数列求和7种方法(方法全-例子多)

1、数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和利用

2、下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：S2、3、5、n(ai - an)2na1(q =1)等比数列求和公式：Sn二*1 （1 - q ）1_q旦-anqi -q(q = 1)1 .Sn 八 k n( n 1)4、& 八 k21 2七 n(n 1)21 ，求 x x2 x3 rn= h(n 1)(2 n 1)6例1已知log3x -宀的前n项和.log2 3-1解：由 log3 x =log 2 3log 3 x = Tog 3 2 二由等比数列求和公式得Sn1 丄_ x(1 -xn) _ 2 (12n)1 -x1x 二2（利用常用公式）1-1Sn的最大值.例

3、 2设 Sn= 1+2+3+n , n NK,求 f (n)=(n +32)Sn+11解：由等差数列求和公式得Sn二n（n J）, Sn二丄（n 1）（n 2）（利用常用公式）22nSn.f(n)n =(n +32)&牛164 _n 34( . n -np_82n 34n 641 1502 50当n ，即 n= 8 时，f (n)max815041题1.等比数列耳的前n项和S n = 2 n-l,则+2十;:；勺题 2 .若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，贝U a=,b =（就-1）讯（2一1） 2n -111解：原式=】L答案：一 一 I二、错位相减法求和这种方法是在推导等

4、比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列例 3求和：Sn =1 3x 5x2 7x3 山 宀（2n - 1）xn解：由题可知，（2n- 1）xnJL的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列设 xSn = 1x 3x2 5x3 7x4 亠 亠（2n - 1）xn得（1 -x）Sn =1 2x 2x2 2x3 2x42xnJn -1n 1 x -的通项之积（设制错位）-（2n-1）xn （错位相减）1 x 再利用等比数列的求和公式得：（1 -x）Sn =1 2x -1 -x-(2n - 1)xn. S22 46例4】求数列

5、孑齐-（2 n 1）xn （1 x）（1-x）2，-，前n项的和.Q n解：由题可知，匚的通项是等差数列2n的通项与等比数列2U.2n2 23 2I的通项之积2=22 2旦22 231设Sn一得(-)Sn1 2n =2 -一2- Sn练习题1已知 组2 42门 12 2 22 324少 n 2 n 1（设制错位）（错位相减）n-1 2门 1 / n +2二4 ，求数列 an的前n项和Sn.【MeiWei 81-优质适用文档】答案：= w2 -1-2 - 21 - -24 = *2 - 2n+11 3 52w-l练习题2 1_-的前n项和为答案:-二、反序相加法求和，再把它与原这是推导等差数列的

6、前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）数列相加，就可以得到n个(a, an).例 5求证：C0 3Cn 5C2(2n 1)C：二(n 1)2n证明：设 Sn =C0 3C, 5Cn(2n .1)C：把式右边倒转过来得Sn 二(2n 1)C： (2n - 1)C：亠*C： C0 (反序)又由cm c；可得Sn =(2n 1)C0(2n-1)C 3C：C： + 得 2Sn 二(2n 2)(C C： W) = 2(n 1)公(反序相加)- & =(n 1) 2n例 6求 sin21sin2 2 sin23飞in288 sin2 89 的值解：设 S =sin 1 sin 2 s

7、in 3 亠亠sin 88 sin 89将式右边反序得（反序）2。 2。 2 0 2 0 2。S =sin 89 sin 88 Pn 3 sin 2 sin 1 22又因为 sinx=cos(90 x),sin x cos x=1+得(反序相加)n -On -On On On-On-O2S = (sin21cos21 ) (sin2 2cos2 2 户 -(sin289cos2 89 ) = 89 S= 44.5儿二77题i已知函数- -证明：I求厂（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边 =右边 利用第（1）小题已经证明的结论可知，1(1)（2）解:（2）J 9 I+/ 的值2io；

8、22 8令+ +/ 二+f 二-U0丿贝=+ / 二 +- 4/|二 +/110丿两式相加得：(1 2S = 9x / =9I UOJS = +练习、求值：一匸. -I .-S =-所以 2.22 W10a+T +-+:罗+0102+l四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例7求数列的前n项和：11,4,弋*7, 盯 3n -2 ,a aa1 1 1 解：设 Sn = (11)(4)( 27)圧(1 3n - 2)aaa将其每一项拆开再重新组合得c“111Sn = (1a1 ,三.

9、，j) - (1 4 7 宀 3n _ 2)(分组) a二 n (3n 一1)n = (3n1)n (分组求和)2an +(3n _1)na -a1二L 2= a1a的前n项和.解：设 ak = k(k 1)(2k1) = 2k3 3k2 k当a= 1时,例 8求数列n(n+1)(2n+1)Sn(3n-1)n2nn二 Sn =、k(k 1)(2k 1)(2k3 3k2 k)k=1kA将其每一项拆开再重新组合得nnnSn= 2k3 3、 k2、k (分组)k Ak dk =2(13 23 亠亠 n3) 3(12 22 亠亠 n2) (1 2 n)2 2 n (n 1) n(n 1)(2n 1)

10、n(n 1)=+ +2 2 22 n(n 1) (n 2)(分组求和)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解(裂项)如:(1)an二 f (n 1)-f(n) (2)sinl-=tan(n 1) - tann(3)(5)ann(n 1)1ann n 11-cos n cos(n 1)(4) a(2n)2=1( 1(2n_ 1)(2n+1)2 2n_11一2,十1)n(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n - 1)(n 2)ann 212(n 1) -n 1(7) an（8）

11、an例9求数列n(n 1) 2nn(n 1)2n n -2nJ(n 1)2n11，则 Sn(n 1)2n(An B)(An C) C_B(An B An C12二2 3 I n ，、n / 的前 “ 项和 .解：设an则Sn1 、2=C2 -.1)(.、3.裂项求和).n 、n 1-2)亠 亠(、,n 1 - . n).23例10在数列an中,an-，又 bn1-，求数列b n的前n项的和.an an 1解： t an- bnn 1 n 11 1 8()(裂项)n 1n n 12数列bn的前n项和11111)-( 厂(一2334nSn1）（裂项求和）=8(1 -8n例11求证:+cos0 co

12、s1 cos1 cos 2cos1+QQ2cos88 cos89 sin 1解：设S二十cosO cos1 cos1 cos2 si n1cos88 cos89cos n cos(n 1)-=tan(n 1) -tann (裂项)S -.cosO cos1 cos1 cos2召(裂项求和)cos88 cos891(tan 1 -tanO ) (tan2 - tan1 ) (tan3 - tan2 ) tan 89 - tan88 sin 111(tan89 -tan0 )=-sin 1sin 1原等式成立1 1+ + cot1cos1sin21(划-2)x(引+ 1)答案：-:1答案:在求数列

13、的和时，可将这六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此,些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12求 cos1 +cos2 +cos3 + +cos178 +cos179 的值.解：设 Sn= cosl +cos2 +cos3 + +cos178 +cos179 cos n = -cos(180 - n)(找特殊性质项) Sn=( cosl +cos179 ) + (cos2 +cos178) + (cos3 +cos177) + + (cos89 +cos91) +cos90(合并求和)=0例 13数列an: a =1，a2 =3,a3 =

14、2,an .2 二 an 勺-an，求 S2okk.解：设 s20kk = a1 a2 a3 .a2002由 a1 = 1 a2 = 3, a3 = 2, an .2 二 an 4 - an 可得 a4 = -1,比=-3, % = -2,a7=3,a9=2,a10-1,耳1 = -3, a122,a6k 1 - 1, a6k 2 - 3, a6k 3 - 2,4 _1, a6k 6 - _3,6 2a6k1 a6k2 a6k 3 a6k 4 a6k6 a6k6 = 0(找特殊性质项)-S20KK = a1a2a3爲爲a202 (合并求和)=(a1a2a3a6)(a?a$aj(a6k1 a6k

15、 2a6k6)+ +(a1993 * 1994 +，a1998)+ a1999 + a2000 * a2001 * a2002=a1999 a2000 a2001 a2002=a6k 1a6k 2 a6k 336k 4=5例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 =9,求Iog3a1 log? a? logsdo的值.解：设 Sn =Iog3a1 logsa?亠 亠 logsdo由等比数列的性质 m n =p q= amaapaq (找特殊性质项)和对数的运算性质loga M loga N = log a M N得Sn=(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)气log3a

16、5log3 a6)(合并求和)=(log3 a1 a10) (log3 *2 G9) (log 3a5 a6)=log39 log3 9 鳥 吒 log 3 9=10练习、求和：爲二 1)- 2)+(/ _ 可+ (/ - ”练习题1设则-= 答案：2 一 -；练习题 2 .若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1 n，则 S17+S33 + S 50 等于()A.1B.-1C .OD .2(闯为奇)_兰(卑为偶)解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：Sn= I 2答案：A练习题 31002-99 2+98 2-97 2+ -+22-1 2 的值是A.5000B .5050C .10100D .

17、20200解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050.答案：B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. 例 15求 1 11 111 -1111 之和.n个11 1解：由于11V 19999(10k -1)(找通项及特征)k个 19k 个 19 1 11 111 1 1n个 1-1(101 -1) (102 -1)丄(103 -1)亠 -1(10n -1)(分组求和)9999-1(101 102 10 10n) _2(1 1 1 匕屮 1)9

18、9n个11 10(10n -1) n 910-19-(10n 1 -10 _9n)81例16已知数列an : an解： (n 1)(an8二,求a (n T)(an - an 1)的值.(n 1)(n3) nm1n J 1)kT市R)(找通项及特征)1+(n 2)( n 4) (n 3)( n 4)1 1 1-4 ()8(-(设制分组)11)(裂项)n 2 n 4 n 3 n 41 1 : 1 (n 1)(an - an 1) = 4 ( 一)8、(一n 1n 丘 n 2n 4 nn 3n 4111-4 ()8 丄3441)(分组、裂项求和)_ 133 提高练习：1.已知数列*an冲，Sn是其前n项和，并且Si 1 = 4an 2(n = 1,2j H), a 1,设数列bn =an ! -2an (n =1,2