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文档简介
1、次亚(半)正定阵的探讨 摘要:文章主要是关于次亚(半)正定阵方面的探讨,这些探讨包括从矩阵的次偏序、次迹,次shur补,次和同,次对角占优等方面的探讨,对于次偏序,本文则首次提出了次偏序的概念,并在这个概念下探讨了次偏序不等式的传递性、元素间的关系的方面。关键词:亚正定阵,次亚正定阵,次偏序,次转置,次对称,反次对称,m矩阵,对角占优矩阵。0 引 言 讨论矩阵的正定性,无论对代数理论或者应用都是十分重要的,1973年johnson在其博士论文中研究了方阵的对称化阵是正定阵时的某些不等式,是正定阵的这类实矩阵称为亚正定阵,屠伯埙等学者已经对该类矩阵进行过深入的研究,随着矩阵理论的发展,袁晖坪等学
2、者则将亚正定阵的概念推广到次对称上,形成次亚正定阵的理论,丰富了矩阵的理论,本文则从亚正定阵的若干性质入手,将其推广到次亚正定阵上。如无特别说明,本文讨论的矩阵和向量都是实的,和分别表示实矩阵的转置,伴随矩阵,迹,秩和行列式,表示n维向量空间和所有矩阵构成的空间。1 基本概念定义1:设,若有则称为亚(半)正定阵。定义2:设,则称矩阵(其中)为次转置矩阵,记为,若,则称为次对称矩阵,若,则称为反次对称矩阵。利用定义2容易证明:(1),(2)设表示次对角线元素全为1,其余元素为0的n阶方阵,则, ,。定义3:设,若有则称为次亚(半)正定阵。2 基本引理 由于本文是建立在亚(半)正定阵和次亚(半)正
3、定阵现有的一些结论上,因而有必要对这些结论作一些介绍,这些介绍分两部分来进行,分别是次亚(半)正定阵方面的引理和亚(半)正定阵方面的引理。21 次亚(半)正定阵方面的引理 该部分引用了袁晖坪,马跃超等学者关于次亚(半)正定阵的一些结论,这些结论的证明可以在文献24中查到。定义4:设,若有则称为次(半)正定阵。引理1:设,则为次(半)正定阵为(半)正定阵。推论1:设,则为次正定阵(可逆)使。引理2:设,则为次亚(半)正定阵为亚(半)正定阵。引理3:为次亚(半)正定阵为亚(半)正定阵。引理4:为n阶次亚(半)正定阵,则,均为次亚(半)正定阵。引理5:设,则下列条件等价: (1)为次亚正定阵,(2)
4、为次亚(半)正定阵,(3)为次亚正定阵,(4)为次亚正定阵,(5)(可逆)有为次亚正定阵,(6)为次亚正定阵。引理6:设,则为次亚正定阵为次亚正定阵。22 亚(半)正定阵方面的引理这一部分关于亚正定阵的若干性质,可以在文献611中查到。定义5:设,都是n阶方阵,如果是亚正定阵,就称大于或小于,记为或 。 定义6:设,都是n阶方阵,如果是亚半正定阵!就称大于等于或小于等于,记为或 。 引理6:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)若,则(其中,均为正实数)。引理7:(1)若且则(亚正定阵的不等式具有传递性); (2)其中。引理8:若且则其中,。引理9:有。引理10:(1)若,则; (2
5、)若,则,; (3)若,则; (4)若,则。引理11:设存在,则有 ,。引理12:若,则的特征根均大于0小于1,其中 表 示。引理13:设矩阵为实亚正定矩阵,为实对称矩阵,则必存在可逆矩阵,使得:, =其中,s为反对称矩阵,为对角形矩阵。定义7:如果n阶矩阵的主对角线外的元素非正,且为非负矩阵(中每个元素都非负),则称为m矩阵.引理14:若,且 (ij),则可唯一地分解为,其中为单位下三角型m矩阵, 为上三角型m矩阵。引理15:设是正线双严格对角占优阵,即满足:且,则,(其中表示k个的hadamard积)。3 亚正定阵的一些性质本部分主要是在文章的基本引理的基础上运用2.1中给定的工具将2.2
6、的结论推广到次亚正定阵上,这些推广主要从矩阵的次偏序、次迹,次shur补,次和同,次对角占优等方面进行推广,以下是具体的推广。3.1 次偏序方面的一些性质定义8:设,都是n阶方阵,如果是次亚正定阵,就称次大于或次小于 ,记为或。 定义9:设,都是n阶方阵,如果是次亚半正定阵,就称次大于等于 或 次小于等于,记为或。 显然(1)为次(半)亚正定阵。 (2),为n阶方阵, ,事实上 ,第二个式子可类证。 性质1:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)若,则(其中,均为正实数)。 证明:先证(4) ,(其中,为正实数)。 对于(1)只须令,即可。 对于(2),。 对于(3),。性质2:(1
7、)若且则(次亚正定阵的不等式具有传递性); (2)其中。 证明:(1)。 (2)即。性质3:若且则,其中,。 证明:因为,所以,有, 即及,如果取其中1位于第n-i+1分量处,则有及从而知。如果取则有和又,故有性质4:有。 证明: 令有即。 32 次迹方面的一些性质定义10:设,我们把叫做矩阵的次迹,记做。性质5:(1)若,则;(2)若,则,; (3)若,则当n等于或时,;(4)若,则。 证明:首先我们由矩阵乘法及迹和次迹的定义容易得到;(1);(2) ;(3)另一方面当且仅当其阶数n=4k或4k+1,故当的阶数n=4k或4k+1时有;(4),另一方面当时,反之有故总有。33 次shur补方面
8、的性质性质6:设,存在,则有 ,。 证明:, 存在存在, 所以有 同理有。34 次偏序下关于特征根的性质性质7:若,则的特征根均大于0小于1,其中 表示。 证明:,的特征根均大于0小于1。35 次和同方面的性质性质11:设矩阵为实次亚正定矩阵,为实次对称矩阵,则必存在可逆矩阵,使得:, 其中,为次反对称矩阵,为次对角形矩阵。 证明:, 即对称, (可逆)使得, 其中为反对称矩阵,为对角形矩阵。 , ,以下说明为次反对称矩阵(),为次对角形矩阵。因为为对角形矩阵,所以由矩阵乘法易知为次对角形矩阵。36 m分解方面的性质性质12:若,且 (jn-i+1),则可唯一地分解为,其中为单位次上三角型m矩
9、阵, 为上三角型m矩阵。 证明:, 除主对角线以外所有元素非正。 从而可唯一地分解为其中为单位下三角型m矩阵,为上三角型m矩阵。 ,其中为单位次上三角型m矩阵,为上三角型m矩阵。37 次线严格对角占优方面的性质性质13:设是次线双严格对角占优阵,即满足:且,.则, (其中表示k个的hadamard积)。 证明:首先我们先证, 根据hadamard积的定义知 令,则从而 令,则从而= 所以。 其次当条件 及,成立时,对于则有和,即是正线双严格对角占优阵,从而,为亚正定矩阵,所以。4 结束语 本文先介绍了次(半)亚正定阵的概念,接着从次(半)亚正定阵和亚正定阵两方面介绍了本文所用到的引理,这些引理
10、主要是引用袁晖坪,马跃超等学者的结果,然后本文在这些基础上推广了一些次(半)亚正定阵的性质,这些性质主要是关于矩阵的次偏序、次迹,次shur补,次和同,次对角占优等方面的,但限于时间和精力,本文的探讨的深度还是不够的。 参考文献1johnson h r. an inquality ormatrices hose symmetric art is positive definitej.lin alg, appl, 1973(6):13-182袁晖坪.次亚正定矩阵,数学杂志,2001,21:29-32.3郭伟.亚次正定矩阵j,重庆师范学院学报(自然科学版),1999,16(2);53-60.4詹仕
11、林.次亚正定矩阵的判定j,纯粹数学与应用数学,2003(2).5黄廷祝等.矩阵理论m,第1版, 北京 ,高等教育出版社,2004:37-47.6屠伯埙. 亚正定阵理论(i)j,数学学报,1991,(4):462 471.7朱金寿.关于亚正定矩阵j ,武汉理工大学学报, 2001(9):90-92.8王讲书.亚正定阵的一些性质j, 江苏技术师范学院学报 2003(6):30-32.9黄敬频.一类广义正定阵的若干性质j, 柳州师专学报,1998(6):74-78.10胡京爽.亚正定矩阵的若干性质j,青岛建筑工程学院学报, 2004(4):58-60.11吴秀华.亚正定阵的几个充分条件j,吉林化工学
12、院学报,1997(12):73-75.12马跃超.亚正定阵及华罗庚定理的推广(i)j,辽宁师专学报,2000(12):8-10.abstract the article is a concerning a study for being partial to preface, time vestige, a shur repairing, time with together, an opposite angles occupying excellent grade primarily, inquirying into a concept for being partial to preface, this text then for the very first time putting forward time being partial to preface, and very much the aspect of a relation for being partial to preface notequation delivering sex, chemical element.keyword: second settle, the time is second settle, the time is partial to the preface
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