断裂力学基础

1、57；二。例如， Orowan（1949）得到(5.1)(5.2)(5.6)(5.7)第五章线弹性断裂力学 5.1弓I言断裂力学是从材料强度问题提出的。随着固体物理、物理力学等学科的发展，人们已能够大 致从理论上计算出某些固体材料（特别是单晶体）的理论强度G、e/2二，Zhurkov（ 1957）得到t ：、E。其中e为杨氏模量。但试验中测得的实际材料强度远远低于计算所得的理论强度，两者往往相差几个数量级。这一情况吸引着不少科学家去研究现有材料的强度比理论强度低的原因。人们很早就认识到这是由于实际固体中存在着大量缺陷所致。 但这种认识在很长一段时期里只停留在定性说明阶段。而对于缺陷如何定量地影

2、响材料的强度， 直到断裂力学的产生，才得到较明显的进展。 4.2介绍了含椭圆孔平板受拉伸时的弹性解。当拉伸应力 匚垂直于椭圆长轴时，长轴端点处的环向应力最大。由4.2可得Gax =1 - 2a /b c又椭圆长轴端点处的曲率半径为T二b2/a,因此（5.1）又可以改写成-max =12. a /因而应力集中系数:.为(5.3)当T很小时，很大。当b 0时，椭圆孔就退化为长为 2a的直线裂纹。更一般的提法是 T 0。 按上述计算公式得到。这样的结果不能用传统的连续介质力学的观点来解释。Griffith没有直接考虑裂纹尖端的应力，绕过这一矛盾，而计算由于裂纹的存在，整个弹性板所释放的弹性势能为（参

3、看 5.4）(5.4)为简便起见，设板的厚度为 1.其中E为杨氏弹性模量。由于裂纹的出现，增加的表面能为:(5.5)其中r为单位面积的表面能。Griffith认为当裂纹端部扩展一小段长度da（裂纹长度从2a宀2a+2da）时，弹性势能的释放率dWc/da，如果大于或等于表面能的增加率dS/da，则裂纹处于不稳定状态，势必进一步扩展，因此而得到裂纹扩展的条件为dW dSda da将（5.4）, （5.6）代入上式，得临界应力d g为:G = . 2E 丨 / 二a(1 - 2)(平面应变其中e、r是材料常数。上式最引人注目这之点在于g不仅与材料性质有关，而且与裂纹长度有密切关系。它预言对于同一种

4、材料，如果a不同，二g也不同，但二g，a应该为常数。为了验证自己的理论，格里菲斯进一步做了实验。他用玻璃管及玻璃球作内压实验，用金刚 钻在试件上刻划出不同长度的人为刻痕（预制裂纹），用实验测出对于不同裂纹长度的临界应力，其实验结果与理论预言符合是令人满意的。Griffith的工作从思想方法上看，在两点上突破了以往连续介质力学中研究材料强度时的传统 观念：（A） Griffith理论则建立在普遍适用的能量概念的基础上。（B）以整个包含裂纹的物体作为研究对象，突破了传统的局部分析方法。Griffith被认为是断裂力学的开创人。Griffith的工作建立在弹性力学的基础上，因此只适用于所谓“理想脆性

5、材料”，即材料直到断裂之前，应力应变关系仍是弹性的。这种破坏情况称之为脆性断裂，简称脆断。由于在当时的生产力水平条件下(如工程上多使用强度较低的韧性材料)，发生脆断事故的情况不多，所以Griffith的工作在长达几十年的时间里没有受到足够的重视。随着生产与科学技术的发展，新的高强度钢，超高强度钢被研制出来并得到广泛使用。再加 上机械与设备的大型化，焊接工艺的大量使用，工作条件的复杂多样化(低温、原子辐射、化学 腐蚀等)各种原因，工程上发生了一系列所谓低应力脆断事故。(即工作应力低于屈服应力时发生的脆性断裂)。直接导致断裂力学诞生的，是1950年美国北极星导弹发动机壳试验时发生的爆炸事件。试验爆

6、炸时的工作应力只有700兆帕，远远低于其屈服应力 1600兆帕。事故发生后美国国防部建议美国材料试验学会(ASTM)及美国国家宇航局(NASA)组织专门的机构研究断裂力学。Irwin与Orowan研究了材料的塑性对裂纹扩展的影响，建议将 Griffith公式：G =、2E 丨 / 二a修改为二 g = 2 E (厂-Tp) / 7：a(5.8)其中rp为塑性功。根据低碳钢实验结果估计r p比r大三个数量级以上。1 / 2Sneddon(1946)从数学力学出发，证明了裂纹前缘的应力分量具有r -阶的奇异性。Irwin(1957)提出了应力强度因子的概念。这个概念在断裂力学中占有重要地位。断裂韧

7、性测试技术也随之建 立和发展起来。至此线弹性断裂力学已奠定了坚实的基础。在六十、七十年代里断裂力学得到飞速的发展。Dugdale(1960)得出考虑裂纹尖端塑性区的带状模型。Wells(1961)提出了裂纹顶端张开位移准则。Rice(1968)提出用J积分作为断裂扩展的判据。Rice，罗森兰和 Atkinson几乎同时于1968年得到了硬化材料中裂纹端部弹塑性应力渐近近似解(通常称为R. H. H.解)。上述代表性的工作标志着弹塑性断裂力学取得了相当的进展，但是比之线弹性断裂力学，仍然存在不少根本性的有待解 决的问题。在断裂动力学方面，莫特(1948)将动能项引入 Griffith理论的能量判

8、据中，但实质上仍然是准 静态问题。Broburg (1960)得到了裂纹匀速扩展的解。Yoffe(1951)计算了一个匀速扩展但后面不断愈合的裂纹问题。薛昌明 (G.C.Sih)、Kostrov(1966, 1975)及Fruend(1972)等人的工作进一步丰富了 这个领域。范天佑(1990)详细介绍了断裂动力学的基本理论，并作出了补充和发展。Dmowska和Rice(1983)详细综述了断裂力学理论及其在地震学中的应用。 5.2柯洛索夫一Muskhelishvili应力函数为了进一步深入分析断裂力学的有关问题，首先必须研究裂纹端部的应力场与位移场。6.2.1裂纹的三种基本类型Irwin将简

9、单裂纹分为三种类型(图6.1)。丨型裂纹代表在垂直于裂纹面的拉应力作用下，裂纹 表面位移垂直于裂纹面的情况，所以又称之为张开型。II型及III型裂纹代表在剪应力作用下，裂纹表面互相滑移的情形，称之为剪切型裂纹。其中II型裂纹称为面内剪切型裂纹；III型裂纹称之为面外剪切型或反平面裂纹。更复杂的裂纹，可以由这几种简单裂纹组合而成，称之为复合型裂纹。复合型裂纹在第六章 中讨论。在工程中，I型裂纹最重要。因此，I型裂纹也研究得最充分。在地学中，剪切型裂纹则具有 特殊重要的意义。522柯洛索夫一Muskhelishvili函数分析裂纹端部的应力场与位移场有许多种数学方法，这里我们只介绍复变函数方法。在

10、第五 章中，我们已经介绍了平面弹性力学问题和复变函数解法。以下就I型和II型两种基本裂纹进行讨论。5.2.1.1 I型裂纹讨论如图5.2中所示的问题。一无限大平板，板内有一长为2a的穿透裂纹，边缘受到分布力Cxx =o ,匚yy - ；，.xy 的作用。本问题即为 Griffith所研究过的单轴拉伸的例子本问题的边界条件如下：当|z|二 0_ XX在裂纹表面上(y=0, |x|a),yy - 0 ,图6.2单向拉伸 的中心穿透 裂纹0-xy(5.9)(5.10)利用 - .( ) =a( )/2，把z平面上的裂纹变换为平面上的单位圆(参见 4.3- 4.6)。利用向圆变换(Muskhelish

11、vili, 1953)，可得其解为:(Z)Gx ；yy z 二= 4Re(z)z .：代入柯洛索夫公式，当 ZT8,；yy -；xx 2i，xy z “： - 2 h ( Z )宀(Z ) ：-二(5.11)(1)虚部为 xy 1 z I： ： = 0实部为(yy -xx)z .y(2),联立，得Cxx =0于裂纹面上(y =0,Tyy =；门:。证明无穷远处边界条件已经满足。I X | :： a ),虚部为1 = 0xy实部为二 yy:二*x:二 yy =4 Re I(z) -y：-Cxx- 2i .xy =2z“(z) ：W(Z)=(4), (6)联立，得Cyy =0,可见内边界条件也是满

12、足的。(a)y ?不难看出，若；_-x;- =0，全部问题 Cyy MO, ,y J两个问题的线性叠加%)曲/4, 代入柯洛索夫公式，得到CTxx =za2 一(5.15)2中ia 2z 2 3/2z a(3.29)就可以得到裂纹周围的应力场和位移场。但是，以下我们介绍另一种应力函数，还可以更简 便地得到裂纹周围的应力场和位移场。 5.3 Westergaarc应力函数Westergaard(1939)提出一种方法，对于具有某种对称性如图5.2，图5.3等所示的情况，可以用一个复变函数 Z(z)(称为Westergaard函数)代替.:(z),(z)两个函数，使问题得到简化。由数学物理方法，任

13、一复变解析函数，其实部和虚部满足柯西-黎曼条件，因此其实部和虚部必然分别是调和函数，即V 2U i = 0 , i =1,2,3。设U 1 , U 2和U 3分别为x, y的调和函数，则不 难证明U (x, yU 1 xU 2 yU 3 定满足双调和方程4U =0。(5.16)Westergaard(1939)定义了一个复应函数Z (z)，设为解析函数。记 Z , Z， 为其导数,么亍，表示它的积分。根据解析函数的性质，其导数和积分仍为解析函数。应力函数与应力 分量之间的关系应满足(3.15)式。这样，应力函数就满足了双调和方程的条件。 5.4 I型裂纹对I型裂纹，Westergaard提出的

14、应力函数为二 U (x,y)二 Re Z , ( z) - y Im Z , ( z)(5.17)根据(5.16)的证明可知，(5.17)所定义的U是平面问题的应力函数，即满足双调和方程。(5.17)代入(3.15),得到 *XX；：2U(Re Z. y Im Z.) -2:y:y :y=-Im Z, - Im Z, y Re Z ,= Re Z , -y Im Z,.7*注5.1 :对上式的中间推导运算规则给出以下证明：由Z = Re Z i Im Z ,Z = Re Z i Im Z ,：ZRe ZIm Zi;:x:x:xdZ dz.Z:xdz dx汕 Z =ImZ(A5.1)；：Re Z

15、Re Z ,又7为解析函数，应满足柯西-黎曼条件，即:Re Z ； Im Zjx_：yiRe Z ；： Im Ziy_：x得到：Im Z=Re Z:Re Z-Im Z.：y(A5.2) Re Z, (1 、. )y Im Z2(1 、.)-)Re Z. (1 心;:)y Im Z. -A(1 - v)利用(2.42)式,xx二.：u / ;：x ,积分可得到位移,对二yy和-xy也可以进行类似的计算。但为了满足远场不同的边界条件，还需要在(5.17)式中添加一项双调和实函数U 1，即U (x,y)二Re (z) - y Im (z) U (5.18)设2 u ； - _ Ax /2(5.19)

16、其中A为待定常数，与远场边界条件有关。这样U (x, y)仍为双调和函数。得到Cxx = Re Z, z)，y Im lZ1(z A 五 =Re Z,z) |+y Im JZjzJA,(5.20)品=yRe Zjz)利用虎克定律得到应变；xx , ；yy ,；xy ,再利用应变与位移的关系做积分，就得到(注5.2)I k 1 i 2 -uRe Z y Im Z Ax(5.21)I 2丿 fk +12 !v = Im Z y Re Z AyI 2丿注 5.2： (5.21)式的推导(褚武扬，1979, 253254)，利用虎克定律(3.8),1 1论二 E ,(匚xx i：；yy)=( 1；yy

17、(二 yy -；:；xx)二(1Eu = J&dx =丄1 _v) Re Zdx (1 +v) y Im Z dx +(1 +v) Ax 1+C其中积分常数C为刚体平移部分，故取C =0。由(A5.1)左式积分得Re zqx = Re Z I，由(A5.1)右式积分得Im Z I dx = Im Z。代入上式得1 I(A5.3)u(1v)Re Z(1 v)y Im Z I (1 亠 J)Ax将(3.13)代入上式就得到(5.21)第一式k _1(5.21a)又利用(2.42)式,yy = :V / .：y，得到v = J&dy =丄【1 _v) Re Z,dy +(1 +v) fy Im Z,

18、 dy _(1 +v)Ay 将右式同理，上式舍去了代表刚体平移的积分常数项。将(A5.2)左式积分得 ReZ.dy =Im 9Z换成z，得d ( _Re ZJ =Im Z dy。利用分部积分法y Im z I dy = yd Re Z J = y _ Re Z J _( _ Re Z)dy-_y Re Z ! - Im Z !代入上式就得v =丄(1 _v) Im Z - (：；v)( _y Re ZI Im Z)_ (1 v)Ay E 2Im N _(1 - v)y Re ZI _ (1 v)Ay 1(A5.4)E 将(3.13)代入上式得到(5.21)第二式k +1、2円=Im ZyRe

19、J _A(5.21b) + o(r- 2 7rsin-1/ 2)(5.27)(5.25)和(5.27)各应力分量可以统一写成K I.1 / 2ffj - $ fj(日)+o(r )(5.28)2皿其中0(1)表示与零阶等量级的小量。图5.6给出了 fj G)的函数曲线，其中a和b分别为直角坐标和极坐标的分量。(5.23)、在计算裂纹端部的位移时，忽略了均匀应力场引起的位移，物体整体的刚性位移，将(5.22)、(A5.5)和(A5.6)式代入(5.21)可得裂纹端部(r a )的位移场为:Ki 、4 .! 1 2二卜Kiv 二-(2；1)coscos -i1 2 2 rd3 .(2 .”亠 1)

20、 si n s i n 二42二一221 / 2-o(r )(5.29)61在极坐标中位移分量为e32 . -1) cos cos - -i2221)sin=_sin 红22 JJuu(5.30)图5.6 I型裂纹f牙(v)的函数曲线。(a)直角坐标的分量；(b)极坐标的分量(b)从式(5.25)很明显看出，对于I型裂纹，无疑地I yy是最受关注的分量。当时，J =0/、2丁 o(r丄/2)，其变化如图yy5.6所示。图5.7在二-.方向上的变化例题 证明I型Griffith裂纹变形后近似为一椭圆。证明：将式(5.22)代入(5.21)中并令y = 0，|x| a，2止一心吓二1 2丿22M

21、4 利用(3.13),上式又可改写为： 二la2 x22其中E由(3.7)给出。原裂纹面上的(X,0)点移动至X= x + U = (1 貯丁吐y：=v 。如令h =c；：/E , v。=2a；：/ E，则x =：hx裂纹半长度变成(b)变形后的裂纹形状为y =vo . 1 _(x/ a)2 =v1 (x/ha )2 =v . 1 _(x/a)2(c)2 2 2(d)y x12 2Voa由此可见，I型Griffith裂纹变形后近似为一椭圆。I型裂纹的 Westergaard函数与柯洛索夫公式应力函数之间的关系将(5.20)式中的前两式相加，得到；二:_-yy =2Re ZI(z)。将上式与(3

22、.28)式中；yy xx =4Re(z)相比，可知(z) =Z|(z)/2(5.32)又由裂纹面上的边界条件(7)式可以看出，(Z)屮屮(z) =o产72 = -A 即屮(1z) = z(z) _ A2(5.33)因此两种应力函数对于I型裂纹是等效的。I型裂纹的Westergaard函数可以利用(5.32)得到，但是也可以用直接的办法解决，参见注5.4。注5.4：单向拉伸I型裂纹的 Westergaard函数如图5.2，无限宽板中心，有长为 2a的贯穿裂纹，在无限远处受分布力cxx =0，二yy仝，w =0的作用。求 Westergaard应力函数。该问题的边界条件为：(1) 裂纹内部不受力。

23、即 y=0| X | ： a时，；一-yy =0。(2) 裂纹前端有应力集中。即y=0 | x | . a时，匚yy - 0。且|X _a |越小，匚yy越大。(3) y=0 , |x|T8时， 5 7:，二xx =0.由(5.20)可知，当y =0时，二yy ReZ_A，它是一个实函数。为了满足后两个边界条件，最简单的应力函数可选为o产/( 1 a / x) + A考虑到对称性，即当x_；.:时二yy也为二.X ：: _a时二yy =.因此可取应力函数为二：/1 (a/x)2 A(A5.7)由条件(5)还可以得出当|x|t叱时S =!产+ 2 A =0，由此得A=_J72。可以验证，(A5.

24、7)可以满足(1),(2)两个边界条件。为了满足第(3)边界条件，使得当 y=0| x|：:a时，Zi的第一项应为纯虚函数， 这样其实部就为零，；yy =A -A =0。而当| x | a时，乙 的第一项为纯实函数，就可以满足这一要求。为此可把上面找到的函数的第一项开方，即_ :_ :xCTyCT y xZ|(x,0) = 丁+A =”二 + A222、1 .(a / x)i x .a因此当 y=0， |x 时，i CTZ|(x,0)2、a0y:A2-x即二=ReZ| A = i,当 |x | .a 时,匚yy = Re Z| (x,0) -A打x.AJ 22x - a这样选择的Z|(x,0)

25、就满足了全部三个边界条件。上述应力函数是在 y =0 , z =x这个特殊条件下推出来的。对于y = 0的一般情况，可把上式中的x用z =x iy来代替，即Zi(z)2 2z a(A5.8)这个函数 乙(z)就能满足单向拉伸I型裂纹的全部边界条件。 5.5 II型裂纹如图5.4所示。本问题的特点是反对称于x轴。与I型方法相似，可得U ( x, y) _ _y Re Zd =2 Im Z + y Re Z J XXII丿II% = y Re z iiCTxy =Re Zii -y Im zii _B ”1 2Im ZH y Re Z H By 2；：一12 - vRe Z I I y I m Z

26、 I I Bx2(5.34)(5.35)(5.36)其中Z| i称为II型裂纹的Westergaard函数。根据无穷远处的边界条件式ZH(z)(5.12)，可取:(5.37)(5.13), (5.14)。仍采用裂纹前缘坐标将(5.37)代入式(5.35)不难验证完全满足边界条件式z =a +reil9 = a +U.将式(5.37)代入(5.35)、(5.36)，并利用在裂纹端点附近r/a + o( r亠2)(5.38)(5.39)其中23)sin= sin32 22 一3)cosE_cos 红22j1 / 2-o(r )(5.40)称之为II型裂纹的应力强度因子。在极坐标系中的应力分量与位移

27、分量为:K、-rr(2兀| 2sin 1 - 3 sin|一2二-3 sin cos.2 2KI日 I q . 2q- _ cos 1 _3s i n.2 二r2Kii + o(r /2)(5.41)V2丿-J |_( 2直 _1) sin 包 +3 sin 4 心 2 二22日3 J_ ( 2 ” 亠 1) cos - 3 cos -22KK“2(5.38),(5.41)中的各应力分量可以统一写成K.一 2 二r1 / 2-o(r )(5.42)1 / 2fj () o(r -)63图5.8给出了 fj(T的函数曲线，其中图5.8(a)和图5.8(b)分别为直角坐标和极坐标的分量。(a)(b

28、)图5.8II型裂纹的Westergaard函数与柯洛索夫公式应力函数之间的关系。由(5.35)得到匚xx ；= =2lm Z ,由(3.28)得到匚q =4Re(z)，对比可以看出,川i：(z)Z (z)(5.43)2根据裂纹面上的边界条件不难验证，(z) - _z ：(z) 2 ：(z) iB ,因此(z)二丄 zZ“ (z) - iZ (z) iB(5.44)2 5.6皿型裂纹如图5.9所示，在一无穷大板中央有一长为2a的穿透裂纹。在板的两端作用以均匀剪应力yz图5.9 III型裂纹69本问题不是平面问题，故不能直接应用弹性力学中平面问题的解法。但在此问题中各物理量(G , Ui)都与z

29、无关，只依赖于坐标 X, y,所以仍然是二维问题。通常称之为反平面或法平面剪切问题。反平面剪切问题的特点是根据应变分量与位移间的关系1 :w1 ;:w；yz2 jy其余四个应变分量恒为XXyy =； xy =； zz 0。zz由虎克定律可得匚-xz =2；xzxzyz于是，三个平衡方程中两个自动满足，仅剩下一个为:xzjx:w；X:w-;yyz(5.45)(5.46)(5.47)(5.48)以式(5.47)代入(5.48)得因此问题归结为在给定的边界条件下解拉普拉斯方程，而ImZIIIw必须为调和函数。所以可以取(5.49)Ziii称之为III型裂纹的 Westergaard函数。根据解析函数

30、的性质，只要Z|为解析函数，则式(5.49)必然满足调和方程。将式(5.49)代入式(5.47)得：(5.50)对于图5.9所示的裂纹问题，其边界条件为:(5.51)根据上述边界条件取乙iizz = a ：卜re T - a ：；”:，在111 sin 十 o (r 丄 2)2:cos 二 o (r 丄/2 )2 二 r 22Kiii.2 二 r(5.53)sin 二-o (r1 /2 ) 2 二 2其中(5.54)称为III型裂纹的应力强度因子。利用坐标变换（见习题1）,得到山型裂纹在柱坐标中的应力分量为：Km日1,6 =6z cos 日 +!yz Sin 日=一sin _ +o（r 一.2

31、 二r2sin v - ；yz cos v -= cos o （r 亠J2兀，r2rz其余分量“ =冊=5日=Cfzz =0 ,应力分量可以统一写成 Jrr(5.55)c1 / 2fj ( V) - o(r )(b)图6.10 III型裂纹fj M）的函数曲线图6.10给出了 III型裂纹匚（引的函数曲线，其中图 6.10a和图6.10b分别为直角坐标和柱坐 标的分量。将上面I, II, III型三种裂纹端部的应力场与位移场见式（5.25）、（5.3.14）、（5.38）、（5.39）、（5.53）的公式，归纳为统一的形式：叮Pr）uiKj2 二 r4 - . 2二J .1 /2g ( v) Or )其中K J （