浅谈EPR佯谬与Bell定理及验证实验解析

1、浅谈EPR佯谬与Bel I定理及验证实验 赵飞 20114041 (西南交通大学物理科学与技术学院 四川成都611730) 摘 要：本文回顾了 EPR佯谬与定域隐变量理论，对Bell定理及其相关的推广不 等式进行了概述，并介绍了几个不涉及不等式形式的Bel I定理，然后简要介绍Bel I 定理的验证实验。迄今实验的结果大都支持童子力学的相关理论，但是仍未能揭示 出量子力学空间非定域性的本质，也未能完全否定隐变量的存在。 关键词：EPR佯谬，隐变量理论，量子纠缠，Bell定理，非定域性 0.引言 自从20世纪初量子力学理论建立以来，量子力学的科学性一直颇有争议，量子力学的 物理总义具有无法消除的

2、内在随机性。因此对于如何理解它的基本概念和基本规律，以及它 是不是一个完备的理论体系等问题，就一直存在着激烈而深刻的争论。英中Albert Einstein 与Niles Bohr旷F持久的论战尤为著名，Albert Einstein为首的一批科学家始终认为虽:子力学 理论不是完备的理论，但是以Niles Bohr为首的哥本哈根学派则坚持量子理论的正确性。 1935 年 Einstein Podolsky 和 Rosen 合作，三人发表了一篇的论 Can quantum mechanical description of physical reality be considered compl

3、ete ?。在这篇文章中，E P R 三人以假想实验 的形式来论证量子力学的不完备，通常将他们三人的论证称为“EPR佯谬”。 J.Bell认为在EPR佯谬中对相互远离的两个粒子的第一个粒子的某种性质进行测量后， 便能预先决泄对第二个粒子的同一性质的测量结果,这表明双粒子系统中存在一雄的关联性, 并且可能用隐变量来加以说明。1965年，贝尔(J.Bell)在左域隐变量理论的基础上推导出一个 不等式，被称Bell不等式，并证明该式与疑子力学理论的描述是不符合的。 20世纪60年代至今，对于Bell不等式的实验验证有很多，苴中以1982年巴黎大学的 Aspect小组的相关实验尤为著名，其一系列光学实

4、验均同量子力学的预言符合得很好而违 反Bell不等式。但是目前的实验都受到两方而的约朿：左域性与探测效率漏洞，然而尽管如 此，人们还是普遍相信量子力学是正确的而非Bell定理。 本文将较为详细地介绍EPR佯谬、Bell左理与Bell不等式及苴衍生出的几种定理，并简 要介绍Bell定理的相关验证实验。 1. EPR佯谬与隐变量理论 1.1 EPR佯谬 Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete?一文匚P, 爱 因斯坦等人提出了物理理论完备性的条件、物理实在判据以及左域性原则，以此作为思

5、想实 验的三个前提。(1)理论完备的必要条件：当且仅当物理实在的每一个要素都能够在该物理 理论中找到对应的部分：（2）物理实在要素:若是对一个系统没有任何F扰，任何可观测的物 理量都有对应的物理实在要素，这句话可以理解为测量结果只决立与体系本身；（3）定域性 原则（定域因果性）：若两次测量之间的四维时空间隔是类空间隔，这两个事件之间不应当 存在因果性的关联，即不存在超越光速的现象岀现山幻。由这三个观点可以看岀，爱因斯 坦等人所写的这篇文章是从符合因果律的相对论岀发的。 EPR的理想实验简单说来可以由一个一维两粒子系统组成，两个粒子分别为粒子1、粒 子2,假设这一对粒子系统的初态总动量为B=o,

6、两个粒子的出发点为原点，那么在两个 粒子发生相互作用并分开后，相聚足够远，以至于它们之间没有相互作用。按照动量守恒泄 律，必左有说=-陀。当用探测器测量了粒子1,得到结果K=+a-e以后,那么粒子2必 将处在 = -a-e的状态上。当用期一个探测器测量粒子1的位置矢量时，得到57 = x-e, 易知粒子2的位置矢量込=-x乙第一次测量后，石可以对应一个实在性元素，第二种测 量后，黃也对应一个实在性元素，两次测量的实在性元素都存在，不会依赖于测量过程和测 量结果。换句话说，当对用一个纯态描述的两个子系统（如两个粒子组成纠缠的纯态）分别进 行类空分离的左域测量，对英中一个子系统进行左域测虽:，不能

7、对另一个子系统产生直接的 相互作用，但测量结果却包含了另一个子系统的信息，并且瞬时的改变了对另一子系统状态 的描述，典型的情况即泄域的测量使得态函数发生了坍缩。 爱因斯坦等人认为，由于量子力学理论的不确龙关系，对看和貢、逼和耳均不能同时进 行精确的测量，则在测量看的同时，石也不能精确测疑了，而灵和耳不能同时确定，也就不可 能具有和它们相对应的两个独立的实在元素，只能有一个物理实在的元素。 图1 因此，爱因斯坦得出以下二选其一的结论：（1）存在着即时的超光速现象或者说超距作 用，即非左域：（2）轟和罠有精确值，但是量子力学理论不完备。爱因斯坦认为可分离性体 系存在超距关联的佯谬，量子力学必泄也服

8、从宦域性原则，故量子力学理论不是一个完备的 理论。 玻尔对此的解释是粒子1和粒子2之间存在着某种联系（后来泄义为量子纠缠态），无 论它们在空间上距离有多远，对苴中一个粒子进行左域测量，将会使列一个粒子状态的改变, 这就是呈:子力学的非定域性，这明显与爱因斯坦的左域性理论不相符。 1951年，Bohm提出了一个对EPR佯谬的翻版问题，将原先用连续变量描述的EPR 纠缠态改用离散变量描述的纠缠系统，即考虑两个总自旋为零的且处于自旋纠缠态正负电子 对系统。在后文推导贝尔不等式时仍会用到该理论，具体过程在此不再详细介绍，可査看参 考文献6, 7。 1.2隐变量理论 隐变量或隐参数，可以导出各种唯象左律

9、，但无法用现有观测手段测定的疑，实验中观 测量的精确值是由这些未知变量决眾。用隐变量来解释可观察的现象,是一个古老的物理思 想。在经典力学诞生之后，在物理学中才出现用严谨的数学表述的隐变量理论，玻尔兹曼发 展的分子动力学就是一个例子。 隐变量的左义:物理理论T包含了一系列的对于物理系统S的可观测量，如5、b等。 设想存在一些实验上不能探测到的描述系统S的变量，这些变量的集合记作九卄如果每一 个可观测量厶的值决左于隐变動z的某种平均运算，那么Ahv被称为关于理论T的隐变量。 系统中隐变量的统讣系综分布函数为P)，观测戢A的平均值为： A = Jp(A)A(A) dA(1. 1) 量子力学表现出统

10、讣性，将宏观的统讣性的落实到微观个体的确泄性，这是人们用经典 理论来探究自然界时自然的想法。隐变量或许可以将量子力学中的不确左性归结于隐变量的 不确左性，而这种隐变量可以是作为一种比量子力学体系更微观的层次，由此或许可以为 EPR佯谬提供一种解释。 2. Bell定理与Bell不等式 2.1 Bell不等式 1953年玻姆(D-Bohm)从量子力学是不完备的前提出发，进一步借用隐变屋理论想让它 能再现疑子理论的结果。 1965年基于爱因斯坦的过域实在论D-Bohm的左域隐变量模型，提出了著名的 Bell不等式，并得出了如下结论：任何满足立域实在论和隐变量的理论都应该遵循这个 不等式，但是量子理

11、论却不满足，从而证明量子力学是不完备的理论。Bell不等式的另一 个贡献是，爱因斯坦和波尔的关于量子理论和定域实在论的争论可以通过物理实验去检验， 而非单纯的理想实验。 Bell不等式的推导过程： 假设一个由两个自旋为1/2的粒子A和B所组成有两个粒子的体系总自旋为零不变,3,匸 是空间沿任意两个方向的单位矢量，测量粒子A沿3方向的自旋分量Oa 3得到的结果记为 A (a),测量粒子B沿匸方向的自旋分虽：Jb E得到的值为B(b) /义自旋关联函数E(a,b),且 有： E (a, b)= A (a) B(b) = aA a aB b(2. 1) 由于总自旋为零，Qa qB = 1 E(a b

12、) = a b=cosBb 夹角)(2.2) 特别的，当3壬时， E(a, b)=-l(2. 3) 对该体系引入隐变量入，以表示其在更微观层次上的性质。这些隐变量入可以取不同的数 值，令由入所决泄的状态张成空间A,状态的分布函数是p(入)，归一化条件是： JAP(A)d/l= 1(2.4) A (a). B(&)引入隐变量，记为A (a, A), B(b,A),并且有： A(K入)二1, B(L入)二1(2. 5) 自旋关联函数E（ib）改写为: (2. 6) E(a,b) = JAp(A)A(a/A) B(b,入)dA 设W为空间另外一个任意方向的单位矢量，可得: |E(a,b) - E(a

13、,c )| =仏A(云入)B(b,入)-A(a,A) B(c ,A)p(A) dA|(2. 7) 由（25）式可得: =仏A(%入)B(b,A)l 一 B(b,A)B(c,A) p(A)dA| JAl-B(b,A)B(c,A)p(A)dA 由(2. 4)式可得： =l-JAB(b,A)B(c,A)p(A)dA 可以证明B(b, A) = -A(b, A),故有: |E(a,b) E(a,c )| 1 + A(b,A)B(c ,A) p(A)dX(2. 8) 最后由(2.6)式，得到： |E(a,b) E(a,c )| 1 + E(b,c )(2. 9) (2. 9)式就是Bell不等式。 Be

14、ll接着证明当云阮三个单位矢量共面，且从苏臥 応呢分別相差耳比 由（2.2）式, S |cos(a,b) （2.9）式将写为: + cos(a,c )| 1 cos(b,c ) n2叫n cos + cos 1 cos 33 I3 这将会得岀1|的结论，显然是矛盾的，由此证明了爱因斯坦等人的左域性前提同 量子力学结论的矛盾是普遍存在的。在另外一篇文章中，J.Bell提出了 Bell泄理问：立域的 隐变量理论不能重现量子力学的全部预言。 2.2 Bell不等式的推广 （2.9）式是原版的Bell不等式，在提岀该不等式之后一段时间里，物理学家们又发掘 出了更多的式子，其中有不等式的左理也有非不等式

15、的左理。较为岀名的有CHSH不等式 J1（ Clauser-Horne-Shimony-Holt）GHZ 定理以（Greenberge-Horne-Zeilinger）、Hardy 定 理、Cabello定理皿皿等等。 CHSH不等式可以说是Bell不等式最为箸名的推广，其意义是将Bell不等式验证实验中 可能出现的诸如态不存、探测仪辭失效等因素避免。因此，CHSH不等式通常被视为真正可以用于实验验证的Bell不等式，可以证明CHSH不等式与Bell不等式等效，且CHSH不等式 与量子力学结果相违背。 CHSH不等式： |E(a,b) E(a,c )| + |E(d,c) + E(d,b )|

16、 2(2. 10) (S,了和&总分别为A、B两个子系统空间中两个任选的单位矢量) CHSH不等式的推导过程M11: 从(2.7)式出发，将其改写： E(a,b) E(a,c ) = A(a, A) B(b,A) A(a,A) B(c, A)p(A) dA 丿A =(云入)B(l入)1 A(d,A)B(c,A)p(A)dA 一 fA A(a, A) B(b, A) 1 A(d, A)B(b ) p(A)dA 由(2.5)式，RP|A(a,A)|l, |B(b,A)|l,将上式两边取绝对值可得： |E(a,b) 一 E(a,c)| 1 + A(d, A)B(c, A) p(A)dA (2. 11

17、) (2. 12) (2. 13) (2. 14) + |JAlA(d,A)B(b,A)p(A)dA| 再由(2.4)式，得到： |E(a,b) 一 E(a,c)| 2 + |E(d,c) + E(d,b)| 最后由绝对值不等式的关系得： |E(a,b) - E(a,c)| + |E(d,c) + (d,b )| 2 进一步可有: s = E(a,b) E(a,c ) + E(d,c) + (d,b) 2 (2. 13)式、(2.14)式都是CHSH不等式。 和Bell不等式一样，可以证明，CHSH不等式在量子力学中极其容易不成立。当 四个矢量共面，且依次间隔暑时，(2. 13)式左边等于2运

18、，因此(213)式被破坏。 Bell不等式的推广形式还有GHZ定理，GHZ左理是第一个不涉及不等式形式的Bell立 理，在1989年由GreenbergerxHorne和Zeilinger提出，是针对三个观察者的一种呈:子纠缠。 3. Bell定理的实验验证 Bell不等式的违背已在多种物理系统的实验观察到，证据表明，自然是非左域的。然而， 所有的实验都还有各种技术缺陷，主要表现在定域性漏洞与探测效率漏洞。近年来，紧张的 研究工作一直致力于一个无漏洞实验的设计与实现，相信在不久的将来应该能够实现。迄今 为止，验证Bell泄理的实验主要可以分为以下三种类型：1.光子实验方案：2.原子实验方 案：

19、3.光子、原子混合实验。 3.1光子实验方案 20世纪60年代量子光学在实验中的巨大进展为量子非迫域性实验的验证提供了方法,首先，利用原子级联，创造极化纠缠光子对以替代自旋相反的粒子对（实验上不利于操作）： 然后，使用偏振片和光电倍增管测量单个光子的极化。 CHSH不等式提出3年后，Freedman and Clauser呦提出了第一个确凿的量子纠缠试验, 违反了 Bell不等式达6个标准差。 法国巴黎大学的Aspect小组在1982年的实验通常被认为是最有说服力的实验，测量 TCa40原子级联跃迁辐射产生纠缠光子对的线偏振关联，达到从未有过的高精度。 图2 Aspect实验图示 Aspect

20、等人进行的双通道分析器实验，如图2中、V2所示，分析器采用随时间变化的 偏振分析仪和一个随机切换开关，开关使得偏振分析仪的方向在光子离开源（图2中） 之后可以被切换，从而阻止了亚光速或光速信号的通信，从而避免定域性漏洞。使用偏振片 和光电倍增管（图2中P.M-photomultipliers）测量单个光子的极化。平行偏振光子可以直 接通过（图2中光路），而垂直偏振光子则被反射（图2中丄光路），两种偏振的光子都将 被记录。为了方便说明，Aspect等人的文章中将实验过程用图3简化，正如其所言，“In this Letter, we report the results of an experim

21、ent following much more closely the ideal scheme of Fig. rf，其中，Fig.l即为本文中图3,只不过要将图3中+1、-1分别改为不同的偏振方 向O 图3 Aspect实验简化模型 左义符合计数率（coincidence counting rates）: R+（a,b） R（a,b） R+.（a,b） R_ + （a,b）i 其中R_+（a,b）代表一个光子偏振垂直于3 （用“-”表示），且另一个光子偏振平行于E （用 “+”表示）时的符合计数率，其余可类推得知其含义。 可以得知: E(a,b)= R+(a,b) + R_(a,b) 一 R+_(a,b) 一 R_+(a,b) R+E) + R_(a,b) + R+_(a,b) + R.+ (a,b) （3. 1） （3.1）式本质上来自与（2.14）式，分母在实验过程中为所有符合计数率之和，为 一常数，且由光源决定。当（a,b） = （b,d） = （d,5） = 22.5且&0 = 67.5。时，按照量子理 论（214）式中S为： Sexpt = 2.697 + 0.015 而Aspect实