次亚（半）正定阵的探讨高等代数毕业论文

1、次亚（半）正定阵的探讨 摘要：文章主要是关于次亚（半）正定阵方面的探讨，这些探讨包括从矩阵的次偏序、次迹，次shur补，次和同，次对角占优等方面的探讨，对于次偏序，本文则首次提出了次偏序的概念，并在这个概念下探讨了次偏序不等式的传递性、元素间的关系的方面。关键词：亚正定阵，次亚正定阵，次偏序，次转置，次对称，反次对称，m矩阵，对角占优矩阵。0 引 言 讨论矩阵的正定性，无论对代数理论或者应用都是十分重要的，1973年johnson在其博士论文中研究了方阵的对称化阵是正定阵时的某些不等式，是正定阵的这类实矩阵称为亚正定阵，屠伯埙等学者已经对该类矩阵进行过深入的研究，随着矩阵理论的发展，袁晖坪等学

2、者则将亚正定阵的概念推广到次对称上，形成次亚正定阵的理论，丰富了矩阵的理论，本文则从亚正定阵的若干性质入手，将其推广到次亚正定阵上。如无特别说明，本文讨论的矩阵和向量都是实的，和分别表示实矩阵的转置，伴随矩阵，迹，秩和行列式，表示n维向量空间和所有矩阵构成的空间。1 基本概念定义1：设，若有则称为亚（半）正定阵。定义2：设，则称矩阵（其中）为次转置矩阵，记为，若，则称为次对称矩阵，若，则称为反次对称矩阵。利用定义2容易证明：（1），（2）设表示次对角线元素全为1，其余元素为0的n阶方阵，则， ，。定义3：设，若有则称为次亚（半）正定阵。2 基本引理 由于本文是建立在亚（半）正定阵和次亚（半）正

3、定阵现有的一些结论上，因而有必要对这些结论作一些介绍，这些介绍分两部分来进行，分别是次亚（半）正定阵方面的引理和亚（半）正定阵方面的引理。21 次亚（半）正定阵方面的引理 该部分引用了袁晖坪，马跃超等学者关于次亚（半）正定阵的一些结论，这些结论的证明可以在文献24中查到。定义4：设，若有则称为次（半）正定阵。引理1：设，则为次（半）正定阵为（半）正定阵。推论1：设，则为次正定阵（可逆）使。引理2：设，则为次亚（半）正定阵为亚（半）正定阵。引理3：为次亚（半）正定阵为亚（半）正定阵。引理4：为n阶次亚（半）正定阵，则，均为次亚（半）正定阵。引理5：设，则下列条件等价： （1）为次亚正定阵，（2）

4、为次亚（半）正定阵，（3）为次亚正定阵，（4）为次亚正定阵，（5）（可逆）有为次亚正定阵，（6）为次亚正定阵。引理6：设，则为次亚正定阵为次亚正定阵。22 亚（半）正定阵方面的引理这一部分关于亚正定阵的若干性质，可以在文献611中查到。定义5：设，都是n阶方阵，如果是亚正定阵，就称大于或小于，记为或 。 定义6：设，都是n阶方阵，如果是亚半正定阵!就称大于等于或小于等于，记为或 。 引理6：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则（其中，均为正实数）。引理7：（1）若且则（亚正定阵的不等式具有传递性）； （2）其中。引理8：若且则其中，。引理9：有。引理10：（1）若，则； （2

5、）若，则，； （3）若，则； （4）若，则。引理11：设存在，则有 ，。引理12：若，则的特征根均大于0小于1，其中 表 示。引理13：设矩阵为实亚正定矩阵,为实对称矩阵,则必存在可逆矩阵,使得:, =其中,s为反对称矩阵,为对角形矩阵。定义7：如果n阶矩阵的主对角线外的元素非正,且为非负矩阵(中每个元素都非负),则称为m矩阵.引理14：若,且 (ij),则可唯一地分解为,其中为单位下三角型m矩阵, 为上三角型m矩阵。引理15：设是正线双严格对角占优阵,即满足:且，则，(其中表示k个的hadamard积)。3 亚正定阵的一些性质本部分主要是在文章的基本引理的基础上运用2.1中给定的工具将2.2

6、的结论推广到次亚正定阵上，这些推广主要从矩阵的次偏序、次迹，次shur补，次和同，次对角占优等方面进行推广，以下是具体的推广。3.1 次偏序方面的一些性质定义8：设，都是n阶方阵，如果是次亚正定阵，就称次大于或次小于 ，记为或。 定义9：设，都是n阶方阵，如果是次亚半正定阵，就称次大于等于 或 次小于等于，记为或。 显然（1）为次（半）亚正定阵。 （2），为n阶方阵， ，事实上 ，第二个式子可类证。 性质1：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则（其中，均为正实数）。 证明：先证（4） ，（其中，为正实数）。 对于（1）只须令，即可。 对于（2），。 对于（3），。性质2：（1

7、）若且则（次亚正定阵的不等式具有传递性）； （2）其中。 证明：（1）。 （2）即。性质3：若且则，其中，。 证明：因为，所以，有， 即及，如果取其中1位于第n-i+1分量处，则有及从而知。如果取则有和又，故有性质4：有。 证明： 令有即。 32 次迹方面的一些性质定义10：设，我们把叫做矩阵的次迹，记做。性质5：（1）若，则；（2）若，则，； （3）若，则当n等于或时，；（4）若，则。 证明：首先我们由矩阵乘法及迹和次迹的定义容易得到；（1）；（2） ;（3）另一方面当且仅当其阶数n=4k或4k+1，故当的阶数n=4k或4k+1时有；（4），另一方面当时，反之有故总有。33 次shur补方面

8、的性质性质6：设，存在，则有 ，。 证明：， 存在存在， 所以有 同理有。34 次偏序下关于特征根的性质性质7：若，则的特征根均大于0小于1，其中 表示。 证明：，的特征根均大于0小于1。35 次和同方面的性质性质11：设矩阵为实次亚正定矩阵,为实次对称矩阵,则必存在可逆矩阵,使得:, 其中,为次反对称矩阵,为次对角形矩阵。 证明：， 即对称， （可逆）使得， 其中为反对称矩阵，为对角形矩阵。 ， ，以下说明为次反对称矩阵（）,为次对角形矩阵。因为为对角形矩阵，所以由矩阵乘法易知为次对角形矩阵。36 m分解方面的性质性质12：若,且 (jn-i+1),则可唯一地分解为,其中为单位次上三角型m矩

9、阵, 为上三角型m矩阵。 证明：， 除主对角线以外所有元素非正。 从而可唯一地分解为其中为单位下三角型m矩阵,为上三角型m矩阵。 ，其中为单位次上三角型m矩阵,为上三角型m矩阵。37 次线严格对角占优方面的性质性质13：设是次线双严格对角占优阵,即满足:且，.则， (其中表示k个的hadamard积)。 证明：首先我们先证， 根据hadamard积的定义知 令，则从而 令，则从而= 所以。 其次当条件 及，成立时，对于则有和，即是正线双严格对角占优阵,从而，为亚正定矩阵，所以。4 结束语 本文先介绍了次（半）亚正定阵的概念，接着从次（半）亚正定阵和亚正定阵两方面介绍了本文所用到的引理，这些引理

10、主要是引用袁晖坪，马跃超等学者的结果，然后本文在这些基础上推广了一些次（半）亚正定阵的性质，这些性质主要是关于矩阵的次偏序、次迹，次shur补，次和同，次对角占优等方面的，但限于时间和精力，本文的探讨的深度还是不够的。 参考文献1johnson h r. an inquality ormatrices hose symmetric art is positive definitej.lin alg, appl, 1973(6):13-182袁晖坪.次亚正定矩阵,数学杂志,2001,21:29-32.3郭伟.亚次正定矩阵j,重庆师范学院学报(自然科学版),1999,16(2);53-60.4詹仕

11、林.次亚正定矩阵的判定j,纯粹数学与应用数学，2003(2).5黄廷祝等.矩阵理论m,第1版, 北京 ,高等教育出版社,2004：37-47.6屠伯埙. 亚正定阵理论(i)j,数学学报,1991,(4):462 471.7朱金寿.关于亚正定矩阵j ,武汉理工大学学报, 2001（9）：90-92.8王讲书.亚正定阵的一些性质j, 江苏技术师范学院学报 2003（6）：30-32.9黄敬频.一类广义正定阵的若干性质j, 柳州师专学报,1998（6）：74-78.10胡京爽.亚正定矩阵的若干性质j,青岛建筑工程学院学报, 2004（4）：58-60.11吴秀华.亚正定阵的几个充分条件j,吉林化工学

12、院学报,1997（12）：73-75.12马跃超.亚正定阵及华罗庚定理的推广（i）j，辽宁师专学报,2000（12）：8-10.abstract the article is a concerning a study for being partial to preface, time vestige, a shur repairing, time with together, an opposite angles occupying excellent grade primarily, inquirying into a concept for being partial to preface, this text then for the very first time putting forward time being partial to preface, and very much the aspect of a relation for being partial to preface notequation delivering sex, chemical element.keyword: second settle, the time is second settle, the time is partial to the preface