学而思高中数学11-函数的奇偶性与对称性

1、精品资料f (x) f (-x)是否为0是 f(x)副出He典例分析题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断 判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断.【例1】判断下列函数的奇偶性：y -；x y x4 x22 ； y x3 x ； y x31.【例2】判断下列函数的奇偶性： f (x) x4 ； f (x) x5 ； f (x) x -；x【例3】判断下列函数的奇偶性并说明理由:1 a2x f (x) 莎(a 0 且 a 1); 1 a f(x).x1厂x ； f(x) x25| x|.【例4】判别下列函数的奇偶性:(1) f(x) x3 -;(2) f(

2、x) |x 1| |x 1| ; (3) f(x) x2 x3.x%1x1【例5】判断函数f(x)=百x+1的奇偶性.2由函数奇偶性的定义，有下面的结论：在公共定义域内(1) 两个偶函数之和(积)为偶函数；(2) 两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；(3) 一个奇函数和偶函数之积为奇函数.【例6】判断下列函数的奇偶性：H xf(x) (x 1)店匚1 1f (x) F(x)(=-)，其中a 0且a 1 , F(x)为奇函数.a 12【例7】 若函数f(x)= (x3 x) g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性.【例8】 函数y f (x)与y g(x)有相

3、同的定义域，对定义域中任何x ,有f (x) f( x) 0 , g(x)g( x) 1,则 F(x)2f(x)g(x) 1f (x)是(【例9】A.奇函数C.既是奇函数又是偶函数B.偶函数D.非奇非偶函数已知f(x)Fx2|x 2| 2g(x) lg1 x2 x则乘积函数F(x) f(x)g(x)在公共定义域上的奇偶性为().A.是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数B.是偶函数而不是奇函数D.既非奇函数又非偶函数2 一【例10】已知函数f (x)是奇函数;F(x) (1 - ) f (x) (x強)是偶函数，且f (x)不恒2 1为0,判断f (x)的奇偶性.题型二：求解析式与函数值

4、1. 利用函数奇偶性可求函数解析式.【例11】函数f(x)a2-2x为奇函数，则a的取值范围是()|x a|aA.1 a0或0a 1B.a 1C. a 0D.a 0【例12】设f(x)是R上的奇函数，且当x 0,)时，f (x)x(13 x),那么当x (,0)时，f (x)=.【例13】已知偶函数f(x)的定义域为R,当x0时，f(x)= x2 3x-1，求f(x)的解析 式.设 x v0,则x0【例14】已知函数f(x)为R上的奇函数，且当 x 0时f(x) x(1 x).求函数f(x)的解析式.【例15】已知函数f(x) (m2 1)x2 (m 1)x n 2，当m,n为何值时，f (x

5、)是奇函数?【例16】已知f(x)是偶函数，x 0时，f(x)2x2 4x，求x 0时f (x)的解析式【例17】已知f (x)是定义域为R的奇函数，当x 0时，f(x) x2 x 2，求f(x)的解析式【例18】y f (x)图象关于x 1对称，当x 1时，f(x) x21，求当x 1时f (x)的表达式.【例19】已知函数f(x)ax 】(a,b,c Z)是奇函数，且 f(1)2, f (2)3,求 a,b,cbx c的值.2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和.1即 f(x)= -1 F(x)+G(x)其中 F(x) =

6、 f(x)+ f(-x),G(x) = f(x) f(-x)2利用这一结论，可以简捷的解决一些问题.2【例20】定义在R上的函数f(x)= x x，可表示成一个偶函数 g(x)和一个奇函数h(x) x21之和，求 g(x)，h(x).【例21】已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数并且f(x) g(x) x 1，则求f(x)与g(x)的表达式.【例22】已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，且 f(x) g(x)，求 f(x)、g(x) x 13.利用函数奇偶性求函数值【例23】已知f ( x)x2 ax3bx 8且 f ( 2) 10,.求 f (2).【例24】已知f(x)ax b3 x

7、 cln(x. x2 1) 4c为实数)，且f (Iglog 310)5 .则 f (Ig lg3)的值是()A.5B. -3C. 3D.随a、b、c而变【例25】 若f (x)是定义在R上的奇函数，则f(0) =;若f (x)是定义在R上的奇函数，f (3) 2 ,且对一切实数x都有 f (x 4) f (x)，贝V f (25) =；设函数y f(x) (x R且x 0 )对任意非零实数n,x2满足 f(X1 X2) f(xj fg)，则函数y f (x)是 (指明函数的奇偶性)【例 26】已知函数 f (x)2x3x .若x1、x2、x3R 且x1x20 ,x2x30 ,X3 Xi0 则

8、 f (Xi) f(X2) f(X3) () A.大于零 B.小于零C.等于零D.大于零或小于零【例27】设函数f(x) x3 |XJ 2xx的最大值为2x |x|M，最小值为m，则M与m满足( )A. Mm2C. Mm2B.Mm 4D.Mm 4【例28】函数f (x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数；f(0)2005 ;g(x) f(x 1)是奇函数；求f(2005)的值.题型三：奇偶性与对称性的其他应用1.奇偶性与单调性【例29】已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,)上是减函数，判断f(x)在(，0)上是增函数还是减函数并证明你的判断.对奇函数有没有相应的结论.【例30】已设函数f(

9、x)是定义在R上的奇函数,且在区间(,0)上是减函数，实数a满足不等式f(3a2 a 3)f (3a22a)，求实数a的取值范围【例31】已知y f(x)为(，)上的奇函数，且在(0,)上是增函数.求证：y f(x)在(,0)上也是增函数;若1，解不等式1伽4X) ,【例32】已知函数f (x)，当x,y R时恒有f(x y) f (x) f (y). 求证：函数f(x)是奇函数； 若f( 3) a，试用a表示f(24). 如果 x R 时 f(x) 0，且 f (1)0.5 .试判断f (x)的单调性，并求它在区间2,6上的最大值与最小值.【例33】设函数y f (x)( x R且x 0)对

10、任意非零实数x, x2 ,恒有f(XiX2) f(x() f(X2),求证：f f( 1) 0 ;求证：y f (x)是偶函数；已知y f (x)为(0 ,)上的增函数，求适合 f (x) f (x -1)0的x的取值【例34】知f(x).b 一 _2a 一 2范围.g(x)都是奇函数，f (x)0的解集是(a , b) , g(x) 0的解集是,-a2，那么求f(x)g(x) 0的解集.22. 函数对称性【例35】设函数f(x)对于一切实数x都有f(2 x) f(2 x)，如果方程f(x) 0有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于 .【例36】当实数k取何值时，方程组4k2x J |x| y 1,有惟一实数解x y 1【例 37】设 a 是正数，而 A ( x,