广西南宁2012-2013学年高二数学上学期单元素质测试题不等式的基本性质

1、高二（上）数学单元素质测试题一一不等式的基本性质（考试时间90分钟，满分100分）姓名 评价一、选择题（本大题共 8小题，每小题5分，共40分.以下给出的四个备选答案中，只有 一个正确）1. （09 四川）已知 a, b, c, d 为实数，且 cd ,则 “ a b” 是 “ a cb d ” 的（）既不充分也不必a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.要条件2. （07上海）设a, b是非零实数，若a b,则下列不等式成立的是（）,2.2,22.11b aa.abb.abcabc.2 d .- -abv10. （10江苏）设实数x, y满足3 wxy2 w8 , 4 9 ,

2、则 工的最大值是一yya2ba b3. （11陕西）设0ca2）在x = a处取最小值，则a=（）x-2a. 1 +&b. 1 +曲 c . 3d. 4116. （10四川）设a b 0 ,则a2 +的取小值是（）ab a（a - b）a.1b. 2c.3d. 47. （08重庆）已知函数丫=，=+后百的最大值为 m,最小值为mj则立 的值为（ma.1b. 1c.二d.立42228. （10全国i ）已知函数f （x） =| lg x |.若a # b且，f （a） = f （b）,则a + b的取值范围是（ ）a. （1,二） b. 1,二） c.（2,二） d.2,二）二、填空题（本大题共

3、3小题，每小题5分，共15分.将你认为正确的答案填写在空格上）、 、一 一二 2sin 2x19. （08辽宁）设xw0,一,则函数y-2sin x 1的最小值为 ,2sin2x11. （07山东）函数y =loga（x+3） 1（a 0,且a #1）的图象恒过定点 a若点a在直线12，mx +ny +1 =0上，其中 mn 0,则一 +的取小值为 .m n三、解答题（本大题共 4小题，共45分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）2212.（本题满分9分）已知x 0, y 0, （i）求证： + -x + y；y x2 _2（n ）若x + y =1,求x -xy y的最小值.xy13.

4、（本题满分12分）如果x 0, y 0 ,且x + y=1,求2= x1十 yj的最小值.用心爱心专心1211114.(本题满分12分，11安孩理19) (i)设x之1,y之1,证明x + y + 0, y 0,由均值不等式，得:2222上+ y+_y_+x 2j y 22j- xy xyx=2x 2y,22故 l x y. , xy2-x 0, y 0,. xy 0, x y 0,(x - y) - 0.2 y-(x y) -0. x证法三（分析法）：因为 x .0, y . 0,22要证 x_ +_y_ 之 x + y , y x只要证 x3 + y3 之(x + y) xy ,即要证(x

5、 +y)(x2 xy + y2)之(x + y) xy ,也就是要证 x2 -xy + y2 xy ,即要证x2 + y2之2xy ,但是，不等式x2 +y2 2 2xy成立, 故原不等式成立.（n）解法x +y =1,当且仅当所以，当22x -xy yxy(x y)(x2 - xy y2)xyxy11x = y = _ 时, 22x - xyy-的最小值为1.xy解法二:v x 0, y 0, x + y =1 ,22xyy _ (x y) -3xyxy1-3 xy2根据题意，得xy 丁 二1 -1一.从而4. 4.xy22x -xy v -4-3=1.xy1=1时，“=”号成立.21所以，

6、当x=y 二1时,2x -xy y2-的最小值为1.xy13.错解一：tx0,v 0,且x v = 1,1+ 一vjy -2x x 2二2 2=4.1x =一 x1，,“错因：当且仅当y = _时，=”号成立.但是这个方程组无解，所以“yx y = 1错解二：x 0, y - 0,且x , y =1,x+1)/y、x j i1 x y二 xy 一x y y xxy v x-2 xy 12xy=2 2=4.1、f1 ；x+- i , y+-的最小值为4. 、x九v)1 xy =xy错因：当且仅当y 时，“=”号成立.但是这个方程组无解，所以“错解三：x 0), y - 0,且x , y =1,=

7、xy=xy=xy=xy=xy1 x y xy y x1 x2 y2+-xy21 (x y) -2xyxy2-2xyxy2.2xy2_-2 xy 2 xy=2 2 -2.1+ yj的最小值为2 2 - 2.xy错因：当且仅当 ，y)2二xy1 x+ xy y二xy=xy=xy=xyxy 21 (x y) -2xy xy2 -2xy+xy-2xy-2. t设 xy =t ,则 t w f0,1 1z(t) =ti 4在区间 0 1,4上任取t1，t2,且t1 1,y 1,所以 x + y+ m+xy xy x y2=xy(x y) 1 _ y x (xy)将上式中的右式减左式，得2、(y x (x

8、y) ) - (xy(x y) 1)2=(xy) -1) -(xy(x y) - (x y)= (xy 1)(xy-1) -(x y)(xy -1)= (xy -1)(xy -x - y 1)= (xy -1)(x -1)(y -1)既然x1,y1,所以(xy 1)(x 1)( y 1)之0 ,从而所要证明的不等式成立(n)设iogab = x,iogbc = y ,由对数的换底公式得,1 .1 .1 ,logca = ,logba =_,logcb =_,logac = xy xyxy111于是，所要证明的不等式即为x y_11xyxyxy其中 x =logab _1,y =logbc -1故由(i)立知所要证明的不等式成立.15.解：(i)由已知得 an书=(、/01)2 十1 ,即 an书an =1,又 & =1,所以数列an 是以1为首项，公差为1的等差数列.因此 an = a1 (n 1)d =1 (n 1) 1 = n.故数列an的通项公式为an = n(n u n ).(n)由(i)知：an =n，从而 bn4bn =2n.bn =b1 (b2 -b1) (b3 -b2)(bn j -bn) (bn -bn_1)-1 2 . - 2n 2g_ 1 (1 -2n) 1 -2=2n -1.2 nn 2n 12因为 bn bn 2 - bn 1 = (2