东台三仓中学0910学年高二下学期期中考试数学理144774

1、江苏省东台市三仓中学 09-10学年高二下学期期中考试（数学理） 一、填空题（共14小题，每小题5分，共计70分，每题只需写出结果） 2 1 .设z 1 i （i是虚数单位），则z2 z 2. 在ABC中，若A ,a 2，则上一 6si nB 3. 5个人排成一排，其中甲不排在排头也不排在排尾的不同排列方法种数为 4若 x 0, y 0,且 x y 1，则z x y的最大值是 5.有下列四个命题：（1） “若b 3，则b29 ”的逆命题；（2） “全等三角形的面积相等” 的否命题；（3） “若 c 1，则 x2 2x c 0有实根” ；（4） “若A B A，贝U A B ”的逆否命题。 其中

2、真命题的 个数是 6.在 ABC中，已知（a b c）（a b c） ab，贝U C的大小为 7.如右图，在正方体 ABCD AB1C1D1中，E为棱DD1 G为棱A,Bi上任意一点，则直线 8.用数学归纳法证明“11 2 原等式的左边应增加的项数是 AE与直线FG所成的角为 1 1 3 L 歹 P（n）”，从 棱BC中点, 时 9.椭圆的焦点为F、F2,过点Fi作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段 MN长为32 , 5 MF2N的周 在 ABC中，已知 a 2 3 , c 62 , B 45o，求 b 及 A. 长为20,则椭圆的离心率为. 20 10.求和：（12n） = 11 已知

3、f(x) n 0 12.已知 f(x) ln x 2 x，若 x 0 f(x) 2 a恒成立，则实数a的取值范围是 13.已知实数x,y满足x x 1 y 3 y，贝U x y的最大值为 14.如图，一条螺旋线是用以下方法画成: 线CA1, A1A2, A2A3分别是以 代B,C为圆心，AC, BA1, CA2为半径 曲线CA1A2A3称为螺旋线，然后又以A为圆心， AA3为半径画 这样画到第 n圈，则所得螺旋线CA1,A1A2,A2A3,-, ABC是边长为1的正 角形，曲 A2 画的弧, 弧 A3 A1 A3n 2 A3n 1 , A3n 1A3n的总长度为 二、解答题（共 15.（本题满

4、分 6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14分) 16. （本题满分14分） 如图，在正方体 ABCA1B1C1D1中，E为AB的中点. （1）求直线BQ与DE所成角的余弦值； C1 C 求二面角E BQ D的余弦值. 17. （本题满分15分） 已知等差数列a*中，a3 a6 17, a1a 838且a1 a8. （1）求an的通项公式； （2） 调整数列a*的前三项a1,a2,a3的顺序，使它成为等比数列 bn的前三项，求bn的前n项和. 18. （本题满分15分） 2 2 1(a b 0)的长轴AB 长为4,离心 直.P是椭 延长HP到 如图，已知椭圆C :笃每

5、 a b 率e 3， O为坐标原点，过 圆上异于a、B的任意一点， 点 Q 使得 HP PQ ，连结 AQ 延长交直线 l 于点 M ， N 为 MB 的中点 ( 1)求椭圆 C 的方程； (2) 证明Q点在以AB为直径的圆0上； ( 3)试判断直线 QN 与圆 O 的位置关系 19. (本题满分 16 分) 已知 x 1是函数 f(x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点，其中 m,n R,m 0， ( 1)求 m 与 n 的关系式； ( 2)求 f (x) 的单调区间； (3) 当x 1,1时，函数y f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围 20. (本题

6、满分 16 分) 在金融危机中 ,某钢材公司积压了部分圆钢 ,经清理知共有 2009 根. 现将它们堆放在一起 (1)若堆放成纵断面为正三角形 (每一层的根数比上一层根数多 1 根), 并使剩余的圆钢尽可能地少 ,则剩余 了多少根圆钢 ? （2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根）,且不少于七层, （I）共有几种不同的方案 （n）已知每根圆钢的直径为10cm为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m贝U选择哪个方案，最能节 省堆放场地? 东台市三仓中学2009-2010学年度第二学期期中考试 高二数学 （理）试卷 （教师版） （满分 160分，完成时间 120分钟） 命题人: 林

7、芝才 2010.5.8. 一、填空题（共14小题，每小题5分，共计70分，每题只需写出结果） 1. 设z 1 i （i是虚数单位），则-z2 1 i.（课本111页第3题改编） z 2. 在 ABC中，若A ,a .2，则上 2 2 .（课本10页第3题改编） 6sin B 3. 5个人排成一排，其中甲不排在排头也不排在排尾的不同排列方法种数为 72 （课本29页第5题改编） 4.若 x 0, y 0,且 x y 1,则z x y的最大值是_1_.（课本80页练习1原题） 5.有下列四个命题：（1） “若b 3，则b2 9 ”的逆命题；（2） “全等三角形的面积相等”的否命题；（3） “若 c

8、 1，则 x2 2x c 0有实根” ；（4） “若A B A，则A B”的逆否命题。其中真命题的 个数是1 2 6.在 ABC中，已知（a b c）（a b c） ab，贝U C的大小为.（课本15页第3题改编） 7.如右图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中, G为棱AB上任意一点，则直线 AE 第7题改编） 8.用数学归纳法证明 与直线 1 2n 棱BC中点, （课本101页 k 1时原 等式的左边应增加的项数是 2k 32 9.椭圆的焦点为F1、F2, MF2N的周 过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为32 , 5 3 长为20,则椭圆的离心率为 3 5 10.

9、求和: 11 已知 f(x) 1_x2，则猜想 142（q3f（x）l）的解析式为 n个 14fM(x)L) n个 x 1 nx2 20 （1 2n）=-399.（课本第45页第2题原题） n 0 x 12.已知 f (x) lnx 2 x，若x 0 f（x） a2恒成立，则实数a的取值范围是（，1）U（1,）. 13.已知实数x,y满足x x 1 y 3 y ,则x y的最大值为 的正三角形， AC,BA, CA2 心，AA3为半 n（13n）. 14如图，一条螺旋线是用以下方法画成： ABC是边长为1 曲线CA1, A1A2, A2A3分别是以A, B,C为圆心， 为半径画的弧，曲线 CA

10、1A2A3称为螺旋线，然后又以 A为圆 径画弧这样画到第n圈，则所得螺旋线 CA1 , A1 A2 , A2 A3,，A3n 2 A3n 1 , A3n 1 A3n 的总长度为 二、解答题（共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本题满分14分） 在 ABC中，已知a 2.3 , c 62 , B 45o，求b及A.（课本16页第1题改编） 解： b2 a2 c2 2accosB = （2 3）2 （ 6 2）2 2 2 3 （ 6 2） cos 45 =12 ( 62)2 4 3( 3 1) = 8 5 分 Qb0 b 2 2. 7 分 求A可以利用余弦定

11、理，也可以利用正弦定理: 解法 cos A 2bc (2.2)2 ( .6)2 (2.3)2 2 2血(虫V2) 1 2, 12分 又 A 0o,180 A 60. 14分 解法二： sin A bsinB 殳2sin450, 10分 又/ .62 2.4 1.4 3.8, 2.3 v 2 1.8 3.6, a v c，即 00 v A v 90, A 60 16.（本题满分14分） 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为AB的中点. （1）求直线B1C与DE所成角的余弦值； 求二面角E B1C D的余弦值.（课本98页例4改编） 解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z

12、轴， 建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为a则 14分 C1 Cy 1 D(0,0,0),E(a, a, 0),C(0,a,0),B 1 (a,a,a) 2 uuur (1)BC ( a,0, uuir uuir cos BQ, DE uuur 1 a) , DE (a,，a,0) uuur uuur B.C DE uuir uuur |BQ|DE| ，则 直线BiC与DE uuu (2) EC 则由aX ax ir 贝V cos n1 2a a20 0 02 玄2 所成角的余弦值为罟 (a,a,0), 2 1 门 ay 0 2 ay 0 uu 2 ,巧 uuir RC ir ,得n1

13、(a,0, a), 设平面 (1,2, 1).同理平面 2、33 . 所以求二面角EB1CD的余弦值为于 ur B1EC的法向量为q (x,y,z), uu B1DC 的法向量 n (1,0, 1). 13分 14分 38 且 a a8. 17. (本题满分15 分) 已知等差数列an中，a3 a617,a 8 (1 )求an的通项公式; (2)调整数列a*的前三项aa2,a3的顺序，使它成为等比数列 0的前三项，求g的前n项和. 解：(1)由已知，得求得a 2, as 19 an的公差 d=3 - an=a1+(n 1)d= 2+3(n 1)=3n 5. (2)由(1),得 a3=a2+d=

14、1+3=4 , a1= 2, a2=1, a3=4. 依题意可得：数列bn的前三项为 b1=1, b2= 2, b3=4 或 b1=4 , b2= 2, b3=1 (i)当数列b n的前三项为 b1=1 , b2= 2, b3=4时，贝U q= 2 . b1(1 qn) 1 1 ( 2)n 1( 2)n -31 ( 2). S11 q 1 ( 2) 12分 (ii)当数列bn的前三项为b1=4, b2= 2, b3=1 时，则 q八咛 21 q 1 41 ( -)n81 汁訥(1门 1(-)32 2 15分 18. (本题满分15分) 如图，已知椭圆 l与x轴垂直. 轴，H为垂足， 直线l于点

15、M , 2 詁 1(a b o)的长轴AB长为 P是椭圆上异于 A、B 延长HP到点Q使得HP N为MB的中点. B的直线 (1) (2) (3) 求椭圆C的方程； 证明Q点在以AB为直径的圆O 上; 试判断直线QN与圆O的位置关系. 解: ( 1) 由题设可得2a 4,C 3 , a 2 C的方程为 PH x 延长交 4,离心率e -2 , O为坐标原点，过 解得a 2,c3 , b 1 .-椭圆 (2) P xo, yo, yo21. / HP X0,2y . OQ X。2 2y02 2 . Q点在以O为圆心，2为半径的的圆上. 在以AB为直径的圆O上. (3) 设 P Xo, yoX。

16、2，则 Q Xo,2yo , yo21. 2,0 , 直线AQ的方程为y 2y 2 Xo 2，得 2 8y ,Xo 2 .又 B 2,0 N为MB的中点， 2, 4y 2 Xo 2So Xo2 Xo Xo2Xo 2Xoo . LULT OQ UULT NQ . 直线QN与圆O相切. 15分 uuiruur OQ Xo ,2 yo , NQ uuir lur OQ NQ Xo Xo 2 2yoyXo X 2 2 4xy Xo Xo 2 Xo 2 Xo 2 2 Xo 4Xo Xo2 (用其他方法证明的同学按标准给分) 19. (本题满分16分) 已知x 1是函数f(x) mx3 3(m 1)x2

17、nx 1的一个极值点，其中 m, n R,m 0, (I )求m与n的关系式； (II )求f (x)的单调区间； (iii )当x 1,1时，函数y f (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围. 2 解(I) f (x) 3mx 6(m 1)x n因为x 1是函数f (x)的一个极值点，所以f o ,即 3m 6(m 1) n 0，所以 n 3m 6 2 2 (II )由(I )知，f (x) 3mx 6(m 1)x 3m 6 = 3m(x 1) x 14 分 m 2 当m 0时，有1 1，当x变化时，f (x)与f (x)的变化如下表: m x ,1 - m 1 J m

18、 1 -,1 m 1 1, f (x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 8分 2 故有上表知，当 m 0时，f (x)在 ,1单调递减， m 2 在(1,1)单调递增，在(1,)上单调递减 10分 m 2 (III )由已知得 f (x) 3m，即 mx 2(m 1)x 20 12分 2 222 22 又 m 0所以 x若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余 了多少根圆钢？ 若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层， (I)共有几种不同的方案 ？ (n)已知每根圆钢的

19、直径为10cm,为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m贝U选择哪个方案，最能节 省堆放场地？ 解：(1)当纵断面为正三角形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差 (m 1)x0 即 x2 (m 1)x0,x1,1 数列，且剩余的圆钢一定小于 n根，从而由 2009啦n 2且n n(n 1) 2009 2 N*得，当n 62时，使剩余的圆 mmmm 设 g(x) x2 2(1 丄“ 2 , mm 其函数开口向上， 由题意知式恒成立， 13分 g( 1) 0 2 2 1 2 0 4小 4 所以 m m解之得 m又m 0所以 m 0 g(1) 0 1 0 3 3 即m的取值范围为 4 0 -16分 ,0 3 20.(本题满分 16分) 在金融危机中，