极值点偏移问题专题汇编

1、 2 例1已知函数f x=21 nx xx，若正实数Xi,X2满足fXi+fx?=4 , 求证：x1 x2 _ 2。 证明：注意到 f 1 =2，f xi +f x2 =2f 1 f x1 +f x2 =2f 1 ” 2 f x =+2x10 x 2 C x =22，C 1 =0，则（1,2 ）是f x图像的拐点，若拐点（1,2）也是f x的 x 对称中心，则有x, x2=2，证明为 x2 一2则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了 “对称化构造 ，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏 移”，仍可用“对称化构造”来处理. 不妨设0 ：为乞1乞x2，要证 x-i x2 - 2

2、 二 x2 - 2禺-1 ：=f x2 _ f 2为 =4-f 为-f 2-为 二 4 一 f % f 2 - F x = f x f 2 -x , x 0,1 1,则 F x 二f x -f2-x 2 2 2x 12 2-x 1 x2 - x 冇-1严 得F x在0,11上单增，有Fx乞F1=2，1=4，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（x0 =0） 二次函数 f % A f x2 = x-j x2 -2x0 2、拐点偏移 f xo = 0 f Xr = f X2 = X2 2x0 _ x-1 =x1 x2 2x0 f X1 f X2 =2f xo =咅 X2 =2

3、x f x f X2 =2f xo 二 X2 2xo -X1 =X x? 2x0 极值点偏移问题专题（1）对称化构造（常规套路） 例1 （ 2010天津）已知函数f x = xe. （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g X的图像与f X的图像关于直线X=1对称，证明：当X 1时, f x g x ； (3)如果 Xi = X2，且 f Xi = f X2 ，证明： X x22. 解:(l)/(x)=e_I(l-x) r 得 f (在(yd)上 /，在(L+x) r有极大值 X(l) = - f刼汕值； e (2) g(xj的图像与/(x)的圉像关于直线x二1对称t则gx)的跡

4、式为v = /(2-x) r 构造辅助囲数F&)二丁 (刈-对才(2-工) F(x) = /F(x) + /(2-x) 二严(1-旳+亡n 当时 小1“ r严_宀0 则r(x)o 得玲)在(ls上单増胡 F(x)F(l)=O即/(x)(x). (3) 由才(坷)=才(花)结合于(划的单调性可设Jqulc七将死代入(2 )中不等式得 /()/(2-Xn) T 又f(对=y(花)r 故/(jq)/(2-ii) f 又画 1 , 2-帀 2乞t遍+可2 * 来源:微信公众号中学数学研讨部落 点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法一一 对称化构造的全过程，直观展示如

5、下： 例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数f x二xe，已知f为=f x2 ，为=x2， 证明x x22. 再次审视解题过程，发现以下三个关键点： (1) Xi, X2 的范围 0 ： Xi ： X2 ； (2)不等式 f x f 2 - x x 1 ； （3 ）将X2代入（2 ）中不等式，结合 f x的单调性获证结论. 把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题. x2 例2 （2016新课标I卷）已知函数f X： x-2 e a x -1有两个零点. （1 ）求a的取值范围； （2）设为,x2是f x的两个零点，证明：x1 x2 : 2 . 解：（1），过程略； （2 ）由（1

6、）知f x在：，1上，在1,7上，由f X1二f X2 =0，可设 x 1 ： x2. 构造辅助函数 Fx=fx-f2-x F x =fx!，f2-x =x -1 iex 2a |亠1 -x iie22a 二 x-1 ef 当 x 0时，f x 0 （洛必达法则）； 当X时，f X L : -，于 f X 的图像如下，得 0 :：X!:： 1 ： X2 1 . e （ii）恂造国数片A，则 e x 二 1 十 In 北十 /； 1 + Ln一； e2x Ie2x J =11 + In x)- 当0丈耳2时l + lnx0 r 1 -0得F(xj在；Q F(x)F - 皿即HM oxiy （ill）将西代入（ii）中不等式得丄 上/，故乞 ng 珂花r +来源：微信公众号中学数学研讨部落 e 小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步： stepl :求导，获得f x的单调性，极值情况，作出f X的图像，由f xj=f x2得Xi， X2的取值范围（数形结合）； step2 :构造辅助函数（对结论 x1 x2 2x0，构造Fx=fx-f2x（）-x ；对结 f 2、 论X1X2 M）X2，构造F