《线性代数》教学教案—01行列式

1、第1章行列式教学基本指标教学课题第1章第1节行列式的基本概念课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点逆序数、行列式的概念教学难点逆序数、行列式的概念餐考教材同济版线性代数作业布置课后习题大纲要求了解行列式的概念教 学 基 本 内 容一.排列及其逆序数1. 定义：将1，2,，这个不同的数排成一列，称为“阶全排列，也简称为全排列.注：(1)料阶全排列的总数为! = “ 1)(一2)21(2)标准排列.2沱义：在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大, 那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的

2、逆序数，排列山的逆序数记为呗7)3沱义：逆序数为偶数的排列称为偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列. 二二阶.三阶行列式1引例:解方程组5+如花=勺ay.x. +axy =by b I *2二阶行列式立义：11Nh知一如a”21 a21若记D=如2l12如bb、b、b广叭-仙这样上述方程组的解可表示为命Ta3.二阶行列式左义：Cl2 a3a22a23 =皿2233 +522331 + 如勺皿32 一 如如如一如“2皿33 一你勺332幻2皎4平面上三点共线的条件：已知平而上的互异三点AUpj,), B(x2,y2), C(x3,y3)共线.推导其应满足 的条件.三阶行列式1定义：由IV个元素5

3、仃J = 1,2,3,F )排成/7行H列的式子称之为阶行列式(递归泄义).2. 余子式与代数余子式：由行列式D中划去呦所在的第j行和第j列后，余下的元素按照原来的顺序构成的”-1阶行列式，记为M厂 称为元素的余子式，州=(1严称为元素的代数余子式.3. 阶行列式的左义可以简记为Q =勺/11 +ai2A2+ai3Al3+9a,An二工勺列 14泄义：由於个元素呦(ij = l,2,3,)组成的川阶行列式定义为n21知 5323an。2”D =。32“33他” 盏严“沁.5勺2% ann其中 X 表示对所有的列标排列jjj”求和 川2人四. 例题讲解3x 一 2 无=12 例1求解二元线性方程

4、组彳.2x +x2=i例2计算三阶行列式D =例3.计算行列式例4计算上三角行列式例5.计算行列式-11020101200 - ann112 仏-15a 22 a2.n-an-.2050 0all00 a21如0 =31a32。33 %3 000000%000掇礫吝号02教学基 本指标教学课题第1章第2节行列式的性质及其应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点行列式的性质、行列式按行（列）展开定理教学难点行列式按行（列）展开泄理参考教材同济版线性代数作业布置课后习题大纲要求掌握行列式的性质，会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式

5、。教学基本内容一. 行列式的性质1. 转宜行列式：将行列式。的行与列互换得到的行列式称为行列式D的转宜行列式，记为Z/或D.2. 行列式的性质性质1.行列式与其转置行列式的值相等.性质2.互换行列式的两行（列），行列式的值仅改变符号.推论1若行列式中有两行（或两列）对应元素相等，则行列式等于零.性质3.若行列式的某一行（或列）有公因子R ,则公因子k可以提到行列式记号外而：或者说，用乘行列 式的某一行（或列），等于用乘以该行列式.推论1.行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的前面.推论2.如果行列式有两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为零.推论3.若行列式中某一行（列）对应元

6、素全为零，则行列式的值为零.性质4.若行列式的某一行（列）元素都是两数之和，则可按此行（列）将行列式拆为两个行列式的和.性质5把行列式的某一行（列）中每个元素都乘以数R ,加到另一行（列）中对应元素上，行列式的值不变.性质6.行列式可以按任意行（列）展开，值不变.推论：行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素对应的代数余子式的乘积之和等于零，即a,Aj +ailAjl +ai3Aj3+-amAjn = 0（，,戶 1,2, , / J）或aAj + 2/A; + A; + - a.uAnj = 0 仃,戶 1,2,综合上一节和该推论，对于行列式和代数余子式的关系有如下重要结论：A . i

7、 = j,A a （D, i = j、SM#=lo, z丹, i*二. 行列式性质的简单应用1 02 22 10 0314100例1计算D= 30abacaebdcddebfcfef21 1112 1111 21例2计算D =例3.计算D =121a + bb + cc + aahc例4.证明勺+q=2gcl6 +偽0h.Co例5将F + 6x + x2 一 24x 一 20分解因式.掇锦為号03教学基本指标教学课题第1章第3节行列式的典型计算方法课的类型复习.新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点行列式的计算方法：上（下）三角法、拆分法、 降阶法、升阶

8、法、递推法教学难点降阶法、升阶法、递推法参考教材同济版线性代数作业布置课后习题大纲要求会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开泄理计算行列式。教 学 基 本 内 容一. 上（下）三角法根据行列式的运算性质，可以把一个行列式化为上（下）三角行列式，从而求得行列式的值，英值即为主 对角线元素之积.二. 降阶法使用“阶行列式的泄义计算行列式时，一般可利用性质将行列式化为某一行（或列）仅剩一个非零元素， 然后按此行（或列）展开，从而达到降阶的目的.三. 升阶法除了常用的上三角法和降阶法，对于一些具有特殊特征的行列式，我们还可以采取一些较为有效的方法当 行列式的元素较为规范，除了对角线上的元素外其他同列

9、的元素都相等时，可以在行列式的左上角增加一行和 一列，使英达到升阶的目的，进而再利用行列式的性质进行计算为了让行列式的值不变,我们增加的一列除了 第一个元素为1夕卜,其它的元素均为零，这种方法称之为升阶法.四. 拆分法当行列式中存在非常明显的和运算，同时行列式的各行（列）的元素除一两个外都相同,或结构相似时，可 先利用性质逐步拆分行列式，然后再进行化简计算.五. 递推法当行列式除个别的行（列）夕卜，各行（列）所含元素基本相同，且相同的元素呈阶梯状分布时，可以采取 递推法求解行列式，即找到相邻阶行列式的递推关系，进而归纳求解.六. 例题讲解1-22-13-54-2例1.计算行列式3-563-4-

10、2一3-4例2.计算行列式1-20-11-7-20334-16例3.计算行列式a2Cl3例4.计算行列式3-5210-5-13-4例5计算畀阶行列式:0 x00例6.证明：川阶范徳蒙徳（Vandermonde）行列式=%；=n（-）i+e11 111 + d?1. 1例7.计算“阶行列式：Dn =111+兔. 1111 1 + q523+ x例8.求方程a3+xa4=0的根.q a2 + x3心q +x a25ax + by ay + 加 az + bxv y z例9.证明：ay + hz az + bx ax + by=3+戾）y z xaz + bx ax + by ay + bzz x

11、y例10.设abed = 1,计算行列式D =例11计算舁阶行列式9 =例12 计算行列式02 3X-I0 000X-1 0000X.00 0 0 0 X -15%仏2 a2x + a例13.计算2”阶行列式：D,= *0 0.0000ab0bh00000d00d例14已知多项式/(x)=1x7X323422 32 4223 343证明：fx) = 0有且仅有两个实根.教学基本指标教学课题第1章第4节克莱姆法则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点克莱姆法则教学难点克莱姆法则参考教材同济版线性代数作业布置课后习题大纲要求会用克莱姆法则教学基本内容一

12、克莱姆（Cramer）法则九召+纠2勺+ + %1.克莱姆法则：若方程组2曲+勺2七+ 2必=b2的系数行列式+勺2E+%=bn11 12 %D =2122 仏 工0,5 a,.24m则方程组有唯一解xt =D9八,XD DHD英中D,是将系数行列式D的第j列换成常数项所得的阶行列式1|Sl a1J+1anD严21a2，Hb2 a2J+1Cllns叽an.y+i +%=/?1&內+作花+气兀=02.线性方程组+ a22X2 +知心一 2当$，全为0时，得到勺內+勺2勺+如忑=04內+42七+（仏兀=bn呂”內+。”2兀2 + 4耳=称为齐次线性方程组內+如七+仏耳=0a.x. + + a.xt

13、l = 03 定理:若齐次线性方程组|I 22 -2“ “ 的系数行列式QhO,则齐次线性方程组有唯一.讣+务2兀2 + + % =0零解.4曲+如可+ + % =CK.X. + a.yX. + + a.xtt = 0推论:若齐次线性方程组| -* 耳-2 “ 有非零解，则它的的系数行列式) = 0厲內 +S2 + + “” =0x2 + 2x3 = -5例1.求解线性方程组8 +勺+ 4巧=一 1 12x -x2= 1A + ax2 +=1x + a2x2 + a；x3 + = 1例2.求解线性方程组 jq+“3吃+。菽3 +瞪比=1 ,其中Q严Qj (i工j , i, J = l, 2, , n ). /i + ag + a；x3 + 妒心=1例3.