 a3+

11、a15= ( a1+ 2d) + ( a1+ 14d) = 2( a1+ 8d) = 234.方法二：由等差数列的性质知，ai +知=a5+ ai3= a3+ ai5= 2a9.ai a5 + a9 ai3 + ai7= 117,a9= 117, a3 + ai5=2a9= 234.(2) - a2 + a5 + a8= 9, a3a5a7 = 21, a2+ a8= a3 + a7= 2a5, - - a5 = 3, a3+ a7= 2a5= 6，a3a7= 7，解得 a3= 1，a7= 7 或 a3= 7，a7= 1.又 a7= a3 + 4d,.当 a3= 1, a7= 7 时，可得 d

12、= 2； 当 a3= 7，a7= 1 时，可得 d= 2.根据 an=a3 + (n 3) d,可得当 a3 = 1, d = 2 时，an=2n 7 ；当 a3= 7, d= 2 时, an= 2n+ 13.12.已知无穷等差数列an中，首项a1= 3,公差d= 5,依次取 出序号能被 4 除余 3 的项组成数列 bn(1) 求 b1 和 b2；(2) 求4的通项公式；(3) bn中的第503项是an的第几项【解析】 数列bn是数列an的一个子数列，其序号构成以 3 为首项，4为公差的等差数列，由于an是等差数列，则bn也是等差 数列.(1) t a= 3, d= 5,. an = 3 + (n 1)( 5) = 8 5n.数列an中序号能被4除余3的项是an中的第3项，第7项，第 11 项，二 b1 = a3= 7, b