二次方程根的分布情况归纳(完整版)

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 ax2 bx0根的分布情况 设方程ax2 bx c = 0 a = 0的不等两根为X|,x2且论：x2，相应的二次函数为 f x = ax2 bx 0，方程的 根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） ：0 分布情况 两个负根即两根都小于0 x1 : 0, x2 : 0 两个正根即两根都大于0 为 0, x20 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于0捲：0 ：x2 得出的结论 o O O f 0 ： 0 得出的结论 o O O.;:

2、好。 f 0 ：0 综合结论不讨论a 2a a f 00 .：0 b 2a a f 0 ： 0 表二：（两根与k的大小比较） 分布情况 两根都小于k即 x1 : k, x2 : k 两根都大于k即 x1 k, x2 k 一个根小于k，一个大于k即 捲：k ： x2 ( 0 ) 0 I / / * k a 得出的结论 i0 b ：. k 2a f k 0 .：0 b :k 2a f k ： 0 得出的结论 o A- b o 0 b :一 k 2a f k 0 f m i0 f n 0 b mn 2a f m f n : 0 fmj、0 fn：:0或 f m f n ：0 f P 0f P f q

3、 ：0 fq 0 得出的结论 f m ： 0 f n ：0 b mn 2a f m f n ： 0 f m ： 0 f n O f m f n ： 0 或4 f p 0 f p f q :：0 f q 0 综合结论不讨论a f m f n ： 0 f m f n ： 0 f p f q : 0 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧 x: m, x2n ,（图形分别如下）需满 足的条件是 (1) a 0时，f m ：0 F (n) 1 m a0 0 : m ：3 -2、一2或m .3 2.2即为所求的范围。 例3、已知二次函数 y =m 2 x2 - 2m 4 x

4、 3m 3与x轴有两个交点，一个大于 的取值范围。 1 解：由 m 2 |_f 1 ： 0 即 m 2 L 2m 1 ： 0 = -2 ： m即为所求的范围。 例4、已知二次方程 mx2 2m-3 x *4=0只有一个正根且这个根小于 1，求实数m 二 3m 1 : 0 解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f 0|_f 1 : 0 2、2 1, 一个小于1,求实数m 的取值范围。 1 =m即为所求范围。 3 (注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由厶=0计算检验，均不复合题意，计 算量稍大) 例1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：

5、(1) 方程x2 -ax a2 -7 =0的两个根一个大于 2，另一个小于2； (2) 方程7x2 -(a 13)x - a2 -a -2 =0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； (3) 方程x2 ax 2 0的两根都小于0； 变题：方程x2 ax 20的两根都小于-1. (4) 方程 x2-(a 4)2a2 5a，3=0 的两根都在区间-1,3上; (5) 方程x2 -ax= 0在区间(-1， 1) 上有且只有一解； 例2、已知方程x2 -mx 4 0在区间-1，1上有解，求实数 m的取值范围. 例3、已知函数f (x)二mx2 (m-3)x，1的图像与x轴的交点至少有一

6、个在原点右侧，求实数m的取值范围. 检测反馈： 2 1 一 1若二次函数f (x) =X2 (a 1)x+5在区间(一,1)上是增函数，则f(2)的取值范围是 . 2 2若：、-是关于x的方程x2 - 2kx k 6 = 0的两个实根，则-1)2 ( ： -1)2的最小值为 . 3. 若关于x的方程x2+(m2)x+2m1 =0只有一根在(0,1)内，则m_. 4. 对于关于x的方程x+(2m-1)x+4 -2m=0求满足下列条件的 m的取值范围： (1)有两个负根(2)两个根都小于-1 (3) 一个根大于2，一个根小于2(4)两个根都在(0，2)内 (5)一个根在(2，0)内，另一个根在(1

7、， 3)内(6)个根小于2，一个根大于4 (7) 在(0，2 )内有根 (8) 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 5已知函数f(x) =mx2 x -1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。 2、二次函数在闭区间m,n 1上的最大、最小值问题探讨 设f x二ax2 bx 0 a 0 ，则二次函数在闭区间m, n】上的最大、最小值有如下的分布情况： b m c n 2a mcn 即一一e m,n】 2a2a b c m n 2a +ix+0 fX = t.x2= 00 I y Ay n 最大、最小值 f x max 二 maxf n , f m n /1 - X f f

8、 x min b i 2a 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论： bff b、 (若e m,n 】，则 f (xhax = maxf (m) f l f (n ， f(xhn = mi n* 2a-i 2a丿 (2)若m,n 1,贝u f X max = max f m , f n - f x min = min f m , f n 2a 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下 时，自变量的取值离开 x轴越远，则对应的函数值越小。 二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的

9、情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题 各代表一种情况。 例1、函数f x二ax2 -2ax 2 b a = 0在2,31上有最大值5和最小值2,求a, b的值。 解：对称轴x0 =1 2,3 1, 故函数f x在区间(2,31上单调。 r 1lf(xm=f(3)3a + b + 2 = 5a = 1 (1) 当a 0时，函数f x在区间2,3 1上是增函数，故max f (xh (2) I 2 + b = 2 lb=0 r ilf (x f (2) f b + 2 = 5a=1 (2) 当a ：0时，函数f x在区间2,3 1上是减函数，故max f(xkn=f

10、(3)l3a + b + 2 = 2b=3 例2、求函数f x =x2 -2ax 1,1,3 1的最小值。 解：对称轴x0 = a (当 a 1 时，ymin =f 1i=2-2a(2)当仁 a3时，ymin = f a i； = 1-a2；(3)当 a 3时，ymin = f 3=10-6a 改：1.本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？ 解：(1)当 av2 时，f (x)max = f (3)=106a ； (2)当 a2时，f x ma= f 1 =22a。 2 本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行? 3 4 解：当a d 时，f X max = f 3 J-6a , fXmi

11、n= f仁2-羽； (2) 当1 - a 2 时，fX max 二 f3 J-6a,fX min二fa = 1 -f ； (3) 当2 乞 a ： 3时，fX 皿玄乂 二 f1 = 2 - 2a，fX皿山二fa = 1 -； (4) 当a_3时，fxma f 1=2-2a , fx皿山二 f3=10-6a。 例3、求函数y =x2 -4x 3在区间t,t 1上的最小值。 解：对称轴x0 =2 (1)当 2 讥即 t 2时，ymin = f t =t4t 3 ；(2)当 t 乞 2 空t 1 即 1 空 t 乞 2 时，ymin = f 2 = -1 ； （3）当 2 t 1 即t ：1 时，ymin 二 f t V =t2 -2t 例4、讨论函数f（x） = x2 + x-a +1的最小值。 (x) = x2 +x-a +1 解: x +x