无穷小及其应用

1、无穷小及其应用杜雪梅（西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充） 【摘要】无穷小量在分析学的早期发展中起着不可或缺的作用,它是大学数学中最重要的概念之一。无穷小量在很多方面都有着广泛的应用，譬如判断级数的敛散性、广义积分、求函数的极限运算等，它的存在推动了数学科学的发展。本文提出无穷小量的重要性，并从其定义出发，阐述无穷小量的相关概念，归纳总结了它的基本性质并加以说明，同时通过理论讲述和具体实例相结合的方式展示了无穷小量在各个方面的运用，从而帮助读者更好的理解无穷小并掌握其应用。【关键词】无穷小量；极限；正项级数；广义积分；小量分析Abstract: Infinitesimal plays a

2、n integral role in the early development of analytics, it is the university one of the most important mathematical concepts. Infinitesimal in many ways have a wide range of applications, such as judgment of convergence and divergence of series、 generalized integrals、 limits of operation and other fu

3、nctions, its existence promoted the development of mathematical sciences. In this paper the importance of infinitesimal, and from its definition, describes related concepts of infinitesimal, summarizes its basic properties and explained, combined with about the theory and examples show application o

4、f Infinitesimal in all aspects, so as to help the readers better understand infinitesimal and master the application.Keywords: Infinitesimal; limit; Positive Series; generalized integral; a small amount of analysis一、概述17世纪，无穷小量随着近代力学的需要登上了历史的舞台。然而，作为分析学的基础，无穷小以其无限的神秘带给了数学界几百年来激烈的争论，终于在19世纪，柯西最伟大的数学家

5、之一，把微积分建立在极限的基础上，使微积分体系“严密”化，从而揭开了数学严格化运动的序幕。于是，极限概念成为微积分的理论基础，其中几个重要概念如导数、积分、级数都是用极限来定义的，因此极限概念对于微积分的重要性怎么强调都不为过。正如极限对于微积分，无穷小在极限中扮演者同等重要的角色，这是因为所有极限的讨论都可以归结到无穷小，所以充分而全面的理解无穷小且良好掌握其应用，对于学好极限以至微积分都有着至关重要的作用。二、无穷小量的相关内容1 无穷小量的概念1. 设an为数列，如果对于任意给定的正数,都存在正整数N，使得当nN时，不等式|an|N时，恒有，性质2 无穷小量乘以有界变量为无穷小量。证明：

6、又设是当xx0时的无穷小，性质3 当x时（此处代表点x0或，下文同），函数f(x)A等价于f(x)-A是当x时的无穷小量，或等价于f(x)=A+,其中是x时的无穷小量。性质4 如果f是x时的无穷小量，那么|f|也是x时的无穷小量，反之亦然。性质5 若f是x时的无穷小量，且f0,则1/f是x时的无穷大量。性质6 当x时，若f/ga存在，且g是无穷小量，则f也是无穷小量。性质7 设f，g均是x时的无穷小量，则。性质8 若f(x)g(x)(xx0),则存在去心领域U0(x0),使得当xU0(x0)时f(x)与g(x)同号，即go(g)与g(x)同号。（结论易由极限的保号性得知）性质9 【4】设函数f

7、，g，h在U0(x0)上有定义，且f(x)g(x)(x).()当x时，若f(x)h(x)A,则g(x)h(x)A;()当x时，若h(x)/f(x)B,则h(x)/g(x)B.性质10 4设x时，ff1,gg1,则（）当f/g-1时，有fgf1g1;（）当f/g1时，有f-gf1g1.性质的几点注意事项：（1）性质1可以推广到有限个无穷小量之和、差、乘积，结论依然成立，但换成无限个则不一定成立；（2）由性质5可以看出，极限与无穷小之间存在着密切的关系，利用该性质可求出函数的表达式；（3）运用f=g极限的乘积运算法则易证性质6；（4）由性质9可得到一种求极限的重要方法等价无穷小量代换求极限，该方法

8、使得求极限更加简单容易.但要注意利用此方法求极限时，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对相加或相减部分则不能随意代换，比如其正确值为，而不能由x(x0), x(x0)得值为0，；（5）性质10是等价无穷小代换法的推广，利用性质9可证得结论。（五） 洛毕达法则 若函数f和g满足： 1.； 2. 在点的某空心邻域内两者都可导，且的导数不为0； 3. （可为实数，也可为或）则 .三、无穷小量在多个方面的应用（一）在极限求解相关方面中的应用无穷小量在极限求解的过程中有着非常广泛的应用，其中利用无穷小量的等价代换法求极限是最常用的，如果能够灵活巧妙地运用此方法，那么复杂困难的

9、求极限问题将变得简单明了。1.一般极限运算中例1已知 =2，求。解：由1-cosxx2(x0)和性质9，得=1，再由性质5，得=1+=1+，其中0（x0）,又x-(1+x)x2(x0) 2x-(1+2x)2x2, 2(x0),故所求极限值为3。例2利用等价无穷小量代换求极限。解：由于tan-sin=(1-cosx)，而sinx(x0),1-cosx(x0),sinx3x3(x0),故有=。例3求极限。解：由x0时sin5x5x,tan2x2x,ln(1+x)x及等价无穷小代换法和性质10，得原式=3。2.幂指函数极限中求解幂指函数极限的常用方法是利用恒等变换u(x)v(x)=e将其转化成指数函

10、数，然后运用指数函数的连续性求极限，但是形如00，0，1等类型的不定式极限，可以直接运用洛必达法则或等价无穷小代换法来求解。为了让读者更能看懂下列实例，这里给出一些重要的定理并加以简单证明，方便读者理解。定理1设在x=x0的某去心领域内，函数f(x)与g(x)连续，且f(x)0，f(x)=A, g(x)=B,则f(x)g(x)=AB.证明：f(x)g(x)= =,由于f(x)=A, g(x)=B，所以f(x)g(x)= =()B=AB.定理2【5】设在点x=x0的某去心领域内，函数f(x)与g(x)连续，,f(x)0，且当xx0时，g(x)与h(x)为等价无穷小量，即g(x)h(x),则f(x

11、)g(x)= f(x)h(x).证明：则f(x)g(x)= =，因为当xx0时，g(x)h(x)，即=1，所以=，所以f(x)g(x)= =f(x)h(x)。定理3设在点x=x0的某去心领域内，函数f(x)与g(x)连续，f(x)0，且当xx0时，f(x)1,g(x),则f(x)g(x)= 。例4求极限解：由于当x0时，1-cosx,故由定理2可得，原式=，再由定理3可得=e所以= e。例5求极限解：当x0+时，sin xtan .所以=e0=13.求代数和极限中前面在介绍无穷小量的性质时已经提到，利用等价无穷小量代换求极限，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对相加

12、或相减部分则不能随意代换。其实在特定条件下，对极限式中的加减部分恰当的使用等价无穷小量来替代，可以使某些问题变得简单化。定理4若函数f(x)与g(x)为同一变化过程中的两个无穷小量，且g(x)=o(f(x),则f(x)+g(x)f(x).证明：因为g(x)=o(f(x)，所以=0，则=1+=1，即f(x)+g(x)f(x).定理5设函数f(x)，g(x)，(x)，(x)为同一变化过程中的无穷小量，且f(x)与g(x)是同阶无穷小量，f(x)(x),g(x)(x),则（1）当-1时，有f(x)+g(x)(x)+(x);（2）当1时，有f(x)-g(x)(x)-(x).证明：因为f(x)与g(x)

13、为同阶无穷小量，所以=c, 又g(x)(x),所以=1，则当c-1时，有=1，即当-1时，有f(x)+g(x)(x)+(x).结论（2）同理可证。例6 求极限解：因为当x0时，tan3x3x,又-1= -1（cosx-1）-.显然与都是2x的高阶无穷小量，而-1是tan3x的高阶无穷小量，由定理4可知2x，3x.所以=。例7 求极限解：因为当x0时，x, 3x,且=3-1，所以，当x0时，+4x,同理sin2x2x,-tan5x-5x,且=-1，所以，sin2x-tan5x-3x，故由定理5可知=。4.求复合函数极限中求复合函数的极限往往是十分复杂困难的，但是如果对其某些内部函数适当的实施无穷

14、小量的等价代换，那么问题就随之而解了。引理 设函数f(x)与g(x)在a的某去心领域内有定义，且满足：（1） xU0(a),f(x)0,g(x)0;（2） f(x)g(x)(xa). 则（xa）; (xa).证明：由已知条件易知=，=，从而=0，=0，又=1，所以（xa）。定理6 设对U0(a),f(x)与g(x)均大于0，且f(x)g(x),若=,则=.证明：由引理知（xa），故有=。定理7 若f(x)(x)(xa),g(x)(x)(xa),且=.则有=。证明：=。例7计算的值。解：当x时，从而由定理7可得=。例8求解解：当x0时，(2x)6=x6sin(1-cosx)3(1-cosx)3=

15、.从而由定理6可得=1.（二）在判断极值中的应用例9已知函数f(x)在x=0的某个领域内连续，且=1，判断x=0是否为函数f(x)的极值点。解：f在x=0连续，f(x)f(0)(x0),由已知极限和性质6=0f(x)0(x0),故f(0)=0，又由已知极限和性质5f(x)=x+(1+)x2=x+(x),再由性质8知，当x0时f(x)与x同号，即x0时，f(x)0=f(0),x0时，f(x)0,级数0，如果=，则（1） 当0+时，级数与级数具有相同的敛散性；（2） 当=0且级数收敛时，级数也收敛；（3） 当=+且级数发散时，级数也发散；由上面的定理可知，一般的应该有=0，也就是说此时与是当n时的

16、无穷小量，那么对于上述运用比较收敛法的极限形式来判断正项级数敛散性的方法，就可以用无穷小量阶的比较作如下理解：（1） 当00,且=c,则有：（1） 当0c0)内的一个连续函数，且在任意a，u上可积，则有：（1） 当f(x)=o()(p1)时，广义积分收敛；（2） 当|f(x)|=o()(p1)时，广义积分发散.例12判断广义积分的敛散性。解：因为当x+时，则被积函数f(x)= =(x+),又因为，当1时，收敛，当1时，发散，所以当1时，原积分收敛，当1时，原积分发散。（五）在物理学方面的应用在物理学中，有很多问题形成的过程是复杂的，我们所要研究的物理量在整个过程中可能都在变化，且许多量都是连续

17、的量，比如时间、位移、分布性电量、分布性质量、场能等等，因此为了给我们的研究带来方便，常常需要借助于小量分析法。小量分析法中的小量是无穷小量的简称，也就是无限趋于零又不为零的量。在数学表达式中，量前加符号，表示间隔（增）量，例如中学物理中对瞬时速度的定义v= ，式子中的x、t均为间隔（增）量，是位移和时间的无穷小量。中学物理中有许多问题都可以用此方法进行解决，并且这种分析问题的方法对发散学生思维，提高解决问题的能力十分有益。在中学物理问题中，常涉及到的小量分析有小量比例、小量近似、小量关联和小量累加等四个方面。1.小量比例物理学中小量比例随处可见，比如加速度a= 、密度= 、比热容c= 、磁通

18、量的变化率= ,借助小量比例还可以推导出其他的物理公式。例1已知质点做匀速圆周运动的角速度为、半径为R,试推导质点做匀速圆周运动的向心加速度公式。解析：设质点在时间小量内由位置1运动到位置2，所对应的圆心角= ，对应的弧长= = ，如图1所示，根据相似三角形的比例关系有= ，所以向心加速度a= = = =图12.小量近似物理中许多问题的计算可以通过小量近似来进行简化，从而简化运算使问题快速解决。例2 半径为 R， 质量为m的匀质细圆环均匀带电，带电量QO。将此圆环放在光滑绝缘的水平面上 ，空间有竖直向上的匀强磁场 B。若圆环以角速度绕过圆心的竖直轴匀速转动，如图2所示，试求环内因此种运动而形成

19、的附加张力。OB B图3图2IRm、QRO F安解析：在圆环上去圆弧小量=R,所对应的质量=,因圆环转动形成的等效电流I=Q/2,圆弧所受安培力方向如图3所示，大小为 ： F安=BI=BR (1)圆弧两端张力FT的向心合力为：FT合=2FT=2FT= FT （2） （这里应用了小量近似=）圆弧做圆周运动所需向心力为： F心= (3)由力的合成可知: F心= FT合- F安 (4)由以上四式联立可解得：FT=-q4q例3 如图4带电量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上,相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。AdB(1)求小环c的平衡位置图4（2）

20、若小环C带电量为q，将小环C拉离平衡位置一小位移x(xd)后静止释放，试判断小环C能否回到平衡位置。(回答“能”或“不能”即可)( 3 )若小环C带电量为-q,将小环拉离平衡位置一小位移x(xd)后静止释放，试证明小环C将作简谐运动。(提示：当x1时，=1-nx)解析：由于（1）、（2）两问不涉及小量分析法，故此处只对（3）进行解答。（3）由解答(1)可知环c的平衡位置距B球d，环c带电-q,平衡位置不变 ,拉离平衡位置 一小位移x后，c受力为：= + = + 因为xd,故、均为小量，利用题中已知小量近似式有：=1- ；=1- 代入上式得：=+=，所以小球c将做简谐运动。3.小量关联由于物理问

21、题中存在的某些关系，常使同一类型的物理量之间产生小量关系，其中最常见的是因几何关系形成的小量关系。例4如图5所示，河岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向夹角为时，收绳速率为v，则该位置船的速率为多大 ?hv图5图6解析：设船在角位置时经时间小量左行距离，如图6所示，作小量直角三角形。显然绳长缩短量与间存在如下小量关联： =两边同时除以，即得：v=v船因此船的速率为：v船=v/4.小量累加在数学中小量累加就是积分，但并不是涉及到小量累加的所有问题都只能用积分公式计算，例如某些物理问题不借助积分公式也能处理。例5如图7所示，顶角=45o的金属导轨MON固定在水平面内,导轨处在方向竖直,磁感应强度为B的匀强磁场中。一 根与0N垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v