2.3.2抛物线的简单几何性质

1、232 抛物线的简单几何性质课时目标1了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线 方程研究抛物线的几何性质的方法.2. 了解抛物线的简单应用.知识擁理1. 抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y2= 2px(p0)范围：抛物线上的点(x, y)的横坐标x的取值范围是 ，抛物线在y轴的侧，当x的值增大时，|y也，抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2) 对称性：抛物线关于 对称，抛物线的对称轴叫做 .(3) 顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 .抛物线的顶点为离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的 ，用e表示，其值为.抛物线的焦点到其准线的距

2、离为 ，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为2，焦点到顶点的距离为.2直线与抛物线的位置关系直线y= kx+ b与抛物线y2= 2px(p0)的交点个数决定于关于 x的方程的解的个数.当 kz0时，若 少0,则直线与抛物线有 个 不同的公共点；当 A= 0时，直线与抛物线有 个公共点；当 A0)，AB为过焦点的一条弦， Ag，屮)，Bg 沁 AB的中点M(xo, yo)，则有以下结论.(1) 以AB为直径的圆与准线相切.(2) |AB |= 2(xo+ 2)(焦点弦长与中点坐标的关系 ).(3) |AB|= xi + X2+ p. p2A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即xiX2 =

3、 ，yiy2= p2.件业设计、选择题1. 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(一2,3)，它的方程是()B.y2= C.y2= D.x2= 4A.92x|x 或 x2= y94x2= y 或 y2= 3x2. 若抛物线y2= 2px (p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物 线焦点F的距离的关系是()A .成等差数列B .既成等差数列又成等比数列C.成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列3. 已知点P是抛物线y1 2= 2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线 准线的距离之和的最小值为()179A. pB 3C. . 5D.24. 设斜率为2的直

4、线I过抛物线y2= ax(a丰0)的焦点F,且和y轴交于点A，若 OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A . y2= 4xB. y2= 8xC. y2= 4xD . y2= 8x5. 设直线l1 : y= 2x,直线l2经过点P(2,1)，抛物线C: y2= 4x,已知I1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为()C. 3D. 46.过抛物线y2= ax (a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则1+ -等于()p q题号123456答案:A. 2a1B.亦C. 4aD.4a、填空题7.已知抛物线 C的顶点为坐标原点，焦点在

5、x轴上，直线y = x与抛物线C交于A, B 两点，若P(2, 2)为AB的中点，则抛物线 C的方程为 .&已知F是抛物线C: y2= 4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段 AB的中点 为M(2,2)，则 ABF的面积等于 .9. 过抛物线x2= 2py (p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于 A、B两 点(点A在y轴的左侧)，则鹽=.IFBI三、解答题10. 设抛物线y= mx2 (m 0)的准线与直线y= 1的距离为3，求抛物线的标准方程.11. 过点Q(4,1)作抛物线y2= 8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程.【能力提升112 .设抛物线y2= 8

6、x的焦点为F，准线为l, P为抛物线上一点, 果直线AF的斜率为.3，那么|PF|等于()A. 4 .3B. 8C . 8.3D. 1613 .已知直线l经过抛物线y2= 4x的焦点F,且与抛物线相交于PA丄l, A为垂足，如A、B两点.反思感悟1. 抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离.2 直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来 判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”.2. 3.2抛物线的简单几何性质 答案知识梳理抛物线的轴1(5)P p一没有1. (1)x 0 右增大 (2)x轴(3) 顶点坐标原点(4)离心率2. k2x2 + 2(kb

7、 p)x + b2= 0 两平行或重合一作业设计1. B 由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程.2. A设三点为 P1 (x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3),则 y1= 2px1, y2= 2px2, y2= 2px3, 因为 2y2= y? + y2, 所以 X1+ X3= 2X2, 即|P1F p + |P3F 2= 2 |P2F| p , 所以 |P1F|+ |P3F|= 2|P2F|.p到焦点的距离3. A |PF|.P到4 +1如图所示，由抛物线的定义知，因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)

8、的距离与点点F的距离之和，其最小值为点 M(0,2)到点F*, 0的距离，则距离之和的最小值为-17=】4. B y2 = ax的焦点坐标为 a，0，过焦点且斜率为 2的直线方程为y= 2 x ，令44x= 0 得 y= 2.2x 骨 x 号=4，.a2= 64，.a =拐.5. C 点P(2,1)在抛物线内部，且直线11与抛物线C相交于A，B两点，.过点P的 直线12在过点A或点B或与x轴平行时符合题意.满足条件的直线12共有3条.aa a6. D 冋采用特殊值法，设PQ过焦点F 4 0且垂直于x轴，则|PF|= p= Xp+ 4 = 4 +a_ a4= 2,a|QF|= q= 2, 7.

9、y2= 4xii224.一 + = 一+=一 pqaaa解析设抛物线方程为 y2= ax将y= x代入y2= ax,得x= 0或x= a,. | = 2. a = 4.抛物线方程为y2 = 4x.& I解析 设 A(xi, yi), B(X2, y2), 则 y2= 4xi, yI= 4x2. (yi+ y2)(yi y2)= 4(xi X2).-Xi M X2,yi y2_4xi X2yi+ y2直线AB的方程为y I= x- 2,即y= x. 将其代入 y2= 4x,得 A(0,0)、B(4,4).x/| |AB|= 4 ,2.又 F(i,0)至U y= x 的距离为 -丁, Sa ABF

10、 = | X9.3解析 抛物线x2= Ipy (p0)的焦点为F 0, |，则直线AB的方程为y= 33x+ p,x2= 2py,由p 消去 x,得 12y2 - 20py+ 3p2= 0,解得 yi由题意可设A(xi, yi), B(x2, y2)，由抛物线的定义，可知yi + P P+PAFI y 2= 6 2|FB|= 7p = 3P7Py2+ 2 7 + 2i3.110解由戸mx2(m丰0)可化为宀my,其准线方程为尸-4m由题意知-4m=-2 或-4= 4,4m1i解得m= 或m=.则所求抛物线的标准方程为x2= 8y或x2=- i6y.ii.解 方法一 设以Q为中点的弦AB端点坐标

11、为A(xi, yi)、B(x2, y2), 则有 yi= 8xi, y2= 8x2, Q(4,i)是AB的中点，二 Xi + x2= 8, yi+ y2= 2.一，得(yi + y2)(yi- y2)= 8(xi X2). 将代入得yi y2= 4(Xi x2),即 4=,. k= 4.xi x2所求弦AB所在的直线方程为 y i = 4(x- 4)，即4x- y-i5= 0.方法二 设弦AB所在直线方程为y = k(x 4) + 1.由 y = 8x,y= k x 4 + 1,消去x,得 ky2 8y 32k+ 8= 0,此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标

12、公式,得 yi+ y2= 8，又 yi+ y2= 2,. k= 4.所求弦AB所在的直线方程为 4x y 15= 0.12. By-2O2如图所示，直线AF的方程为y = .；3(x 2)，与准线方程x= 2联立得A( 2,4.；3). 设 P(xo,4_：3),代入抛物线 y2= 8x，得 8xo= 48,二 xo= 6, |PF| = xo+ 2= 8,选 B.13. 解 由y2= 4x,得p = 2，其准线方程为 x= 1,焦点F(1,0) 设A(X1, y1), B(x2, y2).分别过A、B作准线的垂线，垂足为A、B.p(1)由抛物线的定义可知，|AF |= X1 + 2,从而 X1= 4 1 = 3.代入 y2= 4x,解得 y1=. 3.点A的坐标为(3,2 3)或(3 , 2 .3).(2)当直线I的斜率存在时， 设直线I的方程为y= k(x 1).y= k x 1与抛物线方程联立2,y = 4x消去 y,整理得 k2