北京西城高三二模数学理科试题及答案

1、北京市西城区2015年高三二模试卷 数学（理科） 本试卷分第I卷和第n卷两部分，第I卷1至2页，第n卷3至6页，共150分考试时 长120分钟考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 和答题纸一并交回. 1 .设集合/=花兀一10，集合乃二讨兀丢3?,则AI B =（） A . （ 1? 3） ? B . （ 1? 3 ? C. 1? 3） ? D . （ 1? 3 2. 已知平面向量：，渐近线的方程为 84 11. 已知角 的终边经过点 （一3, 4 ）,则cos = ? ； cos 2= 12. 如图，P为O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与 O相交于点B

2、、C , 3 且PC = 2FA , D为线段PC的中点，AD的延长线交：O于点E .若PB = ?，则 4 13. 现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种.（用数字作答） 14如图，正方形ABCD的边长为2, O为AD的中点，射线0P从OA出发，绕着点0顺 时针方向旋转至0D，在旋转的过程中，记 Z.AOP为不（Z亡th诃），0P所经过的在正方 形ABCD内的区域（阴影部分）的面积 S = f （x）,那么对于函数f （x）有以下三个结论: S A O D 任意咒亡，亍,都有f Tl -a +/ -tx -4 任意 其中所有正确结论的序号是 三、解答题

3、：本大题共 6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. （本小题满分13分） 在锐角 ABC中，角 A, B , C所对的边分别为a, b , c ,已知a =、7 , b = 3, 护h口厅斗win H = 2击 （I） 求角A的大小； （n） 求厶ABC的面积. 16. （本小题满分13分） 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这 10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图. 5001 7522 03 3 14 为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的星级卖场”. （

4、I）当a = b = 3时，记甲型号电视机的星级卖场”数量为m，乙型号电视机的 星级 卖场”数量为n ,比较m , n的大小关系； （H）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的 星级卖场” 的个数，求X的分布列和数学期望. （川）若a = 1,记乙型号电视机销售量的方差为 s2,根据茎叶图推断b为何值时，达 到最小值.（只需写出结论） 17. （本小题满分14分） 如图1,在边长为4的菱形ABCD中，皿=妙 QE丄虫”于点E，将 ADE沿DE 折起到刍DE的位置，使 AyD 1 DC，如图2. 求证：V 平面BCDE ; 求二面角 - 的余弦值； 判断在线段EB上是否存在

5、一点P，使平面厲QF丄甲面AC ?若存在，求出血的 值；若不存在，说明理由. 囲1 18. （本小题满分13分） 已知函数一 /W- 兀，其中a R 1 + dfK 当丁 时，求f （X）的单调区间； 4 当a 0时，证明：存在实数 m 0,使得对于任意的实数 x,都有丨f （x） |呦成立. 19. （本小题满分14分） 2 2 设；：分别为椭圆E： X2 笃 i（a b 0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点， a b 点B为椭圆E的上顶点，且| AB | = 2. 若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程； 3 设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线 ，-与y轴相交于点Q ,若以PQ为 直径

6、的圆经过点Fi，证明：亍. 20. （本小题满分13分） 无穷数列p ：听，巴十，円，*、满足囁迂M,且码荃网*1。丘nJ，对于数列p，记 氐（巧二山几制鼻幻（上小0，其中m 1口咔&町表示集合中Q 切中最小的数. （I） 若数列P :1? 3? 4 ? 7 ?，写出 （n）若巩P）=21，求数列P前n项的和； （川）已知吆= 46,求& =他+呦+灯厲+齐（F）+爲（尸）+爲&（P）的值. 北京市西城区2015年高三二模试程参考答案及评分标准 高三数学（理科） 2015.5 5. B 6. B 7. A 8C 二.填空脛: 木人怨共6小題.毎小固分，丿E 30分. T 10. II 7 25

7、 13. 288 14. 注: 第10. II, 12題第一问2分，聖二问3分$第14 H多选、 渥选或怡选均不猬分. 本人越共8小题抵小題5分.共轴分. 3. I） 2. D 解答氐木大遞共6小题共曲分其他正确解袴过程.请豹杞评分标准給分. 15. （本小題満分】3分） ）解：rrwc中.由正枝定JT - t sin A sin B 得 Y 二即 !1 sin !i = 3sin A . sin A sin B 又因为 V? sin B + sin A = 2/5 解得3=4 因为X伙：为傥角二用形. 所以/ =亍 i II ）解：6 ABC中.由余孩定理COS4 2bc 御违二1,痕_2

8、10分 当C = 1时，因为8S0= lac14 第1页共8頁 A 巧。=2时因为cos二 _= 0. RAc. ba. 2itc 14 所W为说见三角形袴合題建. 13分 z U X4BC的放S二人sin.4二期幺芈二学. 16.（本小魁満分13分 （I ）解：根据茎叶Pfh 再甲组数据的平均数为bJ小 1822 25 2U30 创丁0二?4. 10 乙组数丿数为业18*20 22 23十31 32 33专33 + 43斤列, 10 田茎叶图，如甲型号电觇机的“星级矣场”的个数加=5. 3分 乙型号电視机的“星缓丈场”的个裁5. 所以 w /I.4分 （】1）解：由題童 X的所有可能収值为0

9、, I, 2, 5分 CcCJ 2Cc* Scc4 2 且P（.Y 0比岂斗/（x吿斗pg）爭訂8分 X 0 1 2 P 2 5 2 9 9 9 所以才的分布列为: 9分 252 所以 A(.Y) = 0 x|x-4.2x- = l. 2 分 17.（本小18满分14分） (1111 h 0时./达到域小值门分 （1）证明：因为DE 丄 BE. BE/!DC. 所UDE丄DC. 心月为丸D丄。C. 4AP = P, 所以DC丄平面人DE 爲一救学试fit衿猱第2页井8顿 所以DC丄片E3 M 乂仏：为月上丄DE .二. 所以丄半面BCDE （II）解：因为A、E丄十面RODE , DE丄HE

10、所以4/DE9处件西聲自以 隅ED, 5分 八. BMBzrt!如图建立空间直角坐标 热1CD2厶 也州(0.0.2). (2,0,0) (4.2/Io)负02、工0) 所以臥(-2.0.2), BC (2,20). 平面处的一个法向*为n =（0,1,0）. 设Y曲4BC的法向事为加（儿”：） F*l BA. 加二 0 , BC E 二 0得 -2x + 2z -0, 22松=0. 令 y = 1,得加=-d) - mn v7 用以 cos =- |协卜1川7 由图.得二面角E AB-C的为地一曲角, 所以二面角一人B-C的余弦値为-斗 10分 （III）绍论】在线段励上不存在一点P 使平而

11、勺”丄平面BC II分 解：暇设在线段防上存任点儿便VA.DP丄平肚4心？ 设 P(/,0,0)( 0WS2 儿则打=(.-2). 4 X(0.275,-2), 12分 设平面珂DP的法向为P=（心人可） 由正=0帚=0，得 令X产2得所以问2,令/） 2x5片-2Z| = 0. “-2二=0. 13分 也二敷学0时.存住实效”八|认“）使得对任意的实数乩不零式I/COIW極 13分 成工 19.（本小题满分14分） am.轉 v =4. n致 所以橢BKe的方讯为二1 5仆由碗.得宀宀4圻以椭眦的方程为条名 刘片（Y0）, /；（0.片(). a 4-， 由.斗.儿二2；几 斫以扣2)： +

12、 2. 因为a + X=4vM所以a-2. 所以|OP|d 20.(本小18溝分13分) k j. 切以 a.2 且a7 2 4 分 同邂.M(P)5. fl7；(P) = minnak9 冯 a、M3，且 v 3 以此类卅.街0却4似4：淨.八 內为 qJ.gjV), 0 N 陌以山=6 =、 a产代 =2 4|4“ =巾 6分 ! x为5J & ti J 勺+幻十+陽=2(1十2 + ) +仝二1 对应可御 （IIQ解法你符合条件的数列P中漲i、gW）9）満足4 * rjp）.及$ = q + y +込。+人（卩）+人（）+人。（尸八 因为7； （P）工min川兔以 所以7；,円=心I J 卜更将数列P略作调整.仅梅弟卩的值增加1具体如 设识仇+1用厂,）令“可得救列P及其对应效（，） 根据敘列打（尸）的定义.可得：.）=八且7；（P）=町（P）（/H4 + 工叫（尸）=）-1. 所以s=彳+ Q； +必+人（尸）十忌卩）+ W） “I +。2 + +（4 + I）+ 何“ 4 + % +）+耳（円+亿“-|）+:.+G（P） q +。2 + + 5 + 人（F）+ 丁,P）+ ：（P） - / 即调密后的J= 如果数列/还有存在相邻曲项不和尊继续做以上的燥作， 用终定可以絞过有限次的廉作使得中的每一项变为相等，且樣作中保持y的 不变