复数的加法和减法

1、3.2.1 3.2.1 复数的加法和减法复数的加法和减法 认识新知 1.复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di (a、b、c、dR) ，规定： z1+z2 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 说明: （1）复数的加法运算法则是一种规定 . （2）两个复数的和仍然是一个 复数,对于复数的 加法可以推广到多个复数相加的情形 . 复数的加法 证：设z1=a 1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i (a1，a2，a3， b1，b2，b 3R) 则z1+z2=（a 1+a2)+(b1+b2)i，z2+z1=（a2+a1)+(b2+b1)i 显然 z1+z2=z2

2、+z1 同理可得 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集 C中 依然成立. 探究一： 复数的加法满足交换律，结合律吗？ z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 复数的加法满足交换律、结合律，即对任 意z1C，z2C，z3C ),( 2 dcZ ),( 1 baZ Z y x O 设 及 分别与复数 及复数 对应，则 , 1 OZ 2 OZabi+ cdi+ 1 ( , )OZa b= 2 ( , )OZc d= 向量 就是与复数 OZ() ()a cb d i+ 对应的向量. 复数与复平面内的向量有一一的对应关系 .

3、我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数 加法的几何意义吗？ 12 ( , )( , ) (,) OZOZOZ a bc d ac bd =+ =+ =+ 探究二： 复数加法符合向量加 法的平行四边形法则. 复数是否有减法？如何理解复数的减法？ 根据加法的定义（ a+bi）+（-a-bi）=0 复数-a-bi 叫做复数a+bi的相反数. 规定两个复数的减法法则如下： (a+bi)- (c+di)= (a+bi)+ (-c-di) = (a - c)+(b - d)i 两个复数的 差也是复数 两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减， 即 ()()()()abicdiacbd

4、i+-+=-+- 思考? 例题例题 例1 计算 (56 )( 2)(34 )iii-+ -+ 解： (56 )( 2)(34 ) (523)( 6 14) 11 iii i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.(5+2i)+(6+i)-3i=_. 解:(5+2i)+(6+i)-3i=(5+6)+(2+1-3)i=11. 答案：11 练习练习： ： 例2 设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,yR), 且z1+z2 = 5 - 6i,求z1-z2 解：z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i (3+x)+(2-y)i=5-6i z1 - z 2 = (2+2i) - (3

5、-8i) = -1+10i 3+x=5, 2-y=-6. x=2 y=8 练习： 3、计算：（1）( 3 4i)+(2+i) (1 5i)=_ （2） ( 3 2i) (2+i) (_)=1+6i 4、已知xR，y为纯虚数，且（2x 1)+i=y (3 y)i 则x=_ y=_ 2+2i 9i 3 2 4i 分析：依题意设y=ai（aR），则原式变为： （2x 1)+i=(a 3)i +ai 2= a+( a 3)i 2 3 由复数相等得 2x 1= a a 3=1 x= y=4i 课堂练习 类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？ y x O 1 Z 2 Z 探究三： 设 及 分别

6、与复数 及复数 对应，则 , 1 OZ 2 OZabi+ cdi+ 1 ( , )OZa b= 2 ( , )OZc d= 2112 (a,b)-(c,d) (a-c,b-d) Z ZOZOZ? ? 向量 就是与复数 对应的向量. 12Z Z idbca)()(? 复数减法 符合向量减法 的三角形法则. 说明： 的几何意义就是复数 对应复平面上两点间的距离 21 zz? 12 ,z z (1)|z(1+2i)| (2)|z+(1+2i)| 想一想：已知复数z对应点A,说明下 列各式所表示的几何意义. 点A到点(1,2)的距离 点A到点(1, 2)的距离 练习 已知复数m=23i,若复数z满足等

7、 式|zm|=1,则z所对应的点的集 合是什么图形? 以点(2, 3)为圆心, 1为半径的圆上 练习：练习：若复数z满足z=2,则则z-3+4i的 最小值是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 图形？对应的点的集合是什么数例：满足下列条件的复z 1|2| ) 1 (?iz 4|1|1| )2(?zz 8|5|5| )3(?zz |2|2| )4(izz? 为半径的圆为圆心，所对应的点表示以1)2,0() 1(z 为长轴的椭圆为焦点，表示以4)0 , 1(),0 , 1 ()2(? 为实轴长的双曲线左支为焦点，表示以8)0 , 5(),0 , 5()3(? 为端点的线段的中垂线表示以)

8、-2,0(),0 ,2()4( (3)AC=OC-OA=（2,1） 向量AC对应的复数是2+i 点C对应的复数是 )3,1()1 ,2()2,3(? ? OC OBOAOC 在平行四边形 AOBC中, 解:(1)复数-3+2i ,2+i,0对应点的坐标 A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如图. -1+3i (2)OC对应复数是-1+3i y x o B A C 例3、已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B对应复数 是 -3+2i, 0, 2+i .求： (1)点C对应的复数；(2)向量OC对应的复数； (3)向量AC对应的复数. 1.已知复平面内的向量 表示的复数分别是 -2

9、+i,3+2i, 则向量 所表示的复数的模为 ( ) (A) (B) (C) (D) OA AB， OB 513 10 26 达标检测达标检测 2.计算：(-1+2i)+(i+i 2)-1+2i=_. 3.在复平面内，A、B、C三点对应的复数分别为 1、2+i、 -1+2i，判断三角形 ABC的形状. 4.若复数z满足z-3+z+3=10，则复数z对应的点的 集合表示的图形是 ( ) (A)直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 1.1.已知复平面内的向量 表示的复数分别是 -2+i,3+2i, 则向量 所表示的复数的模为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选C. =( -2+

10、i)+(3+2i)=1+3i, = ，故选C. OA AB， OB 513 10 26 OBOAAB? OB 22 1310? 达标检测参考答案达标检测参考答案 2.计算：(-1+2i)+(i+i 2)-1+2i=_. 【解析】(-1+2i)+(i+i 2)-1+2i=-1+2i+(i-1)- = (-2- )+3i 答案：(-2- )+3i 5 5 5 3.在复平面内， A、B、C三点对应的复数分别为 1、2+i、 -1+2i，判断三角形 ABC的形状. 【解析】 ,又 A、B对应的复数分别为 1、2+i, =(1,1),同理 =(-2,2), =(-3,1) ， , , 三角形ABC为直角三角形 . ABOBOA? AB ACBC 22 AB1 12, AC( 2)28? 2222 BC( 3)110,ABACBC? 4.若复数z z满足z-3z-3+ +z+3=10，则复数z z对应的点的 集合表示的图形是 ( ) ( ) (A)直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲