高考数学《向量》专题复习(专题训练)

1、高考向量专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化：与ab共线的单位向量是ab.向量a(a0)与b共线，则有且仅有唯一一个实数l，使b=la；（1）设a=(x,y)，b=(x,y)，则a+b=(x+x,y+y)；（2）设a=(x,y)，b=(x,y)，则a-b=(x-x,y-y)；ab（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。（5）平行向量又叫共线向量，记作：ab.规定：零向量和任何向量平行；两个向量平行包含两个向量共线

2、，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有0)；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：1122121211221212（3）设a、b两点的坐标分别为(x,y)，(x,y1122)，则ab=(x-x,y-y)；2121（4）设a=(x,y)，b=(x,y)，向量平行a/bxy=xy；（5）设两个非零向量a=(x,y)，b=(x,y)，则ab=xx+yy，所以abab=0xx+yy=0；11221221112212121212（6）若a=(x,y)，则a=x2+y2；的定比分点；当p分

3、有向线段pp所成的比为l，则点p分有向线段pp所成的比为.（7）定比分点：设点p是直线p,p上异于p,p的任意一点，若存在一个实数l，使1212pp=lpp，则l叫做点p分有向线段pp所成的比，p点叫做有向线段pp的以定比为l12121211212l1+l注意：设p(x,y)、p(x,y)，p(x,y)分有向线段pp所成的比为l，则y+lyy=1111222121+lx+lxx=122，在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x,y)、(x,y)的意义，即分别为分点，起1122点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些2点确定对应的定比l.当l=

4、1时，就得到线段pp的中点公式y+y.y=12（1）两个向量的夹角：对于非零向量a、b，作oa=a，ob=b，aob=q(0qp)称为向量a、b的夹角。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a、b，它们的夹角为q，我们把数量abcosq叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab=abcosq.（3）b在a上的投影为bcosq，投影是一个实数，不一定大于0.（4）ab的几何意义：数量积ab等于a与b在a上的投影的乘积。x+xx=12122l的符号与分点p的位置之间的关系：当p点在线段pp上时l0；12当p点在线段pp的延长线上时l-1；12当p点在线段pp的反向延长线上时-1l0时

5、，q为锐角或a,b同向；注意：ab0是q为锐角的_条件；当ab0时，q为钝角或a,b反向；注意：ab0是q为钝角的_条件；（6）向量三角不等式：a-baba+b当a,b同向ab=a+b，a-b=a-b；当a,b反向a-b=a+b，a-b=a+b；当a,b不共线a-bab0，则它们的夹角为锐角；其中正确的命题有_（填序号）例2.已知向量，夹角为，|=2，对任意xr，有|+x|-|，则|t-|+|t-|（tr）的最小值是_例3.如图，在等腰三角形abc中，已知|ab|=|ac|=1，a=120，e、f分别是ab、ac上的点，且，且，（0，1），且+4=1，若线段ef、bc的中点分别为m、n，则的最

6、小值为_例4.已知平面向量，满足|=为_，|=1，=-1，且-与-的夹角为，则|的最大值变式训练：1.已知向量=（-1，-2），=（1，），若，的夹角为钝角，则的取值范围是_2.abc中，|ab|=5，|ac|=6，若b=2c，则向量在上的投影是_|3.如图，在abc中，已知bac=，|=2，|=3，点d为边bc上一点，满足+2=3，点e是ad上一点，满足=2，则|=_4.在平面四边形abcd中，点e，f分别是边ad，bc的中点，且ab=1，cd=若，则的值为_5.向量，的夹角为120，|=|=2，|=4，则|+-|的最大值为_6.已知o是面上一定点，a，b，c是平面上dabc的三个顶点，b、

7、c分别是边ac、ab的对角。以下命题正确的是_（填序号）动点p满足=+，则dabc的外心一定在满足条件的p点集合中；动点p满足=+（+）（0），则dabc的内心一定在满足条件的p点集合中；动点p满足=+（+）（0），则dabc的重心一定在满足条件的p点集合中；动点p满足=+（集合中；+）（0），则dabc的垂心一定在满足条件的p点动点p满足=点集合中；+（+）（0），则dabc的外心一定在满足条件的p7.已知o是锐角三角形abc的外接圆的圆心，且a=p6则m=_，若，p则8.（2017全国）已知abc是边长为2的等边三角形，为平面abc内一点，（+）的最小值是_9.在domn中，点a在om上，

8、点b在on上，且ab/mn，2oa=om，若=x+y终点p落在四边形abnm内（含边界）时，的取值范围为_，则10.如图，在直角坐标系中，abc是以（2，1）为圆心，1为半径的圆的内接正三角形，n、abc可绕圆心旋转，m、分别是边acab的中点，omon的取值范围是_11.如图，已知点p（2，0），且正方形abcd内接于o：x2+y2=1，m、n分别为边ab、bc的中点当正方形abcd绕圆心o旋转时，的取值范围为_12.如图，矩形ortm内放置5个边长均为的小正方形，其中a，b，c，d在矩形的边上，且e为ad的中点，则（-）=_13.（2017浙江）如图，已知平面四边形abcd，abbc，ab

9、=bc=ad=2，cd=3，ac与bd交于点o，记i1=oaob，i2=oboc，i3=ocod，则（）a.i1i2i3b.i1i3i2c.i3i1i2d.i2i1i314.在坐标系xoy中，o点坐标为（0，0），点a（3，4），点b（-4，3），点p在aob的角平分线上，且op长度为52，则点p坐标为_15.（2017浙江）已知向量a，b满足a=1，b=2，则a+b+a-b的最小值是，最大值是16.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边b3c3上有10个不同的点p1，ip2，p10，记mi=ab2ap(i=1,2,3,10)，则m1+m2+m10的值为_17.已知向量、满足|=1，|=2，若对任意单位向量，均有|+|，则当取最小值时，向量与的夹角为_（用反三角表示）18.正十二边形a1a2a12内接于半径为1的圆，从、这12个