判断矩阵的最大特征值(20210419122213)

1、共享知识分享快乐项目六 矩阵的特征值与特征向量实验1求矩阵的特征值与特征向量实验目的学习利用Mathematica（4.0以上版本）命令求方阵的特征值和特征向量；能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.求方阵的特征值与特征向量.例1.1 （教材例1.1）求矩阵A1 0 2121 .的特征值与特值向量130(1) 求矩阵A的特征值.输入A=-1,0,2,1,2,-1,1,3,0MatrixFormAEigenvaluesA则输岀A的特征值-1,1,1(2) 求矩阵A的特征向量.输入A=-1,0,2,1,2,-1,1,3,0MatrixFormAEigenvectorsA则输出-3

2、,1,0,1,0,1,0,0,031即A的特征向量为 1,0.0 1（3）利用命令Eigensystem同时矩阵A的所有特征值与特征向量.输入A=-1,0,2,1,2,-1,1,3,0MatrixFormAEigensystemA则输岀矩阵A的特征值及其对应的特征向量.234例1.2求矩阵A 345的特征值与特征向量456输入A=Tablei+j,i,3,j,3MatrixFormA(1) 计算矩阵A的全部(准确解)特征值,输入EigenvaluesA则输出0, 6、42 , 642 (2) 计算矩阵A的全部(数值解)特征值,输入EigenvaluesNA则输出12.4807, -0.4807

3、41, -1.348310 16(3) 计算矩阵A的全部(准确解)特征向量，输入EigenvectorsA/MatrixForm则输出1 2 117 24220 342123 44223 44217 24220 342123 44223 442(4) 计算矩阵A的全部(数值解)特征向量，输入EigenvectorsNA/MatrixForm则输出0.4303620.5665420.7027220.805060.111190.5826790.4082480.8164970.408248(5) 同时计算矩阵A的全部(准确解)特征值和特征向量，输入OutputFormEigensystemA则输岀所

4、求结果(6) 计算同时矩阵A的零空间，输入NullSpaceA则输出1,21调入程序包vvLinearAlgebraOrthogonalization后，还可以做以下的运算GramSchmidt:用Gram-Schmidt过程将向量组单位正交化 ；Normalize:将向量组单位化；Projectionvect1,vect2:求从向量组 vectl 到 vect2 的正交映射输入vvLinearAlgebra Orthogonalization GramSchmidtEigenvectorsNA/MatrixForm则输出0.4303620.5665420.7027220.805060.111

5、190.582679123求方阵M213的特征值和特征向量336ClearM;例1.3输入则分别输出0.4082480.8164970.408248M=1,2,3,2,1,33,3,6;EigenvaluesMEigenvectorsMEigensystemM-1,0,9-1,1,0,-1,-1,11,1,2-1,0,9,-1,1,0,-1,-1,11,1,21/31/31/2例1.4 （教材例1.2）求矩阵A 1/511/3的特征值和特征向量的近似值612输入A=1/3,1/3,-1/2,1/5,1,-1/3,6,1,-2;EigensystemA则屏幕输岀的结果很复杂，原因是矩阵A的特征值

6、中有复数且其精确解太复杂.此时，可采用近似形式输入矩阵A,则输岀结果也采用近似形式来表达.输入A=1/3,1/3,-1/2,1/5,1,-1/3,6.0,1,-2;EigensystemA则输出-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311,0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477l,0.955675+0.i,0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i,-0.0872248,-0.866789,-0.490987；属于实从中可以看到A有两个复特征值与一个实特征

7、值.属于复特征值的特征向量也是复的 特征值的特征向量是实的.3 0 0 例1.5 （教材 例1.3）已知2是方阵A 1 t 3的特征值，求 t .12 3输入ClearA,q;A=2-3,0,0,-1,2-t,-3,-1,-2,2-3;q=DetASolveq=0,t则输出t8即当t 8时,2是方阵A的特征值.例1.6 (教材 例1.4)已知x (1,1, 1)是方阵A23的一个特征向量，求参数a,b及特征向量x所属的特征值设所求特征值为t,输入ClearA,B,v,a,b,t;A=t-2,1,-2,-5,t-a,-3,1,-b,t+2;v=1,1,-1;B=A.v;SolveB1=0,B2=

8、0,B3=0,a,b,t则输出a-3, b 0, t -1即a 3,b0时,向量x (1,1, 1)是方阵A的属于特征值-1和特征向量.矩阵的相似变换例1.74（教材例1.5）设矩阵A 2,求一可逆矩阵P 1AP为对角矩阵方法1输入ClearA,P;A=4,1,1,2,2,2,2,2,2;EigenvaluesAP=EigenvectorsA/Transpose则输出0,2,6 0,-1,1,-1,1,1,1,1,10即矩阵A的特征值为0,2,6.特征向量为1 ,1可验证P 1AP为对角阵，事实上，输入InverseP . A.P则输出0,0,0,0,2,0,0,0,6因此，矩阵A在相似变换矩

9、阵P的作用下，可化作对角阵.方法2 直接使用JordanDecomposition命令，输入jor=JordanDecompositionA则输出0,-1,1,-1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,2,0,0,0,6可取岀第一个矩阵S和第二个矩阵，事实上，输入jor【1 jor2则输出0,-1,1,-1,1,1,1,1,10,0,0,0,2,0,0,0,6输岀结果与方法1的得到的结果完全相同.1 0例1.8 方阵A是否与对角阵相似？2 1输入ClearA;A=1,0,2,1;EigensystemA输岀为1,1,0,10,0于是,1是二重特征值，但是只有向量0,1是特征向量，因此,矩阵A不

10、与对角阵相似.2 0 0 1 0 0 例1.9 （教材 例1.6）已知方阵A 2x2与B 020相似，求x, y .3 1100 y注意矩阵B是对角矩阵，特征值是1,2, y.又矩阵A是分块下三角矩阵，-2是矩阵A的特 征值矩阵A与B相似，则y 2 ,且-1,2也是矩阵A的特征值.输入Clearc,v;v=4,0,0,-2,2-x,-2,-3,-1,1;SolveDetv=0,x则输出x0所以，在题设条件，x 0, y2.0 110例1.10 对实对称矩阵A1010,求一个正交阵P ,使P 1AP为对角阵110 00 0 0 2输入vvLinearAlgebraOrthogonalizatio

11、nClearA,PA=0,1,1,0 ,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,2;EigenvaluesAEigenvectorsA输岀的特征值与特征向量为-1,-1,2,2-1,0,1,0,-1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0再输入P=GramSchmidtEigenvectorsA/Transpose输岀为已经正交化和单位化的特征向量并且经转置后的矩阵1I 131 1 10,O,0,1,0 2. 6. 3为了验证P是正交阵，以及 p 1APPTAP是对角阵，输入2,TransposeP.PlnverseP.A.P/SimplifyTransposeP.A.P/simpli

12、fy则输出1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2第一个结果说明PTPE ,因此P是正交阵；第二个与第三个结果说明11TP 1 AP P1 AP122例1.11求一个正交变换，化二次型f2x1x2 2x1x3 2x2x3 2x2 为标准型.二次型的矩阵为0 11010 10 A110 00 0 0 2这恰好是例1.10的矩阵，因此，用例1.1012 0 12中的正交矩阵P，作正交变换X PY ,即y1y2y3y40006-2316313130

13、将f化作标准型.输入010f=Tablexj,j,4.A.Tablexj,j,4/Simplify则输出2(x2x3+x1(x2+x3)+x42)这是原来的二次型 f.把上式中的x1,x2,x3,x4用y1,y2,y3,y4表示,输入代换命令f/.Tablexj(P.Tableyj,j,4)j,j,4/Simplify则输出-y1 2-y2 2 +2(y3 2 +y4 2)这就是二次型f的标准型.例1.12 (教材例1.7)已知二次型2 2f(X1,X2,X3) X12X22X3 2X1X2 4X1X3 2x2X3(1)求标准形；(2)求正惯性指数；(3)判断二次型是否正定输入A=1,1,-2

14、,1,-2,1,-2,1,1EigenvaluesA则输岀矩阵A的特征值为-3,0,3所以二次型的标准形为f 3y； 3y2 ;正惯性指数为1;该二次型不是正定的.例1.13 (教材 例1.8)求正交变换将二次型2 2 2 2f(X1,X2,x3)X1X2X3X42X1X22X1X4 2x2x32x3X4化为标准形.输入A=1,1,0,-1,1,1,1,0,0,1,1,-1,-1,0,-1,1MatrixFormAX=x1,x2,x3,x4;ExpandX. A.XvvLinearAlgebraOrthogonalization.mP=GramSchmidtEigenvectorsAPAInv

15、erseP/MatrixForm则输岀所求的正交变换矩阵P与二次型矩阵A标准形.从结果知，所求二次型的标准型为2 2 2 2g y1 y2 y y实验2层次分析法实验目的通过应用层次分析法解决一个实际问题，学习层次分析法的基本原理与方法；掌握用层次 分析法建立数学模型的基本步骤；学会用Mathematica解决层次分析法中的数学问题.基本原理层次分析法是系统分析的重要工具之一，其基本思想是把问题层次化、数量化，并用数学 方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据.它特别适用于难以完全量化，又相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂问题.它把人的思维过程层次化、数量化，是系统分析的一中 新型的数学方

16、法.运用层次分析法建立数学模型，一般可按如下四个基本步骤进行.1.建立层次结构首先对所面临的问题要掌握足够的信息，搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互关系，及所要解决问题的目标.把问题条理化、层次化，构造岀一个有层次的结构模型.在这 个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分.这些元素又按其属性及关系形成若干层次.层 次结构一般分三层：第一层为最高层，它是分析问题的预定目标和结果，也称目标层；第二层为中间层，它是为了实现目标所涉及的中间环节，如：准则、子准则，也称准则层；第三层为最底层，它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，也称方案层图2-1注:上述层次结构具有以下特点:(1)从

17、上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示；(2)整个层次结构中层次数不受限制2构造判断矩阵构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键.假定以上一层的某元素y为准则,它所支配的下一层次的元素为x1,x2, ,xn,这n个元素对上一层次的元素y有影响，要确定它们在y中的比重.采用成对比较法.即每次取两个元素Xi和xj ,用aj表示Xi与xj对y的影响之比, 全部比较的结果可用矩阵A表示，即A (aij )n n, i , j 1,2,n.称矩阵A为判断矩阵.根据上述定义，易见判断矩阵的元素aij满足下列性质：1aji(i j),an1, (i j)aij当aij 0时，我们称判断矩阵A为正互反矩阵.怎样

18、确定判断矩阵A的元素aij的取值呢？当某层的元素xi,X2,Xn对于上一层某元素 y的影响可直接定量表示时，Xi与Xj对y的影响之比可以直接确定，aj的值也可直接确定.但对于大多数社会经济问题，特别是比较 复杂的问题，元素Xi 与 Xj对y的重要性不容易直接获得，需要通过适当的量化方法来解决. 通常取数字19及其倒数作为aj的取值范围.这是因为在进行定性的成对比较时，通常采用5级制(表1),在每两个等级之间各有一个中间状态 ，共19个尺度，另外心理学家认为进行成 对比较的因素太多，将超岀人们的判断比较能力，降低精确.实践证明，成对比较的尺度以 7 2为宜，故aj的取值范围是1,2,9及其倒数.

19、表1比较尺度aij的取值Xi /Xj相等较强强很强绝对强aij135793. 计算层次单排序权重并做一致性检验层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序.具体做法是：根据同一层n个元素x1 ,x2, xn对上一层某元素y的判断矩阵 A,求出它们对于元素y的相对排序权重，记为w1, w2, ,wn ,写成向量形式w (w1 ,w2, ,wn)T ,称其为A 的层次单排序权重向量，其中wi表示第i个元素对上一层中某元素y所占的比重，从而得到层次单排序.层次单排序权重向量有几种求解方法，常用的方法是利用判断矩阵A的特征值与特征向量来计算排序权重向量w.关于正互反矩阵A

20、,我们不加证明地给岀下列结果.(1) 如果一个正互反矩阵 A (aj)nn满足aij ajk aik (i,j,k 1,2,n)则称矩阵A具有一致性，称元素Xj,Xj,xk的成对比较是一致的；并且称A为一致矩阵.(2) n阶正互反矩阵A的最大特征根max n ,当 n时，A是一致的.(3) n阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值max n .计算排序权重向量的方法和步骤设w (1,2, , n)T是n阶判断矩阵的排序权重向量，当A为一致矩阵时，根据n 阶判断矩阵构成的定义，有11121 n222A12n(2.1)nnn12n因而满足Aw nw,这里n是矩阵A的最大特征根，w是相应的

21、特征向量；当A为一般的 判断矩阵时Aw maxW,其中max是A的最大特征值 他称主特征根),W是相应的特征向n量(也称主特征向量).经归一化(即 i1)后，可近似作为排序权重向量，这种方法称为i 1特征根法.一致性检验在构造判断矩阵时，我们并没有要求判断矩阵具有一致性，这是由客观事物的复杂性 与人的认识的多样性所决定的.特别是在规模大、因素多的情况下，对于判断矩阵的每个元 素来说，不可能求岀精确的i/ j,但要求判断矩阵大体上应该是一致的.一个经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误.利用上述方法计算排序权重向量，当判断矩阵过于偏离 一致性时，其可靠性也有问题.因此,需要对判断矩阵的一致性进

22、行检验，检验可按如下步骤进行：(1) 计算一致性指标CICImax nn 1(2.2)当CI 0,即max n时，判断矩阵A是一致的.当CI的值越大，判断矩阵A的不一致的程度就越严重.(2) 查找相应的平均随机一致性指标RI表2给出了 n (111)阶正互反矩阵的平均随机一致性指标RI ,其中数据采用了100150个随机样本矩阵 A计算得到.表2矩阵阶数1234567891011RI000.580.91.121.241.32 1.411.451.491.51(3) 计算一致性比例CRCR (2.3)RI当CR 0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则应对判断矩阵作适当修正.4. 计算

23、层次总排序权重并做一致性检验计算岀某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后，还需要得到各层元素，特别是最底层中各方案对于目标层的排序权重，即层次总排序权重向量，再进行方案选择.层次总排序权重通过自上而下地将层次单排序的权重进行合成而得到.考虑3个层次的决策问题：第一层只有1个元素，第二层有n个元素，第三层有m个元 素.设第二层对第一层的层次单排序的权重向量为w(2)( 1(2),2(2)、T,n丿第三层对第二层的层次单排序的权重向量为(3)wk/(3)(Wk1 ,w(3) k2 ,(3)、T .W ) ,k1,2, ,n以wk3)为列向量构成矩阵：(3)(3)(3)wn ,w21 ,wn1

24、,(3)(3)-(3)(3)/(3)(3)W(W1 , W2 ,wn3)w12 ,w22 ,wn2 ,(2.4)(3)(3)(3)w1m ,w2m,，wnm m n则第三层对第一层的层次总排序权重向量为w(3)W(3)w(2)(2.5)一般地，若层次模型共有s层，则第k层对第一层的总排序权重向量为w(k) W(k)w(k 1), k 3,4, ,s(2.6)其中W(k)是以第k层对第k 1层的排序权向量为列向量组成的矩阵，w(k1)是第k 1层对第一层的总排序权重向量.按照上述递推公式，可得到最下层(第s层)对第一层的总排序权重 向量为wW(s)W(s 1)Ww(2.7)对层次总排序权重向量也

25、要进行一致性检验.具体方法是从最高层到最低层逐层进行检验.如果所考虑的层次分析模型共有 s层.设第1(3 Is)层的一致性指标与随机一致性指标分别为CI1(l),CI2l), ,CIn(n是第l1层元素的数目)与Rl!(l) ,ri2,Rin,令CI (l)ciT,CI1(l)w(l1)(2.8)RI(l)RiV,Rh(l)w(l 1)(2.9)则第I层对第一层的总排序权向量的一致性比率为CR CR(I 1)筈，I 3,4, ,s(2.10)RI其中CR(2)为由(2.3)式计算的第二层对第一层的排序权重向量的一致性比率当最下层对第一层的总排序权重向量的一致性比率CR(s) 0.1时，就认为整

26、个层次结构的比较判断可通过一致性检验.应用举例问题 在选购电脑时，人们希望花最少的钱买到最理想的电脑.试通过层次分析法建立数学模型，并以此确定欲选购的电脑.1.建立选购电脑的层次结构模型该层次结构模型共有三层目标层（用符号z表示最终的选择目标）;准则层（分别用符号 yi,y2, ,y表示“性能”、“价格”、“质量”、“外观”、“售后服务”五个判断准则）;方案层份 别用符号Xi,X2,X3表示品牌1,品牌2,品牌3三种选择方案）.2.构造成对比较判断矩阵（1）建立准则层对目标层的成对比较判断矩阵根据表1的定量化尺度，从建模者的个人观点岀发，设准则层对目标层的成对比较判断 矩阵为153931/51

27、1/221/2A 1/32131(2.11)1/91/21/311/31/32131 建立方案层对准则层的成对比较判断矩阵1 1/31/513511/31/5B1311/2,B21/312 ,B3311/25211/51/21521153133B41/511/2,B51/3111/3211/3113.计算层次单排序权重向量并做一致性检验先利用Mathematica计算矩阵A的最大特征值及特征值所对应的特征向量 . 输入MiscellaneousRealOnly.m（*调用只求实数运算的软件包*）A=1.0,5,3,9,3,1/5,1,1/2,2,1/2,1/3,2,1,3,1, 1/9,1/2

28、,1/3,1,1/3,1/3,2,1,3,1;（*以小数形式1.0输入进行近似计算，可避免精确解太长、太复杂 *） T=EigensystemA/Chop（*输入/Chop,把与零非常接近的数换成零*）则输出5.00974,Nonreal,Nonreal,0,0,共享知识分享快乐0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926,0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal,0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal,-0.993398,0,0.0673976,0.0662265,0

29、.0650555,-0.65676,0,0.57431,0.043784,-0.486742(输出中的Nonreal表示复数)从中得到A的最大特征值max 5.00974,及其对应的特征向量x (0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926)T输入Clearx;x=T【2,1;ww2=x/ApplyPlus,x则得到归一化后的特征向量w(2)(0.502119,0.0956728,0.173739,0.0547301,0.173739)T计算一致性指标CI-，其中n 5, max 5.00974,故n 1CI 0.002435.查表得到相应的随机一致

30、性指标RI 1.12从而得到一致性比率(2) CICR( )0.002174RI因CR0-1,通过了一致性检验，即认为A的一致性程度在容许的范围之内，可以用归一化后的特征向量w作为排序权重向量.下面再求矩阵Bj(j 1,2, ,5)的最大特征值及特征值所对应的特征向量，输入B1=B3=1.0,1/3,1/5,3,1,1/2,5,2,1;B2=TransposeB1;B4=1.0,5,3,1/5,1,1/2,1/3,2,1;B5=1.0,3,3,1/3,1,1,1/3,1,1;T仁 EigensystemB1/ChopT2=EigensystemB2/ChopT3=EigensystemB3/C

31、hopT4=EigensystemB4/ChopT5=EigensystemB5/Chop则输出3.00369,Nonreal, Nonreal,0.163954,0.46286,0.871137, Nonreal, Nonreal,0.871137, Nonreal, Nonreal, 0.871137;3.00369,Nonreal, Nonreal,0.928119,0.328758,0.174679,0.928119, Nonreal, Nonreal,0.928119, Nonreal, Nonreal3.00369, Nonreal, Nonreal,0.163954,0.4628

32、6,0.871137, Nonreal, Nonreal,0.871137, Nonreal, Nonreal,0.8711373.00369, Nonreal, Nonreal,0.928119,0.174679,0.328758,0.928119, Nonreal, Nonreal,0.928119, Nonreal, Nonreal3,0,0,0.904534,0.301511,0.301511,-0.973329,0.162221,0.162221,-0.170182,-0.667851,0.724578从上面的输出可以分别得到 Bj(j 1,2,5)的最大特征值13.00369, 2

33、3.00369, 33.00369, 43.00369, 53.000以及上述特征值所对应的特征向量刘(0.163954,0.46286,0.871137)Tx2(0.928119,0.328758,0.174679)TX3 (0.163954,0.46286,0.871137)tX4(0.928119,0.174679,0.328758)Tx5(0.904534,0.301511,0.301511)T其中Xi (刈，Xi2, Xi3),i 1,2, ,5.为求出归一化后的特征向量，输入Clearx1,x2,x3,x4,x5;x仁 T12,1;w1= x1/ApplyPlus,x1x2=T22

34、,1;w2=x2/ApplyPlus,x2x3=T32,1;w3=x3/ApplyPlus,x3x4=T42,1;w4=x4/ApplyPlus,x4x5=T52,1;w5=x5/ApplyPlus,x5则输出Wt (0.109452,0.308996,0.581552)tw2(0.648329,0.229651,0.12202)tW3(0.109452,0.308996,0.581552)Tw4(0.648329,0.12202,0.229651)Tw5(0.600000,0.200000,0.200000)T计算一致性指标Cli丄n (i 1,2,5),其中n 3,输入n 1lamda=T

35、1【1,1,T2【1,1,T3【1,1,T4【1,1,T5【1,1CI=(lamda-3)/(3-1)/Chop则输出CI10.0018473, CI 20.0018473, CI30.0018473,CI 40.0018473, CI50查表得到相应的随机一致性指标RIi 0.58 (i 1,2,5)计算一致性比率CRiC, i 1,2, ,5,输入RIiCR=CI/0.58则输出CR1 0.003185, CR2 0.003185, CRa 0.003185,CR40.003185, CR50.因CRi0.1,(i 1,2, ,5),通过了一致性检验.即认为Bj(j 1,2, ,5)的一致性程度在容许的范围之内，可以用归一化后的特征向量作为其排序权重向量.4.计算层次总排序权重向量并做一致性检验购买个人电脑问题的第三层对第二层的排序权重计算结果列于表3