江苏省扬州市2013届高三数学1月月考

1、-9 -江苏省扬州中学2012 2013学年度第一学期质量检测高三数学2013. 元一、填空题(本大题共 14小题，每小题5分，共70分)一 a -51、设z= f+(a +2a 15)1为头数时，头数 a的值是 a2 4a -5:2、若命题“三xw r,x2 +(a1)x+1 0”是假命题，则实数a的取值范围是.03、已知向量a,b满足|a | = 1,|b |=3, a、bn间的夹角为60 ,则a，(a+b) =。4、甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装/输入口./输出“有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数

2、的概率是。5、阅读右面的流程图，若输入a=6, b=1,则输出的结果是。cos10 *3sin10，6、计算： =。.1 - cos80x y-3-0i )7.若直线y=2x上存在点(x, y)满足约束条件,x-2y-3e0则实x占m数m的取值范围为 q_8、将边长为2的正方形abcdg对角线bd折成直二面角 a-bd-c,若点a b、c、d都在一个 以。为球心的球面上，则球 。的体积为 。一、一一 111 r22、一一9、设平面点集 a = x,y) (yx)(y )20s,b=(x,y) (x1)2 + (y 1)2 1匕则 a。bix j所表示的平面图形的面积为 a。10、当0xw2时，

3、4x0)的左右焦点，b是虚轴的端点，直线 f1ba b与c的两条渐近线分别交于 p, q两点，线段pq的垂直平分线与x轴交于点m若| mf| = | fe| ,则c的离心率是n两点，设12、在 mbc中，过中线 ad中点e任作一直线分别交 ab , ac于mo若平面向量am = xab , an = y ac ( xy # 0),则 4x 十 y 的最小值是 _13、对任意两个非零的平面向量nnna1 b1 0, a与b的夹角(e (0,-),且a()b和b。a都在集合 g |nw z中，则ab = 14、有四根长都为 2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一

4、个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 二.解答题(本大题共 6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15 .(本题满分14分)在四棱锥 p abcdfr, / abo /acd= 90 , / bag= / cad= 60 , p4平面 abcd e 为 pd的中点，pa= 2ab= 2.(i )求四棱锥 p- abcd勺体积v;(n)若f为pc的中点，求证 pcl平面aef(出)求证ce/平面pab16 .(本题满分14分)在aabc中，内角a, b,c对边的边长分别是 a,b,c，已知c=2, c=-.(i )若aabc的面积等于73,求a,b ;(n )若 sin

5、c +sin( b a) = 2sin 2a ,求 mbc 的面积.17 .(本小题满分15分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速 度v (单位：千米/小时)是车流密度 x (单位：辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过 20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 20wxw200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(i)当0mxm200时，求函数v(x)的表达式；(n)当车流密度 x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小时)f(x) =x

6、v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)18、(本小题满分15分)已知椭圆e经过点a(2,3),对称轴为坐标轴，焦点一一 1f1, f2在x轴上，离心率e=。2(i)求椭圆e的方程;(n)求/ f1af2的角平分线所在直线(m)在椭圆e上是否存在关于直线若存在，请找出；若不存在，说明理由。19.(本题满分16分)设函数f (x) = sinx2 cosx(i)求f(x)的单调区间;(n)如果对任何 x 0 ,者b有f (x) ax ,求a的取值范围.20.(本小题满分16分)答 一 , , ,号学 _ 要_一 _名不 姓 二 _ 内_二 二 一 号3 (-1)n* 一已知数列an

7、与bn满足：bnan+an4+4书an* = 0,bn =, ne n ，且a1 = 2, a2 =4 .(i)求 a3, a4, a5 的值;(n)设cn =a2n+a2n4，n= n ，证明：cn是等比数歹u；4n s,7*(iii )设 sk = a2 + a4+ , , + a2k ,k 匚 n ,证明：乙/3 , 乂d = 4. as4flc7j= -ab bc + -ac cd2二=x i x 73 + i x 2 x 2 & =之后, 222则 f/=lx-v3x2 = -75.3 23(【) *：pa = ca,尸为 pc 的中点，：.afypc. ：pax. 平面 xbco*

8、 ：.pavcd. ：ac1.cd, panac=a, ：,cd 上平面rac. ：.cdlpc, e为pd中点，f为fc中点， ：.ef/cd 则 efl pc. ；4 产 ref=f,，尸c 平面aef.10分(iii)证法一t取aq中点m 连cm.则vem5平面pab,以u平面pabt :.em平面 pab,在 rtzlc。中，/cxd=6(t, ac=am-2t ，上*cm=60j 而:mc甘ar, vafc tz平面 以见月8仁平面加8,平面 pab, teafnjwc=m, 六平面 emc平面 以8.丁 ecu平面我mc, 分证法二：延氏dc、ab,中点.ye为尸口中点，二 ec*

9、 平面 pab.,v设它们交于点可，连pm znac=zdac=60f：,ec/pn. -：ec(z 平面/b. pn u 平面 r16.ac1cd.二 7 为n的 .ec* 平面 pab.此解i )由余弦定理及已知条件得，a2+b2-ab = 4,又闪为的面积等于,所以= 得出? = 4.2联义方程组a2 + b* -ab = 4, ab = 4j解得口 = 2, b-2.(ii)由题意得！iin(3 + j4) + sin(s-j) = 4 sin a cos a ,即 $in bcos a = 2sin a cos a ，-15-当 cos 乂 = 0 时.b = + a =&g, b

10、= 2 1,2633当coswwo时，得sins = 2sinw,由正弦定理得b = 2a.联立方程组a2 +b2 -ab = 4, b = 2ar所以rbc的面枳s = -a6sinc= 2317 .解:()由题意：当04耳弓20时0) = 60；当20kx工20端寸,设串(工)=妙+力1a ,再由已知得3l 200b -360,0 x 20,故函数比)的表达式为世幻=1q0or),20”42g0 l 3cid依题意并由(i)可得/(x) =60x,0 4 x 十号=1,解传c=2, c cw v3楠圆的方程为全+为=1.id i z（n ）解法l由（1）如人（-2. 0）, &：2. 0）

11、,所以直线m；的方程为才工*（*+2）,监h-4）+6=6直线的方程为：1 = 2.由点火在描党e上的位址知，直线/的斜率为正数 设尸（工，外为t上任一点,则j ._ i若3k纣+ 65*二0,得h+2f-8mo(因其斜率为负，舍去).于是由 3第47+&= -5工 + 1。得 2m - - 1=0,所以直线上的方程为：2父-7-1 =0. *4* -解法2：一_3), f, ( -2,。),尸式3, 0), ?. 17* = ( -4. -3) + jr? = (0, -3).=- 4 . 31*(0 -3)= 一 2).-,蜀二2,二 f :丁 - 3 * 2( * - 1) . hp 2

12、x - - i = 0.(ih)解密工：假设存在这样的两个不同的点h(ag和a为，打八v bcil. au四 f 二 一；*-aaj设nc的中点为m（飞.兀）.则。x1-.汽=旻3 ，由于“如上聋除又凡。在用隔上将该式写为会与*公孑立a。，外将直线bc的斜率a ”和蛾段bc的中点 6/-17 -.；戒水代人核钱达式.中,傅专岩 - q 1叩3工4 2为=0 一4 .一，士 .1卷冷x2 -得利=2,兀二3,即矽的中点为点乂而这是不叫能的.；不存在满足题设条件的点b和c,解法2：假设存在封风.yj ,匕（石,打）两点关于直桀士对称，则上.ac,-段直缎打匚的方程为 =-/工将其代人椭圆方程系+

13、；晟=51， .j：jj： 、_., 1 . , , ?aimh?*r .得一元二二次方程3- +4（ i-5t + *） 2 =48 .即 / 一 mx + m2 -12=0.则x,与七悠法方程的两个根. 由希达定期得小+ ! = fflr, 于是力中门 =一 , % （工1 4- r2 ） + 2rn =.凡。的中点坐际为年,誓）.：又线段的中点在直线k2才一1上.二竽-】，蹲 即凡 匚的中.也坐标为c, 3）,与点八而井，矛所.，不有作曲超越改品件的相异网点.解:(i ) fx)=当汨2n f j 2冗x 2e + （rez）时，cosjca-g,即/工）0：(2 + cos x) co

14、s x - sin x- sin x) 2 cos x 4-1(2 + co$x)(2-fcosx)2-19-当曲湾(t 6 z )时, cos x ，即 f(x) 0 .2因此一（片）在每一个区间2h(jlez )是增函数，/（）在每一个区间门3mc. f是，当me(0,日)时，/(m)= -即 sn- or .2 + cosx3当口w0时，有呜,因此，4的取值范围是8）.20.解 解；由速=他, 可得4t1/为奇数2,n为偶数当归1 时，.+%+2与=0,由=2, a3=4,可得& =一3;又4 +%川 +%0,当片2时,2a2+aj+a4=0,可得a* =-5;当n=3时，% +a4 +

15、2电=0,可得知=4.ud证明：对任意界wn工a2n- + 口加+ 2叫n+1 = ，2%#限+%.?=0,%“*i +%+2 +26z = 0,所，得知 =。2将代人，可得产%川=-(%1+/用)即啧=-%(6m)又。=马+/=-1,故c. 40,因此90=-1,所以q是等比数列.(iii)证明工由(ii)可得口+%.1=(1)&.于超*对任意tw at且火之2.有/十% =.l一(%+%) = t,af +a7 = -1, i + 恤t)= -l将以上各式相加，福/+(-1)*%*一1 =-(尢-1),即/1 =卜|*|(#+1),此式当k=l时也成立.由式羯/ = (-1严猿+3).从而

16、邑*=(叼+/) + (%+%)+(口”7+矶=-也s”t =%-%* =3. 所以，对任意打ev1之2,三邑=汽(空1 +邑e-? +，止+ $4用)=(2用+ 2 _ 2m】_ 2m+ 3+ 2nl)总叫 上 念2 %*. &网7 aam 占 2m 2m+ 2 2m + l 2m+ 3v/ 23、2653=x (-+) =+) +w 2w(2ffi + l) (2m + 2)(2m + 2)2x3 占2ffi(2wi + l) (2fl + 2)(2n + 3)i w 53vb+3 占(2 阳-1)2陋 + 1) (2n + 2)(2n3)1 5” i、/ i、 z i 1vl 33 2

17、3 55 t 2n-l 2n + l j (2n + 2)(2n + 3)5 5 i37-3 + 6 2 2h+1 + (2h + 2)(2?4-3) / + 2 = 0,即大一+2=0。2解：将点的极坐标化为直角坐标，点。,48的直角坐标分别为（0,0卜（0,6）,（6,6）, 故aoxb是以03为斜边的等腰直角三角形，圆心为（3,3）,半径为3人，圆的直角坐标方程为（x-3）2 +（y-3）2=18 ,即/ +y2-6x-6y = 0,将x =/cos8,y = x?sin0代入上述方程，得夕？ 一62（cos6 + sin。）= 0,即0 = 6及cos e-3解：（i ）记“该射手恰好

18、命中一次”为事件力；”该射手设计甲靶命中”为事件8； “该射 手第一次射击乙靶命中”为事件c： ”该射手第二次射书乙靶命中”为事件o.由题意知，（8） = *, p（c） = p（d） = j ,由于/ = 8而+反1万+反力，根据事件的独立性与互斥性得 p（a） = p（bcd + bcd + bcd） = p（bcd） + p（bcd） + p（bcd）= lx（l_2）x（i-2）+（i_l）x2x（i_2）+ （i_l）x（i_2）x2 = q j j qj j q jjjg（id根据题意.x的所以可能取值为oj2,3,4,5 .根据事件的独立性和互斥性得p（x = 0） = p（bcd） = （1 +（1 一小（一）=表，433 jop（x = 1） = p（bcd） t x（1 -a（w jj1 /rp（x = 2） = p（bcd） + p（bcd） = （l-1）xjx（l-1）x2 = |,p(x = 3) = p