人教A版数学必修五学案4等比数列

1、 学点一 学点二 学点三 学点四 返回目录返回目录 这个常数这个常数 1.1.一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列 . . ，那么这个数列叫做等比数，那么这个数列叫做等比数 列，列， 叫做等比数列的公比，公比通常用字母叫做等比数列的公比，公比通常用字母q q表示表示 ( (q q0).0). 2.2.等比数列的通项公式为等比数列的通项公式为 . . 3. 3.如果在如果在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数G G，使，使a a, ,G G, ,b b成等比数列，成等比数列， 那么那么G G叫做叫做a a和和b b的的 ，且，且G G2 2= = . . a an n= =a a1

2、1q qn n-1 -1 等比中项等比中项 从第从第2 2项起，每一项与它的项起，每一项与它的 前一项的比等于同一常数前一项的比等于同一常数 abab 返回目录返回目录 学点一等比数列的定义学点一等比数列的定义 【分析分析】只需研究只需研究 的值是否为常数，而不管的值是否为常数，而不管 n n( (n nNN* *) )如何变化如何变化. . n n a a 1 试判别下列数列是否为等比数列试判别下列数列是否为等比数列. . （1 1）a an n=(-1)=(-1)n n-1 -1( ( ) )n n, ,n nNN* *; ; （2 2）a an n=(-2)=(-2)n n-3 -3,

3、,n nN N* *; ; （3 3）a an n= =n n2 2n n, ,n nNN* *; ; （4 4）a an n=-1,=-1,n nNN* *; ; 3 【解析解析】 返回目录返回目录 返回目录返回目录 【评析评析】 返回目录返回目录 设数列设数列2 2log logo ob b,4 ,4 log loga ab b,8 ,8 log loga ab b, ,(2 ,(2n n) ) log loga ab b, ,( (a a, ,b b为大于 为大于0 0 的常数且的常数且a a1).1). （1 1）求证：数列为等比数列；）求证：数列为等比数列； （2 2）若数列又为等差

4、数列，求）若数列又为等差数列，求b b的值的值. . 解：解：（1 1）证明：设数列为）证明：设数列为 x xn n ，则，则x xn n =(2=(2n n) )log loga ab b. . , ,为常数为常数, , x xn n 为等比数列为等比数列. . （2 2）x xn n 为等差数列，为等差数列， b b n b n b n b n n n a a a a a x x log log log )1( log log1 1 2 2 2 )2( )2( x xn n+1 +1- - x xn n =(2 =(2n n+1 +1) )logloga ab b-(2 -(2n n) )

5、log loga ab b =2=2n nlog loga ab b (2 (2log loga ab b-1)= -1)=常数，常数， 22log loga ab b-1=0,2 -1=0,2log loga ab b=1, =1, logloga ab b=0,=0, b b=1.=1. 返回目录返回目录 返回目录返回目录 学点二学点二 应用公式求基本量应用公式求基本量 【分析】【分析】由已知条件列出关于由已知条件列出关于a a1 1, ,q q的方程（或方程的方程（或方程 组），或有关量的方程（或方程组）组），或有关量的方程（或方程组）. . 在等比数列在等比数列 a an n 中，中，

6、 （1 1）已知）已知a a3 3=9,=9,a a6 6=243,=243,求求a a5 5; ; （2 2）已知）已知a a1 1= = , ,a an n= = , ,q q= = , ,求求n n; ; （3 3）已知）已知a a3 3+ +a a6 6=36,=36,a a4 4+ +a a7 7=18,=18,a an n= = , ,求求n n. . 8 9 3 1 3 2 2 1 返回目录返回目录 【解析】【解析】 返回目录返回目录 返回目录返回目录 【评析】【评析】 返回目录返回目录 已知三个数成等比数列已知三个数成等比数列, ,若第二个数加若第二个数加4 4就变成等差数列，

7、就变成等差数列， 再把这个等差数列的第再把这个等差数列的第3 3项加项加3232又成等比数列，求这三个又成等比数列，求这三个 数数. . 解：解：解法一：设这三个数分别为解法一：设这三个数分别为a a1, ,a a2, ,a a3，根据已知，根据已知 条件得条件得 返回目录返回目录 返回目录返回目录 返回目录返回目录 学点三学点三 等比数列的性质等比数列的性质 【分析】【分析】本题主要考查等比数列的定义、性质及等比本题主要考查等比数列的定义、性质及等比 中项的灵活运用中项的灵活运用. . 在等比数列在等比数列 a an n 中，中， （1 1）若已知）若已知a a2 2=4,=4,a a5 5

8、=-=- , ,求求a an n; ; （2 2）若已知若已知a a3 3a a4 4a a5 5=8=8，求，求a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 6的值的值. . 2 1 【解析】【解析】 返回目录返回目录 【评析】等比数列通项公式推广结论【评析】等比数列通项公式推广结论a an n= =a am mq qn n- -m m适用于适用于 m m, ,n nNN* *中任意值，可以中任意值，可以n n m m，也可以，也可以n nm m. . 返回目录返回目录 （1 1）若数列）若数列 a an n 是正项递增等比数列，是正项递增等比数列，T Tn n表示其前表示其前n

9、 n项的项的 积积, ,且且T T8 8= =T T4 4, ,则当则当T Tn n取最小值时取最小值时, ,n n的值等于（的值等于（ ） A.5A.5 B.6B.6 C.7C.7 D.8D.8 （2 2）在各项均为正数的等比数列在各项均为正数的等比数列 a an n 中，中，a a4 4a a8 8=4,=4,a a6 6a a10 10+ + a a3 3a a5 5=41,=41,则则a a4 4+ +a a8 8= = . . 解：解：（1 1）由由T T8 8= =T T4 4，a a5 5a a6 6a a7 7a a8 8=1,=1,又又a a5 5a a8 8= =a a6

10、6a a7 7=1,=1,且数列且数列 a an n 是正项递增数列，是正项递增数列，a a5 5 a a6 611a a7 7 00且且q q11时，时， 是一个不为是一个不为0 0的常数与指数函数的积，所以等比数列的常数与指数函数的积，所以等比数列 的图象是横坐标为自然数的同一条指数函数上的一些离散的的图象是横坐标为自然数的同一条指数函数上的一些离散的 点点. . n n q q a a 1 q a qy x 返回目录返回目录 3.3.如何理解等比中项的定义？如何理解等比中项的定义？ 如果如果a a，G G，b b成等比数列，那么成等比数列，那么G G叫作叫作a a和和b b的等比中项，的

11、等比中项， 其中其中G G2 2= =abab( (或或 ).). 三个数三个数a a, ,G G, ,b b成等比数列的一个必要不充分条件是成等比数列的一个必要不充分条件是 G G2 2= =abab. . 若求两个数若求两个数a a, ,b b的等比中项的等比中项G G，则，则G G一定有两个值一定有两个值. .如如, , 求求2,82,8的等比中项的等比中项G G，则，则G G= =4.4. 在解决实际的三个数成等比数列的问题中，我们经常在解决实际的三个数成等比数列的问题中，我们经常 把这三个数设为把这三个数设为 , ,a a1 1, ,a a1 1q q. . abG q a1 返回目

12、录返回目录 4.4.等比数列有等比数列有什么样的什么样的性质？性质？ （1 1）在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上）在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上 的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列. . （2 2）在等比数列中，我们任取）在等比数列中，我们任取“间隔相同间隔相同”的三项的三项 以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数 列列. .如：等比数列如：等比数列a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3, , ,a an n, ,. .那么那么 a a2 2,

13、 ,a a5 5, ,a a8 8, ,a a11 11, ,a a1414, ,; ; a a3 3, ,a a5 5, ,a a7 7, ,a a9 9, ,a a11 11, ,各自仍构成等比数列 各自仍构成等比数列. . （3 3）如果数列）如果数列 a an n 是等比数列，是等比数列，c c是不等于是不等于0 0的常数，的常数， 那么数列那么数列 c c a an n 仍是等比数列仍是等比数列. . （4 4）如果）如果 a an n,b bn n 是项数相同的等比数列，那么数是项数相同的等比数列，那么数 列列 a an nb bn n ， 仍是等比数列仍是等比数列. . （5 5

14、）在等比数列）在等比数列 a an n 中的任何两项可以互相表示为：中的任何两项可以互相表示为： a an n= =a am mq qn-m n-m. . （6 6）在等比数列）在等比数列 a an n 中，若中，若m m+ +n n= =p p+ +q q，则，则a am ma an n= =a ap pa aq q. . n n b a 返回目录返回目录 1.1.必须准确的理解和掌握等比数列的概念，掌握通项必须准确的理解和掌握等比数列的概念，掌握通项 公式，通项公式公式，通项公式a an n= =a a1 1q qn n-1 -1的四个基本量 的四个基本量a a1 1, ,n n, ,q

15、q, ,a an n以及各个以及各个 量的作用，在解决实际问题时，能够熟练地找到基本量，量的作用，在解决实际问题时，能够熟练地找到基本量， 用它们表示出用它们表示出a an n, ,或者用或者用a an n含含代代基本量基本量a a1 1, ,q q构造方程、方程构造方程、方程 组组, ,最后求得最后求得a a1 1及及q q，也正是高考中要考查的函数思想、方，也正是高考中要考查的函数思想、方 程思想和公式的灵活运用程思想和公式的灵活运用. . 2.2.在等比数列中，除基本公式外，还要注意公式的变在等比数列中，除基本公式外，还要注意公式的变 换换. .如如a an n= =a am mq qn

16、 n- -m m( (n n, ,m mNN* *, ,m m 00时，时，a a, ,b b才存在等比中项，且是两个：才存在等比中项，且是两个： , ,是一是一 对非零的相反数对非零的相反数. . ab 一样的软件一样的软件 不一样的感觉不一样的感觉 一样的教室一样的教室 不一样的心情不一样的心情 一样的知识一样的知识 不一样的收获不一样的收获 学点一 学点二 学点三 学点四 返回目录返回目录 学点一等比数列的定义学点一等比数列的定义 【分析分析】只需研究只需研究 的值是否为常数，而不管的值是否为常数，而不管 n n( (n nNN* *) )如何变化如何变化. . n n a a 1 试判

17、别下列数列是否为等比数列试判别下列数列是否为等比数列. . （1 1）a an n=(-1)=(-1)n n-1 -1( ( ) )n n, ,n nNN* *; ; （2 2）a an n=(-2)=(-2)n n-3 -3, ,n nN N* *; ; （3 3）a an n= =n n2 2n n, ,n nNN* *; ; （4 4）a an n=-1,=-1,n nNN* *; ; 3 返回目录返回目录 返回目录返回目录 学点三学点三 等比数列的性质等比数列的性质 【分析】【分析】本题主要考查等比数列的定义、性质及等比本题主要考查等比数列的定义、性质及等比 中项的灵活运用中项的灵活运

18、用. . 在等比数列在等比数列 a an n 中，中， （1 1）若已知）若已知a a2 2=4,=4,a a5 5=-=- , ,求求a an n; ; （2 2）若已知若已知a a3 3a a4 4a a5 5=8=8，求，求a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 6的值的值. . 2 1 【解析】【解析】 返回目录返回目录 2. 2.如何理解等比数列的通项公式？如何理解等比数列的通项公式？ 对于公式对于公式a an n= =a a1 1q qn n-1 -1( (n nN N* *):): （1 1）此公式成立的条件是）此公式成立的条件是n nNN* *, ,q q00

19、，也就是，也就是n n取取 1,2,3,1,2,3,. . （2 2）此公式是按定义推导出来的：）此公式是按定义推导出来的： ,a an n+1 +1= =a an nq q. .这是等比数列通项公式的一种递 这是等比数列通项公式的一种递 推关系的表现形式推关系的表现形式. .运用这一递推关系，在教科书中用观察运用这一递推关系，在教科书中用观察 法（或不完全归纳法）推导得出法（或不完全归纳法）推导得出a an n= =a a1 1q qn n-1 -1. .此公式还可以用其 此公式还可以用其 他方法得到，如依等比数列定义得他方法得到，如依等比数列定义得 , , , ，将这，将这n n-1-1个式子两边分别相乘即得个式子两边分别相乘即得a an n= =a a1 1q qn n-1 -1. . q a a n n 1 q a a q a a q a a 3 4 2 3 1 2 , q a a n n 1 返回目录返回目录 4.4.等比数列有等比数列有什么样的什么样的性质？性质？ （1 1）在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上）在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上 的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列的数，把它们重