【文数】2020届高考二轮精品复习资源专题三导数

1、数学 专题三 导数 考向预测 下洛论，写出国就的单词代河 1根据导数的几何意义求解函数切线问题； 2禾U用导数求函数的单调区间、极值点、最值; 3利用导数讨论函数零点； 4.通过导数讨论最值分析求解恒成立问题； 5 禾U用导数解决生活中的优化问题. 知识与技巧的梳理 一、求函数的单调区间 (1) 在利用函数导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域 内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. (2) 涉及含参函数的单调性问题，一定要弄清参数对导数 f(X)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响, 则必须分类讨论讨论时要注意不重不漏，最后还要总结. (3)

2、求可导函数y f(x)的单调区间，实际上就是解不等式f (x) 0或f (x) 0 ； 若函数y f (x)含有参数，则就是解含参数的不等式f (x) 0或f (x) 0, 答题模板 利用导数求函数单调区间的步疆 二、由函数的单调性求参数的值或取值范围： 已知含参数函数 y f (x)在给定区间I上递增(减)，求参数范围. 求解方法一：不等式 f (x)0( f (x)0)在区间I上恒成立. 求解方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解. 三、禾U用导数讨论函数零点或函数值域 (1) 依函数的单调性求函数的零点或求零点存在的区间 a,b, 由根的存在性定理知，若函数f (x)在区间a

3、,b上为单调函数，且f (a) f (b) 0，则必定存在一点c 使得f (c)0，即点c为f(x)的一个零点. (2) 依函数的单调性求函数的值域 若函数f(x)在区间a, b上单调递增，则函数 f (x)的值域为f (a), f (b)； 若函数f (x)在区间a,b上单调递减，则函数 f(x)的值域为f (a), f (b). 四、构造函数证明不等式 若证明不等式f(x) g(x), x (a,b)，可以转化为证明f(x) g(x) 0, 如果f (x)g(x)0 ,那么说明函数 F(x) f (x) g(x)在(a, b)上是增函数. 如果F(x) f (x) g(x)是增函数，且F(

4、a) 0, 那么当 x (a,b)时，F(x) f(x) g(x) F(a) 0，即 f (x) g(x). 注意：根据题目自身的特点，恰当地构造函数，禾U用函数的单调性可以解答一些证明唯一性及不等式的问题. 构造函数关系式时，应尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数. 五、函数极值的概念 极小值 极大值 定义 若函数y f (x)在点x a的函数值 f (a)比它在点x a附近其他点的函数 若函数y f (x)在点x b的函数值f(b) 比它在点x b附近其他点的函数值都大， f (b)0 ；而且在点x b附近的左侧 值都小，f (a)0 ；而且在点x a附近 的左侧f (x)0,右侧

5、f (x)0,就把 点a叫作函数y f (x)的极小值点， f (a)叫作函数y f (x)的极小值 f (x)0，右侧f (x)0，就把点b叫作 函数y f (x)的极大值点，f (b)叫作函数 y f (x)的极大值 六、函数的最大值与最小值 最小值 最大值 定义 函数y f (x)在区间a,b上所有点的函数 值都不超过f (x0)，则f (x0)为函数f (x)的 最大值，X。为函数f(x)在区间a,b上的最 大值点 函数y f (x)在区间a,b上所有点的函数 值都不小于f(x。)，则f(x。)为函数f(x)的 最小值，x为函数f (x)在区间a,b上的最 小值点 图像 经典常规题 1

6、若函数f(x) A -(0,2) 【答案】 【解析】 因为函数 令 g(x) 限时训练 x .x alnx在区间(1,)上存在零点, C. (0, 则实数 f (x) x 、.x alnx,所以 f (x) 2x x 2a， 1 因为g(x)22上 4、；x 1 2.x ， 当 x (1, 1 0, 2、 )上为增函数，则存在唯一零点的 x (1,)，使得g(x0) 0，且当x (1,x0)时，g(x) 0 ； 当 x (x,)时，g(x) 0, 所以当x (1,x。)时，f(X)0，f (x)为减函数; 当x (x, )时，f (x)0 , 当x X。时， fmin (x)f ( x0 ),

7、 因为 f(X。) f(1)0 ,当x趋于 所以 a (7, ). f (x)为增函数, 2 时，f (x)趋于，所以在x (x0,)内，f (x) 一定存在一个零点. 2.若曲线f (x) (x ax 1)ex，在点(0, f(0)处的切线过点(2,2)，则实数a的值为 1 【答案】 2 【解析】f (x) (x2 ax 1 2x a)ex, f (0)1, f (0)1 a, 1 切线方程为 y 1(1 a)x，切线过点(2,2) , 2 12(1 a) , a 3.已知函数 f(x) xe alnx ax a e. (1) 若f (x)为单调递增函数，求 a的取值范围； (2) 若函数f

8、 (x)仅一个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (,0 ; (2) a 0 或 a e . 【解析】(1)由 f (x) xex alnx ax a e(x 0), x xa(1 x)(xe a) 得 f (x) e (1 x)(1 x) xx 因为f (x)为单调递增函数，所以当 x 0时，f (x)0 , x 由于x 11，于是只需a xe对于x 0恒成立， 令 u(x) xex，则 u (x) (x 1)ex, 当x 0时，u (x)0,所以u(x) xex为增函数，所以u(x) u(0)0 . x 当a u(0)，即a 0时，a xe恒成立，所以f (x)为单调递增函数时，a的取

9、值范围是(，0. (2)因为f(1)0,所以x 1是f (x)的一个零点. 由(1)知，当a 0时，f (x)为(0,)的增函数，此时关于 x的方程f(x) 0仅一解x 1 , 即函数f(x)仅一个零点，满足条件； 当a 0时，由f (1)0 ,得a e , 当 a e 时，f(x) xex eln x ex，贝y f (x) (1 x)e), x 令v(x) xex e,易知v(x)在(0,)的增函数，且v(1)0 , 所以当0 x 1时，v(x) 0,则f (x)0, f(x)为减函数； 当x 1时，v(x) 0,则f (x)0 , f(x)为增函数, 所以f(x) 0在(0,)上恒成立，

10、且仅当 f(1) 0，于是函数f(x)仅一个零点，所以 当a e时，由于v(x) xex a在(1,)为增函数，则v(1) e a 0 , 又当x时，v(x)，则存在Xo 1，使得V(Xo) 0，即使得f(X。) 0， 当 x (1,x)时，v(x) V(Xo) 0,则 f (x) 0， 当 x (X0,)时，v(x) V(X0) 0，则 f (x) 0， 所以f (X)在(1,X0)上递减，在(X0,)上递增， 所以 f(x。)f(1) 0,且当 x时，f(x). 于是当x (X0,)时，存在f(x) 0的另一解，不符合题意，舍去； 当0 a e时，则v( x) xeX a在(1,)为增函数

11、， 又 v(0) a 0, v(1) e a 0, 所以存在0 X0 1，使得v(x) 0 ,也就使得f(X0) 0 , 当 x (0, X0)时，v(x) 0 , f (x) 0 ; 当 x (X0,1)时，v(x) 0 , f (x) 0 , 所以f (x)在(0, X0)上递减，在(X0,1)上递增， 所以 f(x。)f(1) 0,且当 x 0 时，f(x). 于是在(0,x。)时存在f(x) 0的另一解，不符合题意，舍去， 综上，a的取值范围为a 0或a e . 高频易错题 X 1.已知函数f(x) k(l nx x) (k R)，如果函数f (x)在(0,)只有一个极值点, x 范围

12、是() A. (0,1B. (,1C. (,eD. e,) 【答案】C (ex kx)(x 1) 【解析】f (x)2 函数f(x)的定义域为(0,)， a e满足条件; 则实数 k的取值 X 当k 0时，ex kx 0恒成立，令f (x)0,则x 1 , 即f(x)在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 则f (x)在x 1处取得极小值，符合题意； 当 k 0 时， x 1 时，f (x)0, 又函数f(x)在定义域为(0,)只有一个极值点， f(x)在x 1处取得极值. 从而ex kx 0或ex kx 0恒成立， 构造函数 h(x) ex, g(x) kx , h (x) ex,

13、设g(x) kx与h(x) ex相切的切点为(怡(冷)，则切线方程为y e e*(x x0), 因为切线过原点，贝U 0ex0(0怡)，解得x。 1, 则切点为(1,e)，此时k e. 由图可知： x 要使e kx 0恒成立，则k e. 综上所述：k (,e. 2.曲线y xsinx在点(，0)处的切线方程为 【答案】y 【解析】曲线y xsin x，则y (x) sin x x(sin x) sin x xcosx, 所以在点(，0)处的切线的斜率为k sin cos 由点斜式可得y (x ) 2，故答案为y 1 2 3.已知函数 f(x) x mcosx, f (x)是 f (x)的导函数

14、，g(x) f (x) 1 . (1) 当m 2时，判断函数g(x)在(0,)上是否存在零点，并说明理由； (2) 若f (x)在(0,)上存在最小值，求 m的取值范围. 【答案】(1)不存在零点，详见解析；(2) (1,). 【解析】(1) m 2 时，g(x) x 2sin x 1, 1 令 g (x)0,即 cosx - , x (0,)，得 x , 2 3 函数g(x)的单调递减区间为 (0,3)， 当x变化时，g (x), g(x)变化如下： X (吟 3 () fW 减 最小值 增 单调递增区间为 勺). g (x)的极小值为 g(3) -1.3 3 0，函数g(x)在(0,)上不

15、存在零点. (2)因为 f (x) mcosx，所以 f (x) x msinx, 令 h(x) f (x) x msinx,贝 U h (x)1 m cosx . 当 m 1 时，1 m cosx 0 ,即 h (x)0 , h(x) f (x) x msinx 在(0,)单调递增， x (0,)时，h(x) h(0)0, f(x)在(0,)单调递增, f (x)在(0,)不存在最小值； 1 当 m 1 时， (0,1)，则 h (x) m 1 mcosx 0，即 cosx -在(0,)内有唯一解X。, m 当 x (0,x)时，h (x)0 ；当 x (x,)时，h (x)0 , 所以h(

16、x)在(0, X。)上单调递减，在(X。，)上单调递增， 所以 h(x0)h(0)0 , 又因为h( )0 ,所以h(x) x msinx在(沧，)(0,)内有唯一零点Xi, 当 x (0, xj 时，h(x) 0 ,即 f (x) 0 ；当 x (Xi,)时，h(x) 0 ,即 f (x) 0 , 所以f (x)在(0, xi)上单调递减，在(xi,)上单调递增， 所以函数f (x)在x xi处取得最小值，即 m 1时，函数f (x)在(0,)上存在最小值. 综上所述，f (x)在(0,)上存在最小值时，m的取值范围为(1,). -x3，则满足不等式 3 o精准预测题 i .已知f (x)为

17、偶函数，且当 x 0时，f (x) xcosx sinx f (log 2 m) f (log i m) 2 f (i)的实数m的取值范围为() 2 1 A.(2,2) B. (0, 2) i C. (02)U(i,2) (2,) 【答案】 【解析】 f(x)是偶函数， f(logi m) 2 f ( log2 m)f (log 2 m) f (gm), 则不等式 f (log 2m) f (log i m) 2 f (i)可化为 2f (log2 m) 2f (i), 即 f(log2m) f(i), x 0时, f(x) xcosx sinx i 3 3x， f (x) cosx 2 xs

18、in x cosx x x(x sin x), 令 g(x) x sin x，贝y g (x) i cosx 0, g(x)是R上的增函数, 当 x 0 时，g(x) g(0) f (x)0 , f(x)在0,)上是增函数. -由 f (log2 m) f (i)，得 log2 m i，即 i i log 2 m i, ” ln x 2x 2曲线f(x)在点(i, 2)处的切线方程为 x 【答案】x y 30 ” 一 In x 2x 【解析】因为f(X), f (x) X (1 2)x (Inx 2x) x 1 In x x 1 iniIn x 2x 因此f(1)21，即曲线f(x)在点(1,

19、 2)处切线斜率为k f (1)1, 1x In x 2x 因此，曲线f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y 2 x 1 , x 所以，x y 30即为所求切线方程. 2 3.已知函数 f(x) (a b)x x xlnx. (1)若曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线与x轴平行，且f(1) a，求a , b的值; (2)若 a 1 , f (x)0 对 x (0, )恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1) a 0, b 【解析】(1) f (x) (a ,f(1) a b 1 a 由 f (1) 2(a b) 2 b)x2 x x In x , f (x) a 0 ，得 0 b

20、1. 1; (2) b (,0. 2(a b)x In x 2, (2)因为 a 1 , f (x) (1 b)x2 x xI nx , f (x)0 等价于 b 1 1 x x 令 g(x) 1 1 x In x /、In x g (x) 厂, xx 当 x (0,1)时，g (x) 0 ,所以g(x)在(0,1)上单调递减; 当x (1,)时，g (x) 0,所以g(x)在(1,)上单调递增， 所以 g(x)min g(1) 0,所以 b (,0. a 3 121 4.已知函数 f (x) x (x 1)x x (a R). 3 23 (1) 若a 1，求函数f (x)的极值； (2) 若0 a 1时，判断函数f(x)在区间0,2上零点的个数. 2