湖南省湘潭市届高三第二次(1月)模拟考试(数学理)word版

1、湖南省湘潭市2010届高三第二次模拟考试数学试题(理)本试卷分第I卷(选择题、填空题)和第n卷(解答题)两部分共150分，考试时量120分钟第I卷(选择题40分、填空题35分，共75 分)注意事项：请将选择题、填空题答案填在第n卷解答题前的答题卡内。、选择题(本大题共 8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。将正确答案的代号填入第n卷答题前的答题卡内)1.已知i为虚数单位，集合M=1,2,(m2 2) (m -1)i , N二3,6，且M N =3，则实数m的值为()A._2B._ 1C. 1D. 12 .利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表

2、:x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4c xy = 21.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.5562y =x0.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2x = x2的一个根位于下列区间()A. (0.6,1.0)B.( 1.4,1.8) C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)3. 已知数列an满足 an 1 an j - 2an , n2,又 a? +82009 =1，则 S2010 =()A. 1004B.2010C.2009D.10054. 如右图，矩形长为 6,宽为4，在矩形内随机地撒3

3、00颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此实验数据位依据可以估计出椭圆的面积约为()A. 7.68B. 8.68C. 16.32D. 17.325. 设非零向量 a、b、c满足 | a | = | b | = | c|, a b = c，则:a, b =()A. 150B. 120C. 60D. 306.设函数f (x):x-x -x,其中x为取整记号，女口-1.2 =-2 , 1.21 , 1 =1。又函数 g(x厂3f (x)在区间(0, 2)上零点的个数记为 m , f (x)与g(x)图像焦点的个数记为 nU . mg(x)dx的值是A.B.C.D.7 .实数 x 满足 log3

4、x =1 sin T，则 log2 (| x -1| | x - 9 I)的值为A. 2.2B. 3C. 4D.与二有关2 2&已知椭圆P是椭圆上任意一点，且直务每=1（a . b . 0）, M、N是椭圆上关于原点对称的两点, a b1线pm、PN的斜率分别为k1、k2，若|k1k2 |，则椭圆的离心率为（）4A.BEC.2D.、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。请将答案填入第H卷解答题前的答题卡内）9 在极坐标系中，由围成图形的面积是- 0， 二 ,cos v ?sin v -13、 1 1 110 .如右图所示，这是计算 -246序框图，其中判断框内应填入的条件是1的值的一个

5、程20。11设a 0 , b 0。若 3是ea与3b的等比中项，则1-1的最小值为a b12 一个几何体的三视图如图所示：其中，正视图厶ABC的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 。10正视图俯观图13 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平 面内有两个边长都是 a的正方形，其中一个的某顶点 在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为2，类比到空间，有两个棱长均为a的正方形，其中4f(X)的图象恰好通过一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分 的体积恒为。14 .在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数n(nN*)个整点，

6、则称函数 f (x)为n阶整点函数，有下列函数 f(x) =sin 2x g(x) = x3 h(x)=()x ；(x) = In x ,3其中是一阶整点函数的是 。(写出所有正确结论的序号)sin兀15 .已知函数f (x)2匸(x +1)(x 2x+2)(I)方程f(x)=O在区间-100,100上实数解的个数是 ；(n)对于下列命题：函数f(x)是周期函数； 函数f(x)既有最大值又有最小值； 函数f(x)的定义域是R,且其图象有对称轴； 对于任何(-1,0) , f(x)：0, ( f(x)是函数f (x)的导函数)其中真命题的序号是。(填写处所有真命题的序号)16 .(本题满分12分

7、)在厶ABC中，角A、B、C所对的边分别为ac 3/10cosB(1) 求tanC的值；(2) 若厶ABC最长的边为1,求b。17 .(本题满分12分)有一高二升高三的学生盼望进入某名牌大学学习，假设该名牌大学由以下每种方式都可录取：2010年2月国家数学奥赛集训队考试通过(集训队从2009年10月省数学竞赛一等奖中选拔)：2010年3月自主招生考试通过并且 2010年6月高考分数达重点线； 2010年6月高考达到该校录取分数线(该校录取分数线高于重点线)。该考生具有参加省数学竞赛、自主招生和高考的资料且估计自己通过各种考试的概率如下表：省数学竞赛获一等奖自主招生通过咼考达重点线咼考达该校分数

8、线0.50.70.80.6如果数学竞赛获省一等奖，该学生估计自己进入国际集训队的概率是04若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按，顺序依次录取；前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取。(1) 求该考生参加自主招生考试的概率；(2) 求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望；(3) 求该学生被该校录取的概率。18 .(本题满分12 分)在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC丄 AC，EF/ AC, AB=、.2 , EF=EC=1(1) 求证：EC/平面BFD;(2) 求证：DF丄EF;(3) 求二面角 B EF D的大小。19 .(本题

9、满分13分)已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2, 0),右顶点为(J3 , 0)(1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线I ： y = kx 2与双曲线C恒有两个不同的交点 A和B,且OA OB 2 (其中0为原点)，求k的取值范围。21.(本题满分13分)设函数 f (x) = In x - px 1.(1) 求函数f (x)的极值点；(2) 当p 0 ,若对任意的x 0，恒有f (x) w 0，求p的取值范围;(3)证明：2 2 2 2In 2 In 3Inn 2n -n-1.222：(n N, n _ 2).2232n22(n 1)参考答案17.选择题:1 4 DCDC填空题：5

10、8 BABC13.a310. n 0.且k2工1且k2 ：13则 Xa Xb6 . 2k1 -3k2，XaXb-91 -3k2由 OA OB 2得 XaXb 目 Jb 2 ,而 XaXb yA y XaXb (kXA2)(kXB 2) = (k? 1)XaXb2k(XA2=(k 1)-91 -3k26 . 2k1 -3k23k2 +7Xb )211分于是2j 2,即3k2 -1-3k293k2 -112解此不等式得 k : 33由得-:k21,3故k的取值范围为（-1,-山）（上？ ,1）3313分20 .(本小题满分13分)解(1 ) a1 2a2 3a3 . nan = (n - 1)Sn

11、 2n(n N*) a1 =2, a1 2a2 ya2 2 2(2)t a2a2 3as . na. =(n - 1)Sn 2n(n N )当 n 2 时，ai 2a2 3as . (n - 1)a (n -2)Sn2(n -1)由一，得 nan =(n - 1)Sn 2n -(n - 2)SnJ 2(n-1)-n(Sn - Sn)- Sn 2S“2 = nan - Sn 2Sn j 2 .- -Sn - 2Sn ! 2=0，即 Sn =2Sn2 Sn2=22)/ S亠2 =4丰0,. Sn亠2丰0.Sn2Sn 1 2 Sn 2是以4为首项，2为公比的等比数列(3)由(2)，得 Sn +2=4

12、 2n=2n* Sn =2n 1 -2.当 n 2 时，an =Sn -Sn= 1 - 2) - - 2) = 2“当n=1时，a1=S1=2，满足上式， an = 2n6 分抽去数列an中的第1项、第4项、第7项，第3n - 2项，得到的数列为6为22 , 23, 25, 26 , 28, 29，它的奇数项组成一个以 4为首项、8为公比的等比数列，偶数项组成一个以 8为首项、8缺第四页当 p 0时，令 f(x) =0,1(0/-),f(x)、f(x)随x的变化情况如下表:P/c1、11 、x(0,)(,+7PPPf(x)+0-f(x)递增极大值递减从上表可以看出，当 p 0 , f(X)有唯一的极大值点 X二丄4分P(2)当p 0 , f (x)在x = 1处，取得极大值f (丄)=1 n 1，此极大值也是最大值。ppp要使f (x) w 0恒成立，只需11f ()二