对勾函数图象性质

1、对勾函数图象性质精品资料当工 0p & o) 工当x &= _f(x) = ax + 2 -ab当且仅当口工=-) x；/(i)=af+ -( qnt 口, = /出=-q*|二 + -)三-2当且强当6= ,) xx当;r0.=/x) =ax中士 “疑心x=-丰耶骞片)又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ (接下来写作f(x)=ax+b/x )。当a%, b% 时，f(x尸ax+b/

2、x 是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x 叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a, b同号时，f(x尸ax+b/x 的图象是由直线 y = ax与双曲线 y= b/x构成，形状 酷似双勾。故称对勾函数”，也称 勾勾函数”、海鸥函数”。如下图所示：a0 b0 b0对勾函数白图像（ab同号）当a, b异号时，f（x）=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）对勾函数白图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只

3、不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a0 , b0。之后当a0 , b0时，-当且尽当-时取等号，此时当x0时，-当且尽当-时取等号，此时即对勾函数的定点坐标：-、-（三）对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。定义域：值域：或（四）对勾函数的单调性对于函数-:单调增区间： ;单调减区间：（五）对勾函数的渐进线对于函数它的渐进线有两条:由图像我们不难得到：；（六）对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数,、类对勾函数性质探讨函数y=ax+b,在a =0或b=0时为简单的单调函数，不予讨论。 x

4、在a #0且b #0时有如下几种情况：(l)aa0,bc0(2) a 0(3)a 0,b 0(4) a ；0,b ：二 0设 yl = ax , y2 =,则 y = y1 + y2 = ax +,其定义域为 x | x r,且x 丰 0) xx(i)a0,b0 时，y1=ax, y2 =在(-0,0), (0,)上分力u单倜递减。xb .故y = y1 + y2 = ax+在(一0,0), (0,十厘)为单倜递减函数 x(3) a 0,b 0 图像略bb1 当 x0 时，yi ax0, y2 0y =y1 +y2 =ax +- 2 ax - =2 jab 当且仅当 ax =, xx xxb2

5、 当 x0 时yi = ax 0 , y2= 0y =yi +y2 =ax +- =-( -ax +) -2jax =-2vab，当xxxx且仅当ax = b ,即x=b (因为x0,故舍掉x =胆)取等号。x1. aa4) a : 0,b 0 时,yi=ax0, y2 = q y=y1 +y2 =ax+- =-(-ax+) -2r ax - =-21/ab 当且仅 xxxx当ax=b,即x=：b取等号。x，ab2 当 x0, y2= 0y =y1 +y2 =ax +- = 2v ax =24 ab , 当且仅当xxxax = b ,即x = -j取等号。x，a四、对勾函数练习:11 .若 x

6、1.求y = x +的最小值x -1x2 -2x 22.若x1.求y =的最小值x -12)x - x 13.右 x1.求y =的最小值x -124 .右 x0.求y = 3x +一的最小值x.一x2 - 2x a5 .已知函数 y= (xw1, = )x1 一，(1)求a =a时，求f(x)的取小值(2)若对任意xq1,+o,f(x)0包成立，求a范围-10；函数 y = x (2xe7)的最x6.:方程sin2xasinx+4=0在0 , 2内有解，则a的取值范围是-107 .函数y =x + (2 wx宅7 )的最小值为 x大值为一、“，4 .一 8 .函数y =2 -3x 一一的取大值为。xx2 -2x 29、若一4 x (x1)的最值。