高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步

1、第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科我们就从最基本的性质整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧“数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”一、整除的定义能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除如果整数a除以整数b（b0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说

2、b能整除a，记作b|a如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a二、整除的一些基本性质：1尾数判断法（1）能被2，5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除（2）能被4，25整除的数的特征：末两位能被4或25整除（3）能被8，125整除的数的特征：末三位能被8或125整除2数字求和法能被3，9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除3奇偶位求差法我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，统称为偶数位我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”下面我们来看一下如何运用这些性质例题1.

3、判断下面11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下练习1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减

4、，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a整除，那它们的和与差也都能被a整除例题2.173是一个四位数文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析需要分别用到9、11和8的整除特性练习2.在235整除的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题下

5、面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示破了的洞牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除我们没有学过被45整除的数的特征但注意到45=59，于是67先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？8应该能同时被5和9整除，那么练习3.四位数33能被36整除，那么这个四位数可能是多少？在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45=59，能被45整除的数，也能被5和9整除，那

6、么只需考虑5和9的整除特征即可请同学们注意，虽然45=315，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除你能想明白为什么吗？例题4.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位6唯一的吗？8是8的倍数想一下，这样的三位数是练习4.七位数22333能被44整除，那么这个七位数是多少？有时候满足题目条件的答案会非常多如果只要求找出最大的或最小的，我们只需

7、要从极端情况考虑即可例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、8、如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？课堂内外天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出结果他开了两个洞大的给老猫，小的给小猫其实在整除性的问题当

8、中也有类似情况比如要在200的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4，只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了作业1.下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2.有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289其中能被9整除的有哪些？3.有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588其中能被11整除的有哪些？4.125是一个四位数王老师说：“我在其中的方框内先

9、后填入3个数字，得到3个四8位数，依次能被9，11，整除”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5.阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：11.4元（表示不明数字）请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步（例题1.答案：1）能被4整除的有3568、5880、6512、864；能被8整除的有3568、5880、6512、8642）能被25整除的有8875、93625；能被125整除的有8875、936253）能被3整除的有23487、6765、5880、198954、864；能被9整除的有198954、8644）能被11整除的有407、

10、6765、6512例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8要想让四位数能被8整除，需要后三位即73是8的倍数，空格中要填6三个数字之和是21例题3.答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5，对应的百位是6或1例题4.答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、8例题5.答案：10395；98730详解：要被45整除

11、，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数那么五位数的末尾只能是0或5先来看最小的数要让前面数位上的数字尽量小，可以是105要满足它是9的倍数且最小，应该是10395再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是985或980要满足它是9的倍数且最大，应该是98730例题6.答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数这六个数字的和是28，而最大的三个数的和是20，也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20，所以只能把28分成两个14，偶位为8、5、1，奇位为7、4、3练习1.答案：能被4整除的数有3124、312、5588；能被3整除的数有312、5289、7314；能被11整除的数有3124、5588练习2.答案：本题的答案不止一种，要想被3整除，空格中可以填1、4、7要想被4整除，空格中可填2或6要想被5整除，空格中可填0或5练习3.答案：3132或3636简答：要想被36整除，这个四位数要既是4的倍数，也是9的倍数要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6要想满足四位数是9的倍数，百位上的空格对应要填1或6练习4.答案：2213332或2283336简答：这个七位数既是4的倍数，也是11的倍数要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6，剩下的空格中对应可