圆锥曲线应用题(含答案)

1、解析几何应用题解题思路：（1）确定何种曲线（2）建立合理坐标系（3）待定系数法例1、根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m,宽1.6m。现要设计横断面为抛物线 型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持 距中线0.4m的距离行驶。已知拱口 ab宽恰好是拱高oc的4倍，若拱宽为am,求能使卡 车安全通过时a的最小正整数值。分析 根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4m到2m间的道 路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2m （即在横断面上距拱 口中点2m）处隧道的高度是否够3m,据此可通过建立坐标系，确定出抛物

2、线的方程后求 得。解：如图，以拱口 ab所在直线为x轴，以拱高oc所在直线为y轴建立直角坐标系，由题 意可得抛物线的方程为：x: =-2p（y-；）4a点 a ( 2, o)在抛物线上(-)2 = -2p(0 -)p = 2，”4 得j 2x- =-a(y-)抛物线方程为4_ / a _ a2 -16取x6 + 04 = 2,代入抛物线方程，得2 -a(y - -)y =- 4 , 4a o由题意知y3,即a2-1634a ,而 a0,则屋一 12a 16,解得 a6+2 屈。使卡车安全通过时a的最小正整数为14o评述：本题的解题过程可归纳为两步：根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口

3、中点2m处y的值：由y3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得 注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中经常用到。某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路ap或bp运到p处（如图 所示）。已知pa=100m, pb=150m, napb=6（t ,试说明怎样运土最省工。分析 首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿ap到p较近；（2）沿bp到 p较近；（3）沿ap、bp到p同样远。显然，第三类点是第一、二类的分界点，设m是分 界线上的任意一点，则有|ma| + |pa|=|mb| + |pbl 于是|ma|-|mb|=|pb|_|pa|=15o 10

4、0=50。从而发现第三类点m满足性质：点m到点a与到点b的距离之差等于常数50, 由双曲线定义知，点m在以a、b为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的 方程。解：以ab所在直线为x轴，线段ab的中点为原点建立如图直角坐标系，设m（x,y）是 沿ap、bp运土同等距离的点，则|ma| + |pa|=|mb| + |pb| a|ma|-|mb|=| pb|-|pa|= 50在apab中，由余弦定理得：|ab|-=|pa|- +|pb|- -2|pa|.|pb|cos60 = 17500 ,且 503ab卜由双曲线定义知点 m 在 以a、b为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为a- b-

5、（a0, b0）2a = 50 ，. 21（1）解：如下图建立直角坐标系，则点p（1b 4.5）,椭圆方程为小=1.将b=h=6与点p坐标代入椭圆方程，得4488a= 7,此时l=2a= 7 弋33.3.因此隧道的拱宽约为333 1n/ v2 ii2 4.52(2)解法一：由椭圆方程/十 =i,得/ +犷=1.h2 4.522x11x4.5因为二+犷2 茄一，7i n ab 99ti 即 ab299,且 l=2a, h=b,所以 s=4 1h= 2 22 .il2 4.52 1当s取最小值时，有公= =5,9及 得 a=ll 应，b= 2 .此时 l=2a=22血弋3l1, h=b弋6.4.故

6、当拱高约为6.4 m、拱宽约为31.1m时，土方工程量最小.x2 y2 ii2 4.52解法二：由椭圆方程/ +川=1,得/ + b =1.811于是b 4a2-n .8112/81a2b2= 4 (a2-121+2 -121 +242) 2 4 (2v1217 +242) =81x121,即ab299,当s取最小值时, 12/有屋一121=-121 .972得a=u及，b= 2 ,以下同解法一.a、b、c是我方三个炮兵阵地，a在b正东6 km, c在b正北偏西30 ,相距4 km, p 为敌炮阵地，某时刻a处发现敌炮阵地的某种信号，由于b、c两地比a距p地远，因此 4s后，b、c才同时发现这

7、一信号，此信号的传播速度为lkm/s, a若炮击p地，求炮击的 方位角.解：如下图，以直线ba为x轴，线段ba的中垂线为y轴建立坐标系，则b (-3, 0)、a (3, 0)、c (-5, 2括).因为 |pb|=|pc|,所以点p在线段bc的垂直平分线上.因为kbc=一逐，bc中点d(4,四)，1所以直线pd的方程为y一正=有(x+4).又|pb| |pa|=4,故p在以a、b为焦点的双曲线右支上.厂设p (x, y),则双曲线方程为4 - 5 =1(x20).联立得x=8, y=5,巫所以 p (8, 5),因此 1=8-3=用.故炮击的方位角为北偏东30 .1 . 一抛物线型拱桥，当水面

8、离桥顶2 in时，水面宽4 in,若水面下降1 m时，则水面宽为 ( )a.n mb. 2mc. 4.5 md. 9 m2 .某抛物线形拱桥的跨度是20 m,拱高是4 m,在建桥时每隔4 m需用一柱支撑，其中最 长的支柱是()a. 4 mb. 3.84 mc. 1.48 md. 2.92 m3 .天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线 是（）a.椭圆b.圆c.双曲线的一支d.抛物线4 . 1998年12月19 口，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“钺星”系 统通信卫星，卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为mkin,远地点为n

9、 kin,地球的半径为rkm,则通信卫星运行轨道的短轴长等于（ ）+ 尺）（ + r）+ /?）（ + r）广ndc. 2nuid. nui5 .如图，花坛水池中央有一喷泉，水管op=lm,水从喷头p喷出后呈抛物线状先向上至最 高点后落下，若最高点距水面2 m, p距抛物线对称轴1m,则在水池直径的下列可选值中， 最合算的是（）a. 2.5 mb. 4 mc. 5 md. 6 m二、填空题（每题5分，共20分）6 .探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯ii直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是cm7 .在相距1400 m的a、b两哨所，听到炮弹

10、爆炸声音的时间相差3 s,已知声速340 mzs1炮 弹爆炸点所在曲线的方程为.8 . 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x?=2y （0wyw20）.在杯内放入一个 玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的范围为.9 .河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m, 一小船宽4 m,高2 m,3载货后船露出水面上的部分高w m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距 m时，小船不能通航.三、解答题10 .（本题满分10分）如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛 物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋

11、焊接在一 起的架子支撑，已知镜口圆的直径为12 m,镜深2 m,（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.11 .（本题满分10分）有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是 一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物 体间距离为45 cm,灯丝距顶面距离为2,8 cm,为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种 灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程.12 .（本题满分10分）某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，己知上部呈抛物线形

12、，跨度为20 m,拱 顶距水面6m,桥墩高出水面4m,现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m,目 前吃水线上部分中央船体高5 in,宽16 m,且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物， 但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升004 m,若不考虑水下深度，该货船在现在状况 下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 20m13 .（本题满分10分）2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定 轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心f?为一个焦点的椭圆,选取坐标系如图所示，椭 圆中心在原点,近地点a距地面200 kin,远地点b距地面350

13、 km.已知地球半径r=6371 kin（如 图）（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16 口 5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行, 飞船共巡天飞行了约6义105 km,问飞船巡天飞行的平均速度是多少？（结果精确到ikiws）（注：kiir s即千米/秒）14 .（本题满分15分），中国跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如图所 示坐标系下经过原点o的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）2在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 3m,入水处距池边的距离为4 m,同时，运动员在距水面高度为5 m

14、或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动 作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式.(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调3整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m,问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.(3)要使此次跳水不至于失误，该运动员按(1)中抛物线运行，且运动员在空中调整好入 水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？【试题答案】1.解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为屋=-2py (p0), 由题意知，抛物线过点(2, -2),： 4=2p x 2。/. p= l ： x2=-2y 当 yo=-3 时,得 xo

15、2=6.水面宽为2|xo|=2后.答案：b2 .解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x、-2py (p0),25由题意知其过定点(10, 4),代入x?=2py,得p= 2 .x2=25y.-4当 xo=2 时，y0= 25 ,4,最长支柱长为4|yo|=4- 25 =3.84 (m).答案：b3 .解析：设旗杆高为m,华表高为n,旗杆与华表的距离为2a,以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设曲线(戈+。)2 + y2上任一点 m (x, y) 由题意+)=，即(m2n2) x2+ (nrn2) y22a (m2 ir) x+ (m2ir

16、) a2=0.答案：bm + n + 2rm+n+2r4 .解析：由题意 2c=m+r,2+c=n+r,/?-m/ 加+ + 2/？2/.c=w, 2b=2v 2 （丁）=2）5 +r）.答案：a5 .解析：以o为原点，op所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），v* （1.2）则抛物线方程可设为y=a (x-1)42, p点坐标为(0, 1), / l=a+2a a=-1./y= (x1) 2+2.令 y=0,得(x1) ?=2, /.x=l .水池半径 om=+12414 (m).因此水池直径约为2x|om|=4,828 (m).答案：c6 .解析：设抛物线方程为俨=2px (p0),点(

17、40, 30)在抛物线y?=2px上,45 45.*.900=2px40,ap= 42 = 8 .45因此，光源到反射镜顶点的距离为8 cm.45答案：至7 .解析：设m (x, y)为曲线上任一点，则 |ma|-|mb|=340x3=102014001020m点轨迹为双曲线，且a= 2 =510,1400c= 2 =700/ b2=c2a2= (c+a) (ca) =1210x 190厂，m点轨迹方程为510 1210 x 190 =厂y-答案：5102 - 1210x190 =i8 .解析：玻璃球的轴截面的方程为x4(y-r) 2=r-由 xzy, x2+ (yr) 2=r2,得 f+2

18、(1r) y=0 由 4=4 (1r) 2=o,得 r=l 答案：0i0)8将点(4, -5)代入求得p=m16x2= 3 y5将点(2, yi)代入方程求得y1=一33 5/. 4 +|yd= 4 + 4 =2 (m)答案：210 .解：(1)如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径.2,由已知，得a点坐标是(2, 6), 3设抛物线方程为俨=2px (p0), 4z则 36=2px2, p=9。6,所以所求抛物线的标准方程是y-18x, t9焦点坐标是f (5,0) 8(2) 盛水的容器在焦点处，.a、f两点间的距离即为每根铁筋

19、长.|af|= v 2= 2 (或|af|= 2+2= 2 ) 9故每根铁筋的长度是65 m1011.分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要 把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于 卡门处，因而可获得强光.解：采用椭圆旋转而成的曲面，如图建立直角坐标系，中心截i ibac是椭圆的一部分，灯丝距顶面距离为p,由于bf*?为直角三角形,因而，|rbf=|fibf+|fif2f=p2+4c2, 4 由椭圆性质有|bb|+|f?b|=2a,所以 a=，(p+4t ), 6 a=2 (2.8+ v2.8方程即为y=_ 50x2

20、3让货船沿正中央航行1;船宽 16 m,而当 x=8 时，y=-50 8?=l28 m, 4,船体在x=8之间通过由 b (8, -1.28), 5 点离水面高度为6+ (-1.28) =4.72 (m),而船体水面高度为5m, 6无法直接通过x 5-4.72=0.28 (m), 0.284-0.04=7, w 150x7=1050 (t), 8用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降10 +4.52)斗05 cm, 8册 %337 nl9z厂 厂所求方程为4 05? +3.372 =1012 .解:如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为kax r则a (10, -2)在抛物线上,x- 22

21、13 .解：(i)设椭圆的方程为a? + =1。r由题设条件得a - c=|oa| |ob|=|ba|=6371 +200=6571,a+c=|ob|+|of2|=|f2b|=6371+350=67213r解得 a=6646, c=75,所以屋=44169316, 4b2=a2c2= (a+c) (ac) =6721 x6571=441636915厂厂所求椭圆的方程为 44169316 +44163691 =6z 尸 厂(注：由j44163691 -66455768得椭圆的方程为6646? +6645.6? =1,也是正确的)(2)从15 9时到16 6时共21个小时，即21x3600 s减去

22、开始的9分50 s,即9x60+50=590 (s),再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650(s),得飞船巡天飞行的时间是21x3600-650=74950 (s), 8,600000平均速度是74950%8 (kins) 9,所以飞船巡天飞行的平均速度是8 kins10f14 .解：(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为a,入水点为b,抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c12由题意知，o、b两点的坐标依次为(0, 0)、(2, 10),且顶点a的纵坐标为4ac-b2 2所以有 c=0,4=3 , 4a+2b+c=102f25103解之得 a= 6 , b= 3 , c=0 或

23、 a= 2 , b=2, c=03b抛物线对称轴在y轴右侧，一 2。0,又抛物线开口向下，aa0,后一组解舍去2510，a=- 6 , b= 3 , c=02510，抛物线的解析式为y= 6 x-+ 3 x6y a338（2）当运动员在空中距池边的水平距离为35m时，即x=3弓一2=弓时，t25812 y= ( 6 ) x ( 5 ) 2+ 3 x 5 = 3 , 8此时运动员距水面的高为16 1410- 3=3 0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误,但很难做到ir 当yvo时，要使跳水不出现失误，则应有mw10-5,即一yw512，2510 有 6 x2- 3 xw5, 13，解

24、得 2取 wxw2+14， 运动员此时距池边的距离至多为2+2+南=4+扃 m15学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行（按顺时针二+ j方向）的轨迹方程为10 25,变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的64、m 0.轨迹是以）轴为对称轴、7）为顶点的抛物线的实线部分，降落点为0）观测点44, 0）、8（6, 0）同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点a、8测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令?,64 y =。厂 + 解：（1）设曲线方程为.7640 = 7 64 d由

25、题意可知，71 ， 64 y = - -+ ，曲线方程为 77（2）设变轨点为,），根据题意可知厂+)-1jl,100 251 , 64y = 一厂 + 77(2)4y- - 7y - 36 = 0_9y=4或一（不合题意,舍去）.得得工=6或x = -6 （不合题意，舍去）.c点的坐标为3向,| ac |= 2v5, bc |=4答：当观测点a、8测得ac、5c距离分别为26、4时，应向航天器发出变轨指令.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径尺=34百公里）的中心产 为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）a到火星 表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）3到火星表面的距离为 800百公里.假定探测器由近火星点a第一次逆时针运行到与轨道中心。的距离为必百公里时进行变轨，其中。、分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.l解设所求轨道方程为=+ 二=1 (ab0) q- b-c = yla2