全国中学生数学竞赛模拟训练题

1、加试模拟训练题（42）1、 设 P 是 ABC 内一点， APB ACB APC ABC，又设 D 、 E 分别是 APB 及 APC 的内心证明 AP、 BD、CE 交于一点2、设 N为自然数集合， k N如果有一个函数 f ：N N 是严格递增的，且对每个 n N，都有 f(f(n) kn求证，对每一个 n N都有3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数为奇数？证明你的结论.（莫斯科数学竞赛试题）4、 试确定使 ab2b7 整除 a 2bab 的全部正整数对(a, b).加试模拟训练题（42）、设 P 是 ABC 内一点， APB ACB APC

2、ABC，又设1D、 E 分别是 APB 及 APC 的内心证明 AP、 BD、 CE 交于一点【证】延长 AP 交 BC 边于 K，交 ABC 的外接圆于 F，连结 BF 、CF APC ABC AKC PCK ABC BAK PCK BCF PCK PCF同理 APB ACB PBF所以由已知 PCF PBF有正弦定理PBPFPFsin PFB sin PBF sin PCFPBsin PFBsin ACBAB所以PC sin PFC sin ABC AC即PB PCABAB设 ABP 的角平分线 BD 交 AP 于 M，则 PM PB AM ABPC PFC同样设 CE 与 AP 交于 N

3、，则 PNAN PCAC由此， PM PN，所以 M 与 N 重合，即AP、 BD、 CE 交于一点 .AMAN2、设 N为自然数集合，k N如果有一个函数f ：N N 是严格递增的，且对每个nN，都有 f(f(n) kn求证，对每一个n N都有【题说】第五届 (1990 年 ) 全国冬令营选拔赛题 1【证】由于 f 严格递增且取整数值，所以f(n 1) f(n) 1从而对 mn，有 f(m) f(n m n) f(n) mn取 m f(n) ，得 f(f(n) f(n) f(n) n故 f(n) 2kn/(k 1)3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的

4、节数为奇数？证明你的结论 .（莫斯科数学竞赛试题）【解】令符合题设条件的闭折线为A 1A 2 A nA 1，则所有顶点Ai 的坐标（ xi , yi ）符合 x , yiZ (i1,2, n). 并且X2Y 2C(i1,2,n C 为一固定的正整数） ，其中iii,X i xixi 1 ,Yiyiyi 1 (i1,2, n, xn 1x1 , yn 1y1), 则由已知有nnX i0,Yi0,i1i1X 12Y12X 22Y22X n2Yn2不妨设 X i 和 Y i 中至少有一个为奇数（因为设X i2m ti , m 是指数最小的， ti 为奇数，用 2m 除所有的数后， 其商仍满足、 、式

5、），于是它们的平方和C 只能为 4k+1或 4k+2.当 C=4k+2时，由知，所有数对X i 与 Y i 都必须是奇数，因此，根据、式知，n必为偶数 .当 C=4k+1 时，由知，所有数对X i 与Y i 都必一奇一偶，而由知，X i中为奇数的有偶数个（设为2u），余下的 n 2u 个为偶数（与之对应的Y i 必为奇数），再由知，这种奇数的 Y i 也应有偶数个（设为2n2u ），故 n2(u)=偶数.综上所述，不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线.4、 试确定使 ab2b7 整除 a 2bab 的全部正整数对(a, b).解：(a2bab)(2b7)b27 .ab2b7 (b27a)ba aba（ i ）若 b27a0则有： ab2b7b27a b2. 矛盾；（ ii）若 b27a0 则 ab 2b 7 7a b 27a.b 27 ，b 1或 b2.当 b1时，题设成为a 8 整除 7a1,有 7a17(a8) 57得 a857 329，a21或 a49当 b2时， 4a9 47a由于07a42(4a 9)知： 4a97a4 无整数解；（ iii） 若 b27a0 则 b7k, a7k 2其