2011年高考数学排列、组合和二项式定理单元测试卷

1、c2 = 6.4.于(a .c.)21* 528b. 160种d. 216 种1名男生和2名女生的选法数 c8c4,从12名学生中随机 c2c4,所以选到的3名学生中既有男生又有女生的不同选6. (2009 珠海模拟)在(1 -x3)(1+ x）1的展开式中，x5的系数为（）排列、组合和二项式定理单元测试卷（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1 .不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在 一起，则不同的排法共有（）a. 12 种b. 20 种c . 24 种d . 48 种答案：c解析：甲、乙捆绑后与第5种商

2、品排列有 a2种，产生的三个空排丙、丁，有 a2种，再排 甲、乙有a2种，共有a2a3a2= 24种.故选c.2 .直角坐标xoy平面上，平行直线x=n（n=0,1,2,，5）与平行直线y=n（n = 0,1,2,， 5）组成的图形中，矩形共有（）a. 25 个b. 36 个c. 100 个d. 225 个答案：d解析：从构成矩形的四条边入手，可以从6条竖着的直线中任取两条，共有c6种选法；再从6条横着的直线中任取两条直线，共有c2种选法，所以可构成矩形c2c2= 225（个）.故选d.3.二项式（a+ 2b）n中的第二项系数是 8,则它的第三项的二项式系数为（）a. 24b. 18c. 16

3、d. 6答案：d解析：由通项公式知，丁2 =r+1 = ck-1(zb)1 2&2“-1,依题意 2c；=8,，n=4.，cn =7b. 207d. 45a . 297 c. 252 答案：b10 0 0 1001八1 1八2 2八3 31八4 4 ,八5 52 .斛析： (1 + x) = ciol x + ciox + ciox + ciox + ciox + ciox + =1 + 10x+ 45x + + 252x5+ (1 - x3)(i +x)io 的展开式中，x5的系数为252 45=2。7.故选b.7. (1 +版)6(1 +工)1的展开式中的常数项为()4xa. 1b. 46

4、c. 4245d. 4246答案：d解析：(1 + 3x)6的通项公式为c6x, (1+工)1。的通项公式为c?ox-k，由5+( k)= o, 3 4x434r= o =3r=6得5,5, 1共三项，所以常数项为c6coo + c6c4o+c6c：o= 4246.故选d.k= ok= 4 k = 88. （2。9太原市测试）有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8 个球中任取4个球排成一排.若取出的4个球的数字之和为1。，则不同的排法种数是（）a. 384b. 396c. 432d. 48o答案：c解析：若取出的球的标号为1,2,3,4,则共有c2c2c2c2

5、a4= 384种不同的排法；若取出的球的标号为1,1,4,4,则共有a4=24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3,则共有a4 =24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为io的不同排法种数是 384+24+ 24= 432,故应选c.9.甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六值班工作，每天一人值班，每人值班两天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（）a. 36 种b. 42 种c . 5o 种d . 72 种答案：b解析：（1）当甲值周六时，再为甲选一天有c4种，为乙选两天有 c4种，则共有c4c4 = 24种，（2）当甲不

6、值周六时，为甲选两天，有c2种，为乙选两天有 c3种，则共有c2c2=18种，所以共有24+ 18= 42种.故选b.io,若（1+x）1的展开式中含尸1的系数为an,则2 + 2+的值为（a.nn+ 1b.2nn+ 1d n(n+3)2n（n+1）c. 2答案：b解析：由题意可得an=cn.ii2=c2+i=(1-n工 _22 11an n(n+1)(n n+1)+工+1a1a2an1 1 . 1 1 1=2丁2+厂3+.j，n n+1=212n 皿山n+1滔.故选b.11. （2009昆明市质检）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左

7、舷的 的选派方法共有（）a. 56 种c. 74 种答案：d3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同b. 68 种d . 92 种解析：本题是计数问题，根据特殊（或受限）元素进行分类，如本题属于根据划左舷中有多面手人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”:“多面手”问题,的选派方法有c6种,有一个“多面手”的选派方法有 c2c3c5种，有两个“多面手”的选派方法有 c3c4种，即共 有 20+60+ 12=92（种）.故选 d.12.圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有a . a42c. c22 c22 答案：d22b . a12 a12d. c42解析：

8、圆周上任意四个点连线的交点都在圆内，此四点的选法有c42,则由这四点确定的圆内的交点个数为 1,所以这12个点所确定的弦在圆内交点的个数最多为c42.故选d.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在(x 2x)9的展开式中，x3的系数为,21答案：-11解析：tk+ 1 = c9x9 k( - 2x)k = c9x9 k(_ 2) kx（用数字作答）._ ck 9 2k( 1) k令 9-2k=3,得 k= 3, t4=c9x3 (2)3= 84x( 1)x3=-21x3, 82，x3的系数为一221.14 .已知(1+x) + (1+x)2+(1+x)3+ (1+ x)8

9、= a0+ax+ a8x8,则 a+a2+a3+ + a8=.502解析： 令 x= 1 得 a0+a + a2+ a8=2+ 22+ 23+- 28=2112= 29-2=510.令 x= 0,得 a0 = 8,a + a2+ a8= 502.15 . （2008陕西理）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由 6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中 产生，则不同的传递方案共有 种.（用数字作答）答案：96解析：先安排最后一棒（a2）,再安排第一棒（a2）,最后安排中间四棒（a4）, 不同的传递 方案有a2aa4 = 96（种）.

10、16. m3）答案：士的展开式中x2的系数是70,则实数a的值为8a k 8 ctk+i= c8(ax)8 k(一衣k kx8k k(-1)k,k令 8k 2=2,得 k=4, c8a4（1）4= 70,a4= 1, - a= =1.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17 .（本小题满分10分）在一块10垄并排的田地中，选 2垄分别种植a、b两种作物，每 种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求 a、b两种作物的间隔不小于 6垄，则不同的种 植方法共有多少种？解法一：（图示法）如图（1）,用并排一行的10个小矩形表示10垄田地，小矩形内加表示选中，具体画出有 6种选取方法.再对每种选取方式分

11、别种植a、b两种作物，有 a2种种植方法.故共有6a2= 12种种植方法.f|a-b|7,根据题设条件，得1 1a 10, a n, llb 10, bc n.问题的解化为不等式组的整数解的个数.如图（2）所示，满足不等式组的解为坐标平面aob内标有“ ？号的整点，数整点个数有 12个，故符合题意的选垄方法有12种.18 .（本小题满分12分）已知在 版一十 n的展开式中，第6项为常数项.2j求n；（2）求含x2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.解：通项公式为tr+ 1 = cnxr（-irx- r. 323z 1r n2r= cn(2)x 3因为第6项为常数项，所以r = 5 时,n

12、 2r有不一=0,即n= 10.3(2)令n-t2r=2,得 r=1(n 6)=2, 32所求的系数为c20(2)2=竽.（3）根据通项公式，由题意得10- 2re z30r 5由题意，得1wxw4,相应每组解（x, y）,击球方法数分别为c4c3,x=1,x=2,x= 3,x=4,111y=3,ly= 2,ly= 1,ly= 0.c2c6, c3c6, c4c0.，共有不同击球方法数为 c4c6 + c4c6+c3c6+c4c6= 195.20.(本小题满分 12 分)(1)求证：n/n+ 1 w2(ncn*)；(2)求证：(1+x)n + (1x)n2n，其中 |x|2, nc n*.证明

13、：(1)要证1n+1 w2(ncn*),只需证 n + 1w2n 即可.= 2n= (1 + 1)n= c0+c；+ + 曰或+=1+3w2(ncn*),当n=1时等号成立.(2)(1 +x)n+(1 -x)n=2(1 + c2x2+c4x4+ + c2k x2k+ ).|x|1,0x2k1.(1 + x)n+(1x)n2(1 +cn+c4+- + c2k+ -) = 2 2n-1=2n,成立.21 .(本小题满分12分)已知信2 + 1厂展开式中的各项系数之和等于(x2+力5的展开式的常数项，而(22+1厂的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.解：由(fx2+力5，得tr+1= c5(1

14、56x2)5 re1x)r= (156)5 r c5 x205r,令 tr+1 为常数项，则 20-5r=0,所以r= 4,常数项t5=c4*g=16.5又(a2+ 1尸展开式中的各项系数之和等于2n,由此得到2n=16, n=4.所以(a2+1)4展开式中系数最大项是中间项t3=c4a4=54.所以a=琢3.22 .(本小题满分12分)4个男同学和3个女同学站成一排.(1)若3个女同学必须排在一起，则有多少种不同的排法？(2)若任何两个女同学彼此不相邻，则有多少种不同的排法？(3)若其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，则有多少种不同的排法？(4)若甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同

15、的排法？(5)若女同学从左到右按高矮顺序排，则有多少种不同的排法？ (3个女生身高互不相等)解：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有a3种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应用a5种排法.由乘法原理，有 a3a5 = 720种不同排法.(2)先将男生排好，共有a4种排法；再在这4个男生的中间及两头的 5个空当中插入3个 女生，有a3种方法.故符合条件的排法共有a4a3= 1440种.(3)甲、乙2人先排好，有a2种排法；再从余下的5人中选3人排在甲、乙2人中间，有 a3种排法；这时把已排好的 5人视为一个整体，

16、与最后剩下的 2人再排，又有a3种排法；这 样，总共有a2a3a3= 720种不同排法.(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有a4种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有a2种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原来排好的4人的空当中，有a5种排法；这样，总共有 a4a2a5= 960种不同排法.(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有a7种排法；然后再在余下的3个位置中排女生，由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法.这样共有a4= 840种不同排法.（2009珠海模拟）已知（x+1）信=a0+ax+a2x2+ a15x7 则 由+a+a2十+a7等b. 214d. 27答案：b0_ 1