中学数学中的反证法2

1、浅谈中学数学中的反证法 摘要 小结在解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾 , 哪些类型的问题适用于反证 法, 以及在学习反证法的过程中应注意的两方面。 关键词 反证法 命题 反设 归谬 结论 0引言 反证法是数学的一种极其重要的方法，特别是遇到的一些直接证明难于入 手，甚至无法入手的问题，反证法可使证明变得轻而易举。它和分析法、综合法 一样，有着悠久的历史，应用也相当广泛。 在中学数学中，反证法是一个难点。 在学习反证法之前， 学生在学习平行线、 相交线、三角形等各章中，证题用的都是直接证法，突然学习反证法，与已有的 证题习惯不同，所以学生初学反证法，会有排斥的心理。加之，现在课本要求不 高，例题

2、很少，学生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解反证法的 作用。但是，中学生好奇心强，对新鲜事物兴趣浓，抓住这一特点，从浅显的、 学生熟知的事实入手说明“反证法”，再引导其抽象概括，就能收到很好的教学 效果。论文中通过几个例子表现反证法的思维方式， 说明反证法在解题中的重要 作用，并总结哪些类型的问题适用于反证法。 深刻理解反证法的实质， 切实掌握 它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力。 1 反证法的由来 反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种。 法国数学家J 阿达玛在其所著初等数学教程（平面几何卷）中作了最准确、 最简明扼要的描述：“反证法在于

3、表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会 导致矛盾”。反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广 泛应用。欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形 的面积比等于其对应线段比的平方”的结论， “最优化原理”的证明，伽利略 推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言， “上帝并非 全能”的证明，都用了反证法。 2 什么是反证法 反证法是从原命题结论的反面出发， 通过正确的逻辑推理过程， 导致矛盾的 结果，从而肯定原命题结论正确的证明方法。 它是反设后通过归谬使命题得到证 明的方法，所以，反证法又称“归谬法” 。英国数学家哈代对于这种证法给过一

4、个很有意思的评论，在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势” ，即牺 牲一些棋子以换取优势。 哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略， 棋手可以牺牲的是几个棋子， 而数学家可以牺牲整盘棋。 反证法就是作为一种可 以想象的最了不起的策略而产生的。 3 反证法的一般步骤 应用反证法证题， 首先应分清命题的条件和结论， 再按“反设 归谬 结 论”三步进行： 3.1 反设 作出与原命题结论相反的假设。 反设是应用反证法的第一步， 也是关键的一 步。反设的结论将是下一步归谬的一个已知条件。反设是否正确、全面，直接影 响下一步的证明。 作为反设其含义是： 假设所要证明的命题的结论不成立， 而

5、讨 论的反面成立故应准确找到命题的结论， 抓住关键的字句进行分析、 引导、示范、 训练，体会怎样对命题的结论进行正确、全面的否定。在训练时，主要做以下工 作：（1）正确分清题设和结论。 （2）对结论实施正确否定。一般而言，一种情形 是直接在结论前加“不”或去掉“不” 例如：是 不是，有 没有，能 不 能，成立 不成立，存在 不存在，大于等于 不大于等于（即小于）等等, 此类问题的否定较为简单。另一种情形是不能简单地加“不”，例如，A :只有 一个，A :至少有两个；A :至少有一个，A : 一个都没有；A :至多有一个， A :有两个或两个以上；A:都在，A :都不在或不都在等等。这些应多做分

6、析理 解。（3）对结论否定后，应找出其所有的情况。例如， A :大于，A :不大于。 不大于即小于或等于。对这两种情况在下一步的“归谬”中应一一证明不成立。 3.2归谬以及肯定结论 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设（即把反 设作为一个新的已知条件）及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理， 推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果 。“肯定结论”其含义是： 判断产生矛盾的原因在于反设是假， 从而肯定原命题是真。在教学中应通过适当 的例题，由浅入深地去引导学生如何寻找和探求矛盾， 矛盾产生常有以下几种可 能。 3.2.1由假设或已知所推出的结果与已知条件相矛

7、盾 例1、已知p3 + q32，求证：p + q 2。 分析：这是一个不等式问题 （1）反设。结论是“ p+q 2”，则应假设为p q 2，那么p q 2将作为下 一步“归谬”的已知条件。 （2） 归谬。p q 2是一个已知条件，结合题设分析 p、q均为三次方，故由 p q 2, 得 p 2-q, 所以 3323 p （2 q） 8 12q 6q q , 3322 p q 8 12q 6q 6（q 1）22, 33 p q 2. 这个结论与已知p3 + q3=2矛盾，而推理正确，故而假设错误， （3）肯定结论。肯定结论p + q 2正确，命题得证。 3.2.2由假设或已知推出的结果与已学定理相

8、矛盾 例2、已知:如图1,设点A、B、C在同一直线上，求证：过 A、B、C三点不能 作圆 分析：命题的结论是一个否定性结论。 （1）反设。不能 能,假设过A、B、C三点能作圆，那么这个结论将作为下 一步“归谬”的一个已知条件。 （2）归谬。由上述假设过 A、B、C三点能作圆出发，设此圆圆心为 0,则A、 B、C三点中连任意两点的线段是圆 0的弦，由垂径定理：0既在AB的中垂线 0M上，又在BC的中垂线0N上，从而过点0有两条直线0M与0N均与AC 垂直，这个结论就与定理“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。 推理正确，故而假设错误。 （3） 肯定结论。即过同一直线上三点 A、B、C不

9、能作圆。 （图1） 3.2.3由假设或已知推出的结果与已学性质相矛盾 1 例 3、已知 a 0,b0 ,求证：一(a+b)、. ab 2 分析：(1)反设。结论是“，则应假设丄(a + b). ab . 2 (2) 归谬。丄(a + b ). ab, 2 /. a + b 2 ab /. a-2 . ab + b 0. (与已知结合)又 a 0,b0 , (ya -. b ) 2 0. 此结论与实数平方的非负性质矛盾，说明假设错误. (3) 肯定结论。二丄(a + b ). ab . 2 3.2.4由假设或已知所推出的结果与已学公理相矛盾 例4、在同一平面内，若h , J是垂直于直线I的两条不

10、同的直线，则直线11 , I2不 相交。 分析：这是一个几何问题，涉及到直线的垂直问题。 (1) 反设。假设l1， l2相交 (2) 归谬。因为l1，I2相交，所以从直线I外一点(l1，I2交点)引两条直线l1，I2 同它垂直，又由平面几何知识可知，从直线I外一点不可能引两条不同直线I1，I2 同它垂直，这显然与公理相矛盾，所以假设不成立。 (3) 肯定结论。命题成立，即若直线I1与直线I2同时垂直于直线I，则I1，I2不相 交。 3.2.5由已知所推出的结果与假设相矛盾 例5、已知a a+2，求证：a -1 分析：(1)反设。假设a -1. (2)归谬。因为a 。贝q sin_A 1，所以

11、cos一C 1 2 2 6 2 2 2 这与cos-C 1矛盾，故假设不成立，所以 23 4.7其它类型命题 除了以上几种常见题型宜用反证法， 还有以下几种情形的命题可用反证法： 基本定理、公理以及一些定理的逆定理； 条件较少，且又无公理、定理可用； 直接证法较难，命题结论的反面更易于反驳。 总之，当从已知条件出发要证出结论较困难时， 而此时结论的反面又比结论 本身更明确、更具体、更简单、更易判断时就可考虑用反证法。在学习和解决实 际问题的过程中须注意命题的结论中如有 “能”、“有”、“一定”等肯定性词语时， 或有“不能”、“不是”、“不存在”、“不可得”等否定语句时，或命题结论中有“至 多”

12、、“至少”、“无穷”等词语时常可考虑用反证法，另外不等关系的证明，当结 论的反面容易否定时，也可用反证法。只要不断地进行探索和总结，就能切实掌 握如何应用反证法。 5应用反证法证题应注意的两方面 在反证法的学习中，学生往往由于对反证法的认识不够、 理解不深，缺乏证 明命题必要的逻辑推理能力，以致于常出现不少问题 5.1 “反证法”与直接证法的等效性 反证法作为一种间接证法，尽管在表现形式上和直接证法有所区别， 且作为 一种证明方法，它有时又是独一无二的，但实质上它和直接证法是等效的， 是可 以相互转换的，它遵循的推理格式是（A B C C） （A B）。 例12：已知，如图2, AC、BD分别

13、是AB的垂线、斜线且三线共面，求证：BD 与AC相交。 1、用直接证法：因为BD与AB斜交，而AC丄AB，所以BD与AC不平行，又 因为AC、BD共面，可知它们分别交直线 AB于A、B两点，所以，AC、BC不 重合，即AC与BD相交（同一平面内的两直线不是平行，就是相交）。 2、用反证法：假设BD与AC不相交，则由题意可知 BD / AC,又因为AC丄 AB,所以BD丄AB,这与已知BD与AB斜交相矛盾，所以BD与AC相交。 举反例是说明一个命题是假命题时一种常用的方法， 例如，要说明假命题“大 于一的角是钝角”，只要随便举一个大于或等于畀的角，如 角，根据钝角的 2 2 定义，它大于畀但却不

14、是钝角。反证法则是直接证明比较困难时而采用的一种间 接证法，且常应用于证明真命题，其证明的步骤分为反设归谬肯定原结论三段， 因此与举反例相比，反证法在格式上更严格、规范，要求更高一些 6结束语 数学是一门逻辑性很强的科学，通过学习数学不仅能够解决许多实际问题， 还可以在学习的过程中培养人的思维能力。反证法作为一种重要的数学证明方 法，其独特的证明方法和思维方式能使学生的思路开阔， 推理严密， 对发展学生 的智力、培养学生逻辑思维能力和创造性思维也是大有裨益的。 从数学中最基本 的性质、定理到某些难度较大的世界名题， 若运用反证法进行证明， 也能够收到 最佳效果。 参考文献 1 乔罩琴，鲍云林“

15、反证法”问答江苏：中学生数学 .2004,5 月下 . 2 徐加生，纪健浅谈用反证法证题的常见题型. 江苏: 数学通报 .2007, 第 46 卷. 3 廉蒙巧用反证法证明代数题北京：思路方法技巧.2004. 4 王兰卿反证法的一般步骤与形式大同：大同高专学报 .1998, 第 12 卷第 1期. ? 【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼， 让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 3 收藏 2 ? 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。 阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。 顶 7 收藏 7 ? 【唯美句子】 清风飘然

16、，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用 手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点？瞬间回眸，点亮了 生命精彩。 顶 11 收藏 9 ? 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新 燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2 ? 【唯美句子】 流年清浅， 岁月轮转， 或许是冬天太过漫长， 当一夜春风吹开万里柳时， 心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小 河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底 的鹅软石，偶

17、尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚 睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳 的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 3 收藏 4 ? 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗 人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲 适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛， 放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽 梦。 顶 0 收藏 2 ? 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只

18、在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身 置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、 鄙弃功名利禄的隐者。 顶 1 收藏 3 ? 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭；权 力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。 顶 2 收藏 3 ? 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可 突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的 心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双 手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。

19、顶 4 收藏 5 ? 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着 雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 顶 3 收藏 5 ? 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我 是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3 ? 【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软， 在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大 地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并

20、非是想象中 的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1 ? 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知 道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地 人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0 ? 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道， 那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体 验到了。 顶 2 收藏 1 ? 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀， 浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到 金光熠 ? 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜；采过一丛花，正在聪慧的碰 碰外送来缕缕清喷鼻；无过一个梦，决定从那里启程。 顶 0 收藏 0 ? 【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼；人生如一 支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符；人生如一幅画，应该多一些亮丽的色 彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0 ? 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅， 期待着闪着碎光的泥土的肥沃；