知识点057完全平方公式几何背景(选择)[教学备用]

1、1、（2010乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A、2张B、4张C、6张D、8张考点：完全平方公式的几何背景。分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积解答：解：正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，它的边长为a，b，b它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，还需面积为b2的正方形纸片4张故选B点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖2、（2010丹东

2、）图是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（）A、（m+n）2（mn）2=4mnB、（m+n）2（m2+n2）=2mnC、（mn）2+2mn=m2+n2D、（m+n）（mn）=m2n2考点：完全平方公式的几何背景。专题：计算题。分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积据此即可解答解答：解：（m+n）2（m2+n2）=2mn故选B点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式3、利用图形

3、中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2你根据图乙能得到的数学公式是（）A、（a+b）（ab）=a2b2B、（ab）2=a22ab+b2C、a（a+b）=a2+abD、a（ab）=a2ab考点：完全平方公式的几何背景。分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积解答：解：大正方形的面积=（ab）2，还可以表示为a22ab+b2，（ab）2=a22ab+b2故选B点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力4、已知如图

4、，图中最大的正方形的面积是（）A、a2B、a2+b2C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：要求面积就要先求出边长，从图中即可看出边长然后利用完全平方公式计算即可解答：解：图中的正方形的边长为a+b，最大的正方形的面积等于=（a+b）2=a2+2ab+b2故选C点评：本题利用了完全平方公式求解5、如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（）A、（a+b）2=a2+2ab+b2B、（ab）2=a22ab+b2C、a2b2=（a+b）（ab）D、（a+b）2=（ab）2+4ab考点：完全平方公式的几何背景。分析：我们通过观察可看出大正方

5、形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论解答：解：（a+b）2=（ab）2+4ab故选D点评：认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键6、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）A、（a+b）（ab）=a2b2B、（a+b）2=a2+2ab+b2C、（ab）2=a22ab+b2D、（a+b）2=a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：此题观察一个正方形被分为四部分，把这四部分的面积相加就是边长为a+b的正方形的面积，从而得到一个公式解答：解：由图知，大正方形的边长为a+b

6、，大正方形的面积为，（a+b）2，根据图知，大正方形分为：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，两个长为b，宽为a的长方形，大正方形的面积等于这四部分面积的和，（a+b）2=a2+2ab+b2，故选B点评：此题比较新颖，用面积分割法来证明完全平方式，主要考查完全平方式的展开式7、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式例如图（3）可以用来解释（a+b）2（ab）2=4ab那么通过图（4）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）A、a2b2=（a+b）（ab）B、（ab）2=a22ab+b2C、（a+b）2=a2+2ab+b2D、（ab）（

7、a+2b）=a2+abb2考点：完全平方公式的几何背景。分析：图（3）求的是阴影部分的面积，同样，图（4）正方形的面积用代数式表示即可解答：解：图（4）中，S正方形=a22b（ab）b2=a22ab+b2=（ab）2，（ab）2=a22ab+b2故选B点评：关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可8、如果关于x的二次三项式x2mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A、8或8B、8C、8D、无法确定考点：完全平方公式的几何背景。分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可解答：解：x2mx+16是一个完全平方式，mx=24x，解得m=8故选A点评：本题是完全平方公式的

8、考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解9、如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，b2，则原正方形的边长是（）A、a2+b2B、a+bC、abD、a2b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：四部分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式可求得边长解答：解：a2+2ab+b2=（a+b）2，边长为a+b故选B点评：本题考查了完全平方公式的几何意义，通过图形验证了完全平方公式，难易程度适中10、若长方形的周长为6，面积为1，以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形，则此两个正方形的面积之和是（）A、7B、9C、5D、11考点：

9、完全平方公式的几何背景。分析：设长方形的长是a，宽是b，根据题意，得a+b=3，ab=1再进一步运用完全平方公式的变形求得a2+b2的值解答：解：设长方形的长是a，宽是b根据题意，得a+b=3，ab=1a2+b2=（a+b）22ab=92=7故选A点评：此题考查了完全平方公式在几何题目中的运用，渗透数形结合的思想11、某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b在研究的过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形如图所示，由左图至右图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）A、a2+2ab+b2=（a+

10、b）2B、4ab=（a+b）2（ab）2C、a22ab+b2=（ab）2D、（a+b）（ab）=a2b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积小正方形的面积=4个矩形的面积解答：解：大正方形的面积小正方形的面积=4个矩形的面积，（a+b）2（ab）2=4ab，即4ab=（a+b）2（ab）2故选B点评：考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系12、如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a、b（ab），则这两个图形能验证的式子是（）A

11、、（a+b）2（ab）2=4abB、（a2+b2）（ab）2=2abC、（a+b）22ab=a2+b2D、（a+b）（ab）=a2b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：本题从图形的阴影面积着手算起，结果选项B符合解答：解：前一个图阴影部分的面积：（a2+b2）（ab）2=2ab后一个图形面积：=2ab故选B点评：本题考查了完全平方公式，从图形的阴影面积得到很简单13、如右图：由大正方形面积的两种算法，可得下列等式成立的是（）A、a2+ab+b2=（a+b）2B、a2+b2=（a+b）2+2abC、a2+2ab+b2=（a+b）2D、a2+2ab=（a+b）2+b2考点：完全平方公式的几何背景

12、。分析：求出大正方形的边长可得出面积，求出四个分割出来的部分的面积可得出大正方形的面积，从而可得出答案解答：解：由题意得：大正方形的面积=（a+b）2；大正方形的面积=a2+2ab+b2，可得：a2+2ab+b2=（a+b）2故选C点评：本题考查完全平方公式的集合背景，难度不大，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键14、现有纸片：1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张宽为a、长为b的长方形，用这6张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（）A、a+bB、a+2bC、2a+bD、无法确定考点：完全平方公式的几何背景。分析：此题需先根据题意表示出重新拼出的长方形

13、的面积是a2+3ab+2b2，再把a2+3ab+2b2 因式分解，即可求出该长方形的长解答：解：根据题意得：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），所以可以拼成 （a+2b）（a+b）的长方形，该长方形的长为a+2b故选B点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，要与因式分解相结合15、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为a、b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（）A、a+3bB、3a+bC、a+2bD、2a+b考点：完全平方公式的几何背景。专题：计算题。分析：1张边

14、长为a的正方形卡片的面积为a2，6张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为6ab，9张边长为b的正方形卡片面积为9b2，16张卡片拼成一个正方形的总面积=a2+6ab+9b2=（a+3b）2，大正方形的边长为：a+3b解答：解：由题可知，16张卡片总面积为a2+6ab+9b2，a2+6ab+9b2=（a+3b）2，新正方形边长为a+3b故选A点评：本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长16、如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总面积是49，小正方形的面积是4，x，y分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是（）A、x+y=7

15、B、xy=2C、4xy+4=49D、x2+y2=25考点：完全平方公式的几何背景。专题：常规题型。分析：根据大正方形的面积与小正方形的面积的表示，四个矩形的面积的和的两种不同的表示方法列式，然后整理，对各选项分析判断后利用排除法解答：解：A、此图案的总面积是49，（x+y）2=49，x+y=7，故本选项正确，不符合题意；B、小正方形的面积是4，（xy）2=4，xy=2，故本选项正确，不符合题意；C、根据题得，四个矩形的面积=4xy，四个矩形的面积=（x+y）2（xy）2=494，4xy=494，即4xy+4=49，故本选项正确，不符合题意；D、（x+y）2+（xy）2=49+4，2（x2+y2

16、）=53，解得x2+y2=26.5，故本选项错误，符合题意故选D点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示方法列出算式是解题的关键17、（2011玉溪）若x2+6x+k是完全平方式，则k=（）A、9B、9C、9D、3考点：完全平方式。专题：方程思想。分析：若x2+6x+k是完全平方式，则k是一次项系数6的一半的平方解答：解：x2+6x+k是完全平方式，（x+3）2=x2+6x+k，即x2+6x+9=x2+6x+kk=9故选A点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式18、（2011连云港）计算（x+2）2的结果为x

17、2+x+4，则“”中的数为（）A、2B、2C、4D、4考点：完全平方式。分析：由（x+2）2=x2+4x+4与计算（x+2）2的结果为x2+x+4，根据多项式相等的知识，即可求得答案解答：解：（x+2）2=x2+4x+4，“”中的数为4故选D点评：此题考查了完全平方公式的应用解题的关键是熟记公式，注意解题要细心19、（2010南宁）下列二次三项式是完全平方式的是（）A、x28x16B、x2+8x+16C、x24x16D、x2+4x+16考点：完全平方式。分析：根据完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、应为x28x+16，故A错误；B、x2+8

18、x+16，正确；C、应为x24x+4，故C错误；D、应为x2+4x+4，故D错误故选B点评：本题主要考查完全平方公式的结构特点，需要熟练掌握并灵活运用20、（2008广东）下列式子中是完全平方式的是（）A、a2+ab+b2B、a2+2a+2C、a22b+b2D、a2+2a+1考点：完全平方式。分析：完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2看哪个式子整理后符合即可解答：解：符合的只有a2+2a+1故选D点评：本题主要考的是完全平方公式结构特点，有两项是两个数的平方，另一项是加或减去这两个数的积的2倍21、（2007益阳）已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（）A、2B、2C、6D、

19、6考点：完全平方式。专题：计算题。分析：这里首末两项是2x和6这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和6积的2倍解答：解：（2x6）2=4x224x+36，4mx=24x，即4m=24，m=6故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解22、已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（）A、8B、8C、16D、16考点：完全平方式。分析：根据完全平方公式的特点求解解答：解：64y2=（8y）2，kxy=2（8y）=16y，k=16故选D点评：本题利用了完全平方公式求解：（ab）2=a22ab+b2

20、注意k的值有两个，并且互为相反数23、如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m的值为（）A、8B、8C、8D、不能确定考点：完全平方式。分析：完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故m=8解答：解：由于（x4）2=x28x+16=x2+mx+16，m=8故选C点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解24、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（）A、24B、12C、12D、24考点：完全平方式。分析：这里首末两项

21、是3x和4y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y积的2倍，故m=24解答：解：由于（3x4）2=9x224x+16=9x2+mx+16，m=24故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式要求掌握完全平方公式，并熟悉其特点25、若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m=（）A、6B、12C、6D、12考点：完全平方式。分析：这里首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍，故m=12解答：解：加上或减去2x和3y积的2倍，故m=12故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再

22、加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解26、如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（）A、3B、6C、3D、6考点：完全平方式。专题：计算题。分析：这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故m=6解答：解：（x3）2=x26x+9，在x2+mx+9中，m=6故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解27、若x2+2（m3）x+16是完全平方式，则m的值是（）A、1B、7C、7或1D、5或1考点：完全平方式。专题：计算题。分析：完

23、全平方公式：（ab）2=a22ab+b2这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2（m3）=8，m=7或1解答：解：（x4）2=x28x+16，在x2+2（m3）x+16中，2（m3）=8，解得：m=7或1故选C点评：本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解28、下列多项式中是完全平方式的是（）A、2x2+4x4B、16x28y2+1C、9a212a+4D、x2y2+2xy+y2考点：完全平方式。分析：完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，形如a22ab+b2的式子要符合

24、完全平方公式的形式a22ab+b2=（ab）2才成立解答：解：符合完全平方公式的只有9a212a+4故选C点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式要求熟练掌握完全平方公式29、下列各式是完全平方式的是（）A、x2x+B、1+x2C、x+xy+1D、x2+2a1考点：完全平方式。分析：完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方解答：解：A、x2x+是完全平方式；B、缺少中间项2x，不是完全平方式；C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式故选A点评：

25、本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键30、如果x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A、5B、5C、10D、10考点：完全平方式。分析：这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故k=25=10解答：解：由于（x5）2=x210x+25=x2+kx+25，k=10故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解31、小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a210ab+，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（）A、

26、5bB、5b2C、25b2D、100b2考点：完全平方式。分析：根据乘积二倍项找出另一个数，再根据完全平方公式即可确定解答：解：10ab=2（5）b，最后一项为（5b）2=25b2故选C点评：利用了完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，熟记公式结构特点是求解的关键32、小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果4x2+20xy+，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（）A、5y2B、10y2C、25y2D、100y2考点：完全平方式。专题：应用题。分析：根据完全平方式的定义和展开式来求解解答：解：由题意知，4x2+20xy+，为完全平方式，4x2+20xy+=（2x+5y）2，=25

27、y2故选C点评：此题主要考查完全平方式的定义及其应用，比较简单33、若x2mx+9是完全平方式，则m的值是（）A、3B、3C、6D、6考点：完全平方式。分析：这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故m=6，m=6解答：解：根据完全平方公式得：加上或减去x和3的积的2倍，故m=6，m=6故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解34、多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（）A、4xB、4xC、4x4D、4x4考点：完全平方

28、式。分析：完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，此题为开放性题目解答：解：设这个单项式为Q，如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=4；如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=22x2，所以Q=4x4；如果该式只有4x2项，它也是完全平方式，所以Q=1；如果加上单项式4x4，它不是完全平方式故选D点评：此题为开放性题目，只要符合完全平方公式即可，要求非常熟悉公式特点35、如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A、15B、5C、30D、30考点：完全平方式。专题：计算题。分析：本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首

29、尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx=23x5=30x，故k=30解答：解：（3x5）2=9x230x+25，在9x2+kx+25中，k=30故选D点评：对于完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的2倍，因此要注意积的2倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏解情形36、如果4x2ax+9是一个完全平方式，则a的值是（）A、6B、6C、12D、12考点：完全平方式。专题：计算题。分析：这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3的积的2倍，故a=223=12解答：解：（2x3）2

30、=4x212x+9=4x2ax+9，a=223=12故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解37、如果多项式x2+mx+16能分解为一个二项式的平方的形式，那么m的值为（）A、4B、8C、8D、8考点：完全平方式。分析：一个二项式的平方的形式我们就可以想到完全平方公式，16=42，由此来推算一次项的系数解答：解：（x4）2=x28x+16，所以m=24=8故选D点评：这道题考我们的逆向思维，关键是我们能够反过来利用完全平方公式确定未知数38、下列各式中，运算结果为12xy2+x2y4的是（）A、（1+xy2

31、）2B、（1xy2）2C、（1+x2y2）2D、（1x2y2）2考点：完全平方式。分析：根据完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，找出两数写出即可解答：解：12xy2+x2y4=12xy2+（xy2）2=（1xy2）2=（1+xy2）2故选A点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式解此题的关键是把完全平方公式上对应位置的数找出来，对号入座，即可得出正确的式子39、若4x2+kx+25=（2x5）2，那么k的值是（）A、10B、10C、20D、20考点：完全平方式。分析：把等式右边按照完全平方公式展开，利用左右对应项相等，即可求k的值解

32、答：解：4x2+kx+25=（2x5）2=4x220x+25，k=20，故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式40、若4a2+2abk+16b2是完全平方式，那么k的值是（）A、16B、16C、8D、8考点：完全平方式。分析：这里首末两项是2a和4b这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2a和4b的积的2倍，故2abk=22a4b，求解即可解答：解：中间一项为加上或减去2a和4b的积的2倍故2abk=22a4bk=8故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解41、若x2+（m3）x+4是完全平方式，则m的值是（）A、1B、7C、4D、7或1考点：完全平方式。分析：这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2积的2倍解答：解：x2+（m3）x+4是完全平方式，m3=4，m=7或1故选D点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解42、若x22mx