多元函数的极限与连续

1、第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用 第一节第一节 预备知识预备知识 1. n维维euclideuclid空间空间rn与点集的概念与点集的概念 n维实向量维实向量 记记 它满足加法和数乘，所以它构成一它满足加法和数乘，所以它构成一n维实向量空维实向量空 间（或间（或n维实线性空间）维实线性空间） ),( ),( 2121 rxxxxxxx nn , | ),( 2121 rxxxxxxr nn n 若定义内积：若定义内积： 则则rn构成一构成一n维维euclideuclid空间。空间。 n i ii yxyx 1 , n维空间中两点（向量又称为点）维空间中两点（向量又称为

2、点） 之间的之间的距离距离定义为定义为 向量向量x的长度定义为：的长度定义为： 22 2 2 1 ,| n xxxxxx 与与 ),( 21n xxxx ),( 21n yyyy 22 22 2 11 )()()( |),( nn yxyxyx yxyx |),( axrxan n 为以为以a为中心，为中心， 为半径的为半径的开球开球或点或点a的的 邻域。邻域。 称：称： ),(),(aanan 为点为点a去心去心 邻域。邻域。可分别简记为可分别简记为n(a), (a) n 设设a rn, 0,0,称称 设设a rn,a rn. 的的内内点点是是集集 则则称称使使得得若若 aa aan,),(

3、, 0 (2) 聚聚点点的的是是集集 则则称称使使得得若若 ,),(, 0 (1) aa aan （3） 若若a中的点全是中的点全是a的的 内点，则称内点，则称a 为开集为开集. . ,),( ),(),( , 0 )4( a aa aaaan aanaau 记作记作 的边界，的边界，合称为合称为的所有边界点构成的集的所有边界点构成的集 的边界点，的边界点，是集是集则称则称且且 ，中的点，中的点，中既含有中既含有使得使得 若对若对 (5) 若若 m 0, 使得使得 x a ,都有都有|x| m,则称集合则称集合a 为的为的有界集有界集.否则否则, 称之为称之为无界集无界集. a为区域为区域:

4、a为连通开集为连通开集. 如如 21),( 22 yxyx a为闭区域为闭区域: 区域连同它的边界区域连同它的边界. 如如 21),( 22 yxyx a为连通集为连通集: 对任意的对任意的 ,ayx 都可用一条包含在都可用一条包含在a内的折线把内的折线把x,y连起来连起来. 区域区域 a 的直径：的直径： ,),(sup)(ayxyxad 2 2 多元函数的概念多元函数的概念 定义定义2.1 设设a rn是一个点集，是一个点集，称映射称映射f: ar 是定义在是定义在a上的上的n元数量值函数。元数量值函数。简称为简称为n元函数。元函数。 记为记为y = f(x) = f(x1, , xn),

5、 其中其中x = (x1, , xn) a称称为为自变量自变量, y称为称为因变量。因变量。 d(f)=a称为称为f的的定义域定义域，r(f )=y|y=f(x),x d(f ) 称为称为f的的值域。值域。 除非特别说明除非特别说明, 或有实际意义或有实际意义, 凡用算式表达的凡用算式表达的 多元函数多元函数, 其定义域都是指自然定义域其定义域都是指自然定义域, 即全体即全体 使得算式有意义的自变量所成的点集使得算式有意义的自变量所成的点集. (x, y) r2 | |x| 1, |y| 1; 11 22 xyz 例如例如: 的定义域为的定义域为 而而z = ln(x+y)的定义域为的定义域为

6、(x, y) r2 |x+y0. 定义定义2.2 设设a rn是一个点集，是一个点集，称映射称映射 f: arm (m 2)是定义在是定义在a上的上的n元向量值函数。元向量值函数。 也可记为也可记为y = f(x) = f(x1, , xn), 其中其中x = (x1, , xn) a称称为为自变量自变量, y = (y1, , ym) rm 称为称为因变量。因变量。 f = (f1, , fn) 其中其中x=(x1, , xn) a为自变量为自变量, y=(y1, , xm) b 为因变量为因变量. ) , , ,( ) , , ,( ) , , ,( 21 2122 2111 nmm n

7、n xxxfy xxxfy xxxfy 一个一个n元元m维向量值函数维向量值函数y = f(x) 对应于对应于m个个n元元 数量值函数数量值函数 ) , , ,( ) , , ,( ) , , ,( )( )( )( 21 212 211 2 1 2 1 nm n n mm xxxf xxxf xxxf xf xf xf y y y y 若用列向量表示若用列向量表示, 即即 例例1 空间空间r3中曲线的参数方程为：中曲线的参数方程为： x=x(t),y=y(t),z=z(t) t , r,为一元向量值函数，为一元向量值函数， 可写成：可写成：r=r(t) 第二节第二节 多元函数的极限与连续性多

8、元函数的极限与连续性 ,),( 0 emnm ,),(lim ),(),( 00 ayxf yxyx .),(lim 0 0 ayxf yy xx 定义定义 2.3 (二重极限）设二重极限）设 函数函数z=f(x,y)=f(m) 在在 点集点集e上有定义上有定义, 点点 m0(x0, y0)是是e的聚点的聚点, a r是一个常数是一个常数.若若 0, 0, 使得使得 恒有恒有|f(m) a|0, 取取 = , 则当则当 时时, 恒有恒有| f(x, y) 0|2)元元 数量值函数与向量值函数。数量值函数与向量值函数。 定理定理2.1 设设f(x,y)是有界闭集是有界闭集e上的连续函数，则上的连续函数，则 f在在e上有界，即存在上有界，即存在m 0, 使使 得得 x e, 有有| f(x)| m. （: f 在在e上必能取到最大值与最小值上必能取到最大值与最小值。 若函数若函数f(x)在有界连通闭集在有界连通闭集e上连续上连续, m与与m分别是分