注册岩土工程师基础考试基本公式汇总

1、高等数学公式导数公式:(tgx) sec x(ctgx)csc x(secx)secx tgx(cscx) cscx ctgx (ax)axl na1(log ax)xln a(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)1:厂x211x211x2dx2 sec xdx tgx C cos xcsc2 xdxctgx Csin xsecx tgxdx secx C基本积分表：tgxdxIn cosxCctgxdxIn sin xCsecxdxIn secxtgxCcscxdxIn cscxctgxCaxdxdx1+xarctg Ca xaaj|x9| Cx a2a|

2、xa|cscx ctgxdx cscx Cx aIn ashxdx chx Cdx22a x丄ln c2a a xchxdx shx Carcs in Cdxx2 a2In( x . x2 a2) CIn2sinn xdxcos0xdx22xa 22xa 22axdxdxdx02 2 x aa22ln( x v x22 a)C2 2a 22x aIn x vxaC22n2n2x2a2 xarcs inCIn2三角函数的有理式积分:2usin x 2, cosx1 u2u彳 2，1 utgi，dx2du1 u2双曲正弦：shx 双曲余弦:chx 双曲正切:thx arshx In (xarchx

3、In (xxe ex2shxx ex echxx ex ex2 1).x2 1)arthxllnl x2 1sin x lim1x 0 xlim(1 -)xx xe 2.718281828459045三角函数公式:诱导公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintg()汽tg1 tgtgctg()ctgctg1ctgctg-和差角公式:、函数 角A 、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-t

4、g a-ctg a180 +a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 +a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 +asin acos atg actg a-和差化积公式:sinsin2 si ncos22sinsin2 cossin22coscos2 coscos-22coscos2 si nsin22倍角公式:反三角函数性质：arcsin xarccosx2arctgxarcctgx2高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz )公式：n(n)k (n k)

5、(k)(uv)Cn uvk 0(n)(n 1)n(n 1)u v nuvu(n 2)n(nv1) (n k1 ) (n k) (k) uvuv(n)sin 22 si ncos22 cos2ctg 2ctg22ctgtg22tg2cos1 1 2si n22cos2sinsin33si ncos34 cos3tg33tg3 tg24si n33cos半角公式：.1 cossin2 21 cos tg 2： 1 cos正弦定理：一Jsin A1 cos sinsin 1 cosctg2cos 21coscosbsin Bcsi nC2R-余弦定理：c2 a21 cos sin sin 1 cos

6、b2 2ab cosC2!k!中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理：f (b)f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：f(b)f (a)f ()F(b)F(a)F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率:平均曲率：Ks:从M点到M点，切线斜率的倾角变M点的曲率：Klims 0dsds卫1 y 2)3直线：K 0;半径为a的圆：K1弧微分公式:ds , 1 y 2 dx ,其中 y tg定积分的近似计算:a化量； s： MM弧长。b矩形法：f(x)ab a / (yo nyib梯形法：f (x)aG(yn 2b抛物线法：f (x)ab a3n(yoyn)yn)yn 1)y

7、i2( y2yn iy4yn 2)4(yi y3yn 1)定积分应用相关公式:功：W F s 水压力：F p A引力：F呼 r函数的平均值：y,k为引力系数f(x)dx均方根：1 f(t)dt b a全微分：dz dxzdyduu .u .dxdyxyxy全微分的近似计算：zdzfx(x,y)x fy (x, y) y多元复合函数的求导法:dzzuzvz fu(t),v(t)一dtutvtzz uz vz fu(x, y), v(x, y)xu xv x当 u u(x,y), v v(x,y)时，多元函数微分法及应用zdzdu dx dydv vdxxyx隐函数的求导公式：dyy隐函数F(x,

8、 y) 0, 史 dx隐函数 F(x, y,z) 0,-Z xFxFyFxFzF (x, y,u,v) 0G(x,y,u,v) 0噢-(“)+(立)业dx xFyy Fy dxzyFyFuGuFvGvu1(F,G)v1(F,G)xj(x,v)xj(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)隐函数方程组:多元函数的极值及其求法:设fx(Xo, yo)fy(x,y)0，令：fxx(X0,y) A,fxy(x,y。)B, fyy(X0,y) CACB20寸,贝y： acACB2B20时,0时,0,（x。，y。）为极大值0,（x,y。）为极小值 无极值不确定重积分及其应用:f (

9、x,y)dxdyDf (r cosD,r sin )rdrd曲面zf （x,y）的面积2dxdy平面薄片的重心:x (x, y)dD平面薄片的转动惯量:平面薄片（位于xoy平面）（x,y）xd（x,y）dD对于x轴I xDz轴上质点FxD 2(x3 ?2)2Fy常数项级数:等比数列:等差数列:11 q1)n2调和级数:丄是发散的n级数审敛法:1、正项级数的审敛法设:lim n Un，则n2、比值审敛法:设:limnUn 1Un，则3、定义法:Sn U1 U2交错级数U1U2(x2(x,y)d(0,0,a), (a(x, y)ydy (x, y)dD(x,y)dD对于y轴I y0）的引力:x2

10、(x,y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x,y)xd322 2y a )2fa D2(x根植审敛法（柯西判1时，级数收敛1时，级数发散1时，不确定1时，级数收敛1时，级数发散1时，不确定别法）：un; limnsn存在，则收敛；否则发U3 U4U1U2 U3散。,Un0）的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足Un Un 1limU 0,那么级数收敛且其和S U1,其余项rn的绝对值rj Un 10 n n绝对收敛与条件收敛:(1) U1 U2(2) uJ |U2如果(2)收敛，如果(2)发散，Un，其中Un为任意实数;调和级数:级数:P级数:幕级数:1 x x2对于级数U3Un则(1)肯定收敛

11、，且称为绝对收敛级数;而 收敛，则称(1)为条件收敛级数。1发散，而nA收敛；n1np(3)a。1时发散1时收敛1时,a1x2a2X1时,nanX收敛于 1 x发散，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使 x R时发散，其中R称为收敛半径。x R时不定0时，R -求收敛半径的方法：设limnan 1an，其中an, an 1是 (3)的系数，则0时，R时，R 0函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:f (x)f(X)(X X。)f4x(x X0)22!宀x0)nn!(n 1)余项：Rn(n 1)!()(x x0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：li

12、m Rn 0nXo0时即为麦克劳林公式:f(x) f(0) f (0)x2!f (0) nXn!些函数展开成幕级数:(1 x)m2!m(m 1) (m n 1) nXn!1 x 1)sinx x3X3!5X5!2n 1欧拉公式:ixe cosxi sinx1)n1x(2n 1)!COSX或si nxixe2ixixe eixe三角级数:f(t)Aoa。AnSin(n t n)(an cosnxn 12 n 1bn sin nx)其中，a0正交性：1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x sin nx, cosnx 上的积分= 傅立叶级数：aA0， an0。f(x)a。2其中anbn

13、An Sin n， bnAn COS n，(an cos nx bn s inn x)，周期1f (x) cos nxdxf (x)sin nxdx(n 0,1,2(n 1,2,3t X。任意两个不同项的乘积 在1 A321 1尹T224121尹1311y22-(相加)62一(相减)12正弦级数:an0，bnf (x)sin nxdx1,2,3f (x)bn sin nx是奇函数余弦级数:a020，anf (x)cos nxdx0周期为2l的周期函数的傅立叶级数：bn0,1,2f (x)an cos nx是偶函数一、向量代数1、向量的有关概念：向量间的夹角、向量的方向角、方向余弦、向量在数轴上

14、的投影模长:向量的坐标 aax, ay,azaxiay jazk在相应坐标轴上的投影2ay2 az方向余弦:cosax|a|ax2ay2azcosay|a|ay2 2 2 xayazcosaz|a|az2 2ayazr0单位向量 acos ,cos ,cos2、向量的运算：线性运算：加法a b、减法a b、数乘 a乘积运算：数量积、向量积 向量的数量积 a b几何意义;b0性质：(1)(2)a b cosaxbxaybyazbz2:222aavaxayaza在b上的投影ba0abaxbxaybyazbz0微分方程的相关概念：一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y

15、)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f (x)dx的形式，解法：g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成 史 f (x, y)(x, y)，即写成的函数，解法：dxx设u V，则3 u X臾,u史(u),分离变量，积分后将丿代替u,x dxdx dxX (u) ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:1、一阶线性微分方程：业 P(x)y Q(x)dx当Q(x) 0时,为齐次方程，y当Q(x) 0时，为非齐次方程，P(x)dxCeP (x)dxC)eP(x)dxy ( Q(x)e dx2、贝努力方程：dy

16、 P(x)y Q(x)yn，(n 0,1) dx全微分方程:如果P(x,y)dx Q(x,y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即：uudu(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy 0,其中：一 P(x, y), Q(x, y) xyu(x, y) C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：d2y dx2P(唸 Q(x)yf (x)，f(x)f(x)0时为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*) y py qy 0，其中p,q为常数；求解步骤：1写出特征方程:()r2 pr q 0,其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;2、求出()式的两

17、个根r1,r23、根据r,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解:r，r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q 0)rixexyCiec?e两个相等实根(p2 4q 0)y (c1 c2x)erix一对共轭复根(p2 4q 0)y ex(dcos x c2 sin x)rii，DipJ4q p22， 2二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f (x)，p,q为常数f(x) e xPm(x)型，为常数；f(x) exR(x)cos x Fn(x)sin x型:、空间解析几何(一) 空间直角坐标系(三个坐标轴的选取符合右手系)空间两点距离公式 PQ(x2 x1)2 (y2 y1

18、)2 (z2乙)2(二) 空间平面、直线方程1、空间平面方程a、点法式 A(x X。) B(y y) C(z z)0b、一般式 Ax By Cz D 0c、截距式 -1a b c|Axg Byo Czo Dd、 点到平面的距离 d ,FT2 Z2、A B C2、空间直线方程Qx BGz U 0a、一般式1 行11A2x B2y C2z D2 0b、点向式（对称式）XX。 y yo z zo （分母为o，相应的分子也理解为O）lmnxXoItc、参数式 yyomtzZokt3、空间线、面间的关系a、两平面间的夹角：两平面的法向量n1，匕的夹角（通常取锐角）B1C1两平面位置关系：1/2n1 /n

19、2A2B2C212n1 n2A1A2B1B2 C1C2 O平面1与2斜交，b、两直线间的夹角：两直线的方向向量的夹角（取锐角）两直线位置关系：L1/L2a1 / a211m1n112m2n2L1L2a a?l1l2m1m2mn2 Ob、平面与直线间的夹角（取锐线面夹角：当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线之间的夹角角）称为直线与平面的夹角。当直线与平面垂直时，一（ 一 ）2 2线面位置关系：L/a nlAmBnC 0La / nlmnABCa0n xf(x)(an cosbn sin2 n 1lan 1 f (x) cos dxl ll苴中l八1 lbn - f (x)sinl ln x , dx l1、2、3、4、执学PV mrt麦氏分布:最概然速率VP平均碰撞次数ZP nkT ；n xT(n(n），周期 2l01,2 )1,2,3)物理学2 -3n ；3ikT ；kT : E22Ndv，表示单位速度间隔的分子数占总分子数的百分比。1.4 RT ;平均速率V 1.6.RT ；方均根速率7 v21.7 RT2 d