高中数学题型全面归纳圆的方程40改

1、第三节圆的方程考纲解读1.掌握确定圆的三个条件、圆的标准方程与一般方程.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解与圆有关的问题.命题趋势探究高考中与圆有关的问题主要是圆的方程的求解，四种方程中标准方程是运用最广泛的，因为它能反映圆的几何特征（圆心和半径），通常用待定系数法求圆的方程.有关圆的考题，多在选择题、填空题中结合参数方程、极坐标的形式出现，重点考查标准方程和一般方程，难度不大，有时也将圆融入圆锥曲线中作为解答题考查.预测 2019 年高考本专题会主要考查：（ 1）结合直线方程，用待定系数法求圆的方程.（ 2）利用圆的几何性质求动点的轨迹方程.

2、知识点精讲一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.二、基本性质、定理与公式1.圆的四种方程（ 1）圆的标准方程：(xa) 2( yb) 2r 2 ，圆心坐标为(a,b)，半径为 r ( r 0)（ 2）圆的一般方程：x 2y 2DxEyF 0(D2E 24F 0) ，圆心坐标为D ,E ，半径 rD 2E 24F222（ 3）圆的直径式方程：若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则以线段AB 为直径的圆的方程是( xx1 )( xx2 )( yy1 )( yy2 )0（ 4）圆的参数方程： x 2y2r 2 (r0)xr cos的参数方程为（为参数）；

3、yr sin()2()22(xar cos0) 的参数方程为（为参数） .xaybrrybr sin注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(ar c o s , br s i n ) （为参数， (a,b)为圆心， r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式， 从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（ 1）点 P(x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2( y b) 2r 2的位置关系： ( xa) 2( yb) 2r 2点 P 在圆外； ( xa) 2( yb) 2r 2点 P 在圆上； ( xa) 2(

4、 yb) 2r 2点 P在圆内 .（ 2）点 P(x0 , y0 ) 与圆 x 2y 2Dx Ey F 0的位置关系： x02y02Dx0Ey0F0 x02y02Dx0Ey0F0 x02y02Dx0Ey0F0题型归纳及思路提示点 P 在圆外；点 P 在圆上；点P在圆内.题型 125 求圆的方程思路提示（ 1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标 (a,b)和半径 r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.（ 2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长

5、的一半构成直角三角形等.例 9.17 根据下列条件求圆的方程：（ 1） ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5), B(-2,-2), C(5,5),求其外接圆的方程；（ 2）经过点 A(6,5), B(0,1), 且圆心在直线 3x+10y+9=0 上；（ 3）经过点P(-2,4), Q(3,-1),且在 x 轴上截得的弦长等于6.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，曲线 yx26x 1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆 C的方程例 9.18(1)(2016 天津 ) 已知圆C的圆心在 x 轴的正半轴上， 点 M (0，5) 在圆 C上，且圆心到直线 2x y0 的距离为 45 ，则圆 C的

6、方程为 _ 522x y 1 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则(2)(2015 课标全国 )一个圆经过椭圆 164该圆的标准方程为_变式 1 求与 x 轴相切，圆心在直线3x-y=0 上，且被直线x-y=0 截得的弦长为2 7 的圆的方程例 9.19 圆 x2y 22x 1 0关于直线2x-y+3=0 对称的圆的方程是（）A. ( x 3) 2( y 2) 21B. ( x 3) 2( y 2)2122C. ( x 3) 2( y 2) 22D. ( x 3) 2( y 2)22变式1若不同两点P,Q的坐标分别为，( a, b), (3b,3a),则线段PQ的垂直平分线l 的斜率为 _

7、，圆(x2)2( y3) 21 关于直线l 对称的圆的方程为_题型 126直线系方程和圆系方程思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程 （圆系方程） 一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.（ 1）直线系方程： 若直线 l1 : A1 xB1 yC10 与直线l 2 : A2 xB2 yC20 相交于点P，则过点P的直线系方程为：1 ( A1x B1 y C1 )2 ( A2 x B2 y C2 ) 0 (220)12简记为：1l12 l20(220)12当1 0 时，简记为：l 1l20 （不含 l 2 ）（2）圆系方程：若圆C1 : x2y 2D1 xE1

8、 y F1 0 与 圆C2 : x2y 2D2 xE2 yF20 相交于 A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：x2y 2D1x E1 y F1( x2y 2D2 x E2 y F2 ) 0(1)简记为： C1C2 0(1) ，不含 C2当1时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）l : (D1D2 ) x (E1E2 ) y F1F20注 与圆 C 共根轴 l 的圆系 C: Cl0例 9.20（1）设直线 l 1 : xy 10与直线 l2 : 2x y20 相交于点 P,求过点 P 且与直线 l3 : 2x3y 1 0 平行的直线 l 4 的方程 .（ 2）求圆心在直线 3x4 y10 上

9、且过两圆 x2y2x y 2 0 与 x2y25的交点的圆的方程 .变式1 过直线 2xy40 和圆 x 2y22 x4 y10 的交点且面积最小的圆的方程是_变式 2 （1）设直线 l1 : xy0 与直线 l2 : xy 4 0 相交于点 P，求过点 P 且与直线l 3 : 3x 4y 5 0 垂直的直线l 4 的方程 .（ 2）已知圆 C : x 2y22x 4 y m0 ，若直线 l : x y 2 0 与圆 C 相交于 A,B两点，且 OAOB （O 为坐标原点），求 m 的值和以 AB 为直径的圆的方程.题型 127 与圆有关的轨迹问题思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点

10、的横纵坐标x,y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.例 9.21(2016 天津模拟 ) 设定点 M( 3,4) ，动点N在圆 x2 y2 4 上运动，以OM、 ON为两边作平行四边形MONP，求点 P的轨迹变式 1 在ABC 中，若 AB2, AC2BC ，则 S ABC 的最大值为 _例 9.22 如图 9-11 所示，已知P(4,0)是圆 x 2y2 36 内的一点， A,B 是圆上两动点，且满足APB90 ，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程变式 1 已知圆 x2y24上一定点 A(2,0), B(1,1) 为圆内的一定点

11、，P，Q 为圆上的动点 .（ 1）求线段 AP 中点 M 的轨迹方程；（ 2）若 PBQ90，求线段 PQ 中点 N 的轨迹 .变式 2 已知点 P(0,5) 及圆 C : x 2y 24x 12 y240（ 1）直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长 | AB |43 ，求 l 的方程；（ 2）求过点 P 的圆 C 的动弦的中点M 的轨迹方程 .题型 128 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件思路提示方程 x 2y2DxEy F0表示圆的充要条件是 D 2E 24F 0 ，故在解决圆的 一般式方程的有关问题 时，必须注意 这一 隐含 条件 . 在圆的一般方程中 ，圆心 为D ,E，

12、半径 r1D 2E 24F222例 9.23方程22210 表示圆，则 a 的取值范围是（y axayaax）22A., 2B.2 ,0C.2,0D.2,233评注 对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可变式1方程22mx2ymx y）440表示圆的方程的充要条件是（A. m1 ,1B. m1,4C. m, 1D. m, 1(1, )44变式 2 若圆 x2y 2(a 2 1) x 2ay a 0 关于直线 xy 1 0 对称，则实数 a 的值为_题型 129 点与圆的位置关系判断思路提示在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形

13、式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.例 9.24 若点A(1,1)在圆xa2ya2)()4 的内部，则实数a 的取值范围是（）(A. ( 1,1)B. (0,1)C.( ., 1)(1, )D.1,1评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为若点 P( x0 , y0 ) 在圆上 ,则 ( x0a)2( y0b)2r 2 ；若点 P( x0 , y0 ) 在圆外 ,则 ( x0a)2( y0b)2r 2 ；若点 P( x0 , y0 ) 在圆内 ,则 ( x0a)2( y0b)2r 2 .反之也成立 .变式 1 点 A(1,0)在圆2222yaxa

14、ax3 3 0 上，则 a 的值为 _变式 2 过占 P(1,2) 可以向圆 x2y 22x 4 yk 20 引两条切线，则k 的范围是（）A. ( ,7)B. (0,7)C. (3,7)D. (5,)题型 30 与圆有关的最值问题思路提示解决此类问题， 应综合运用方程消元法、 几何意义法、 参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到灵活、高效 .例 9.25 已知实数 x,y 满足方程 x2y 24x 1 0（ 1）求 y 的最大值和最小值；x（ 2）求 yx 的最大值和最小值；（ 3）求 x2y 2 的最大值和最小值评注涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（ 1）形

15、如ybx的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.a（ 2）形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（ 3）形如 m( xa) 2( y b) 2 的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题例 9.26（2017 北京文）已知点 P 在圆 x2y2 =1上，点 A 的坐标为 (2,0) ， O 为原点，则AO AP 的最大值为 _变式 1 若圆 x2( y1)21上任意一点 (x,y)都使不等式xym0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A.(,12B.12,)C.(,21D.(,21变式2若圆 x2( y 1) 21上任意一点 (x,y)都使不等式

16、(x2)2y 2m 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A. (,12B.15, ) C.( , 51D. (, 51题型 131 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例 9.26(2017 新课标理 )在矩形 ABCD 中， AB1, AD2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD ，则的最大值为（）A 3B22C5D2变式 1 方程 x1 y2 表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C.两条射线D.半个圆例 9.27直线 y xb 与曲线 x1

17、 y 2 有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（）A.2, 2B. b | 1 b 1或b2C. b | 1 b 1D. b | b2变式 1当曲线 y 14x 2与直线 yk ( x 2)4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（）A.5 ,B.5 ,3C. 0,5D.1, 3121241234变式 2若直线 yx b 与曲线 y 34xx2 有公共点，则b 的取值范围是（）A.1,122B.1 2 2,12 2C.1 2 2,3D. 12,3变式3 设集合A( x, y) m(x2)2y2m2 , x, yR ,2B ( x, y) 2m xy 2m1, x, yR，若AB，则实数 m

18、的取值范围是 _最有效训练题40（限时 45 分钟）1.若直线 y=kx 与圆 x 2y 24 x30 的两个交点关于直线x+y+b=0 对称，则（）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-22.若点 (4a-1,3a+2) 不在圆 ( x1) 2( y2)225的外部，则a 的取值范围是（）A.5 ,5B. (1,1)C.5 , 5D. 1,155553.设椭圆x2y 21(ab0)的 离 心 率 为 e1， 右 焦 点 为 F (c,0) ， 方 程a2b 22ax 2bxc0 的两个实根分别为x1和 x2 ，则点 P( x1 , x2 ) （ ）A. 必在圆 x 2y 22内B.必在圆 x2y 22 上C.必在圆 x 2y 22 外D.以上三种情形都有可能4.已知圆 x 2y 24 ，过点A(4,0) 作圆的割线 ABC，则弦 BC 中点的轨迹方程是（）A. (x 1)2y 24 1 x12B. ( x 1) 2y24 0 x 1C. ( x 2) 2y 24 1 x12D. ( x 2) 2y 24 0 x 15.已知两点 A(-1,0), B(0,2) ，点 P 是圆 (x1)2y21上任意一点，则PAB 面积的最大值与最小值分别是（）A. 2,1(45)B.1(45), 1(45)222C.