同济大学高数上册知识点0002

1、高等数学上册复习要点函数与极限函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）反函数、复合函数、函数的运算;初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;函数的连续性与间断点;函数 f (x)在 Xq 连续lim f(x)= f (Xq)XTXor第一类：左右极限均存在.可去间断点、跳跃间断点I第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限1、定义数列极限limXn=au *aQ, 3NN,VnAN,Xn-nT处函数极限X- Xolim + f(X)lim f(X)=

2、A= F A Q, 36 A q, vx,当Q 吒xTXo左极限：f（x（r）= limf（X）xT Xor - t -+lim f(X)= A 存在 u f (xq)= f (xq)极限存在准则夹逼准则:1 ) yn兰 Xn 兰 Zn ( n k n 0)2) lim yn = lim zn = aAlim xn = an-j比单调有界准则：单调有界数列必有极限.无穷小(大)量定义：若lim - 0则称为无穷小量；若lima =沁则称为无穷大量.无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1a Pu P=ot + o(a )-Th2aa ： PP ；lim 存在，则aPli

3、m =lim(无穷小代换)求极限的方法单调有界准则;夹逼准则;极限运算准则及函数连续性;两个重要极限:a) XT0 Xb)1lim(1 + x)X = lim (1 + )x = eXT 0XT 讼Xa)b)无穷小代换：(XT 0)X sin X tan x arcsinx arctanx1-cosx x22d)In(1 中 X)XX(MX)花)c)aX - 1xln a)e) (1 + x)d-1ccx导数与微分(一)导数1、r，- f(X)-f(Xo)定义：fOoximox-x左导数：DXoXlimd xtxcTX - Xo右导数：fjxo lim+Hx)-仁心XTxJX XoXTXoXT

4、Xo函数 f(X)在 X0 点可导 u f；(Xo) = f；(Xo)几何意义：f(Xo)为曲线y= f(X)在点(Xo, f (Xo)处的切线的斜率.可导与连续的关系:求导的方法导数定义;基本公式;四则运算;复合函数求导(链式法则)； 隐函数求导数;参数方程求导;对数求导法.高阶导数d2y _1)疋义：dx2dxldx 丿n八(n) _ - Qk (k)(n_k)2) Leibniz 公式：(UV)-送 Cnu vk(二)微分1)定义：心y= f(X07x)- f(X0)= Ax+ox)，其中 A与也x无关.2)可微与可导的关系：可微u 可导，且 dy= r(X02x= f(X0)dx微分中

5、值定理与导数的应用(一)中值定理1、Rolle罗尔定理：若函数f(X)满足:1)f(x)壬 Ca,b；2)f(x严 D(a,b) ；3)f(a)= f(b)；则旅亡(a,b),使() = 0.Lagrange拉格朗日中值定理卞:若函数f (x)满足:1)f (xp Ca,b ；2)f (xp D(a,b)；则 m-(a,b),使 f(b)- f(a)= f f )(b-a).Cauchy柯西 中值定理：若函数f (x),F(X)满足:1)f(x),F(x严 Ca,b ； 2)f(x),F(x严 D(a,b) ；3) Fx0, (a,b) ,击 f(b)- f(a) f Q)则 3 - (a,b

6、),使 =人F(b)-F(a) FC)(二)洛必达法则(三) Taylor公式(四) 单调性及极值1、单调性判别法：f(x)Ca,b，f(x) D(a,b)，则若(x) 0，则f(X)单调增加；则若fXx0，当xXo时，f(x)0，则Xo为极大值点；若当XXo时，f (X) x。时，f (X)0，则X0为极小值点；若在X0的两侧f (X)不变号，则X0不是极值点.c)第二充分条件：f (X)在x0处二阶可导，且f(Xo)=0 , fXo0，则若f 00)吒0，则X0为极大值点；若 厂(X0) 0，则X0为极小值点.凹凸性及其判断，拐点X + X f(x)+f(x)f(x)在区间I上连续，若P

7、Xi,X2壬I, f(j)，则称f(x)在区间I上的图形是凹的；若Xi,X2-l, f (X1 ；X2) f xj： f区)，则称f (X)在区间I上的图形是凸的.2)判定定理：f(x)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a)若灯(a,b), f xp0,则f(x)在a,b上的图形是凹的;b)若P (a,b),(x),则f (X)在a,b上的图形是凸的.3)拐点：设y=f(x)在区间I上连续，x0是f(x)的内点，如果曲线y=f(x)经过点(X0, f(X0)时，曲线的凹凸性改变了，则称点(X0, f(X0)为曲线的拐点.(五)不等式证明1、利用微分中值定理;利用函数单调性;3、

8、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理;2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线:2、水平渐近线:lim f（X）=处XT alim f（X）= bXT处，则X = a为一条铅直渐近线;则y = b为一条水平渐近线;四、不定积分概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数F（x）可导，且 F（x）二 f（X），则 F（x）称为f（X）的一个原函数.不定积分：在区间I上，函数f（X）的带有任意常数的原函数称为f（X）在区间I上的不定积分.基本积分表（P188 ,13个公式）；性质（线性性）.换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：

9、J f（X） A（x）dx= J f （u）du u 山（X）2、第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）：J f(x)dx= 4fr(t)pxt)dt_1(x)分部积分法：Judv= uv- jvdu （反对幕指三，前U后V(四)有理函数积分1、“拆”变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）五、定积分（一）概念与性质:1、b定义：Jaf（X）dX =nlim肿 f()iAi=i性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数f（x）在区间a,b上连续，则3 - a,b，使f (x)dx = f e)(b- a)(平均值:bf f(x)dx f ab a ) b - a1、微积分基本公式（N L公式）x变上限积分：设（X）二Ja f（t）dt，则（X）= f （x）d P(x)推广：丁 f()f(t)d fP(x)P (x)- f卜(x)W x)dx E(x)bN L 公式：若 F（x）为 f（X）的一个原函数，则 Ja f （x）dx = F （b） - F （a）换元法和分部积分1、b换元法：/apf (x)dx = J fp (t)rxt)dta分部积分法:budvbf vdua(四)反常积分1、无穷积分:Ja f(X)dX = f(x)dxbb(x)dx=timjtf(x)dx+