n阶行列式的性质教学PPT

1、 1. 行列式的性质行列式的性质 2. 余子式余子式,代数余子式代数余子式, 行列式按一行行列式按一行(列列)展展 开公式开公式 3. 利用性质计算行列式利用性质计算行列式 一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. . 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. t dd 记记 nn a a a 22 11 n n a aa 2 112 21 21 nn aa a d 2 121 n n a aa nn aa a 21 12 t d nn a a a 22 11 例如例如 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式

2、有两行（列）完全相同，则 此行列式为零此行列式为零. . 证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 d,dd , 571571 266 853 . 8 2 5 8 2 5 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 266 853 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. . 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数

3、 乘此行列式乘此行列式. . kk nnnn inii n aaa kakaka aaa 21 21 11211 nnnn inii n aaa aaa aaa k 21 21 11211 行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子可以提到行列式符号的外面因子可以提到行列式符号的外面 行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零则此行列式为零 性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和数之和. . nnnininn nii nii aaaaa aaaaa aaaaa d

4、)( )( )( 21 2222221 1111211 则则d等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和： nnnin ni ni nnnin ni ni aaa aaa aaa aaa aaa aaa d 1 2221 1111 1 2221 1111 例如例如 性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行 列式不变列式不变 njnjnin jji nji aaaa aaaa aaaa 1 22221 11111 njnjnjnin jjji njji ji aakaa

5、a aakaaa aakaaa krr )( )( )( 1 222221 111111 k 例如例如 例例 2101044 614753 12402 59733 13211 d 计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值 ji krr 3 2101044 614753 12402 59733 13211 d 3 解解 2101044 614753 12402 20100 13211 3 12 rr 2101044 614753 14020 20100 13211 2101044 614

6、753 12402 20100 13211 3 12 rr 2 3 12 2rr 4 42 rr 22200 20100 14020 35120 13211 22200 35120 14020 20100 13211 14 4rr 13 3rr 22200 01000 21100 35120 13211 34 rr 22200 20100 21100 35120 13211 23 rr 2 60000 01000 21100 35120 13211 612 45 4rr .12 64000 01000 21100 35120 13211 35 2rr 4 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式

7、n abbb babb bbab bbba d 解解 abbbna babbna bbabna bbbbna 1 1 1 1 d 将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abb bab bba bbb bna 1 1 1 1 ) 1( ba ba ba bbb bna 1 ) 1( 0 0 .)() 1( 1 n babna 例例3 3 nnn n nkn k kkk k bb bb cc cc aa aa d 1 111 1 111 1 111 0 设设 ,)det( 1 111 1 kkk k ij aa aa ad ,)det( 1 111 2 nnn n ij bb b

8、b bd . 21d dd 证明证明 证明证明 ; 0 11 1 11 1kk kkk pp pp p d 设为设为 化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对 11 dkrrd ji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对 22 ,dkccd ji . 0 11 1 11 2nn nkn qq pq q d 设为设为 , 0 1 11 1 111 1 11 nnnnkn k kkk qq q cc cc pp p d 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算 列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对 dkcc nkrrkd ji ji

9、, nnkk qqppd 1111 故故. 21d d ,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 例如例如 3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa 3331 2321 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a 二、余子式与代数余子式 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划

10、去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 n ij a ij 1 n ij a .m ij ，记记 ij ji ij ma 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式 ij a 例如例如 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa d 444241 343231 141211 23 aaa aaa aaa m 23 32 23 1ma . 23 m , 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa d , 444341 3

11、43331 242321 12 aaa aaa aaa m 12 21 12 1ma . 12 m , 333231 232221 131211 44 aaa aaa aaa m .1 4444 44 44 mma .个个代代数数余余子子式式 对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别 引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有 元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的 代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijij aad n i ij a ij a 44434241 33 24

12、232221 14131211 000 aaaa a aaaa aaaa d .1 444241 242221 141211 33 33 aaa aaa aaa a 例如例如 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ininiiii aaaaaad 2211 ni, 2 , 1 行列式按行（列）展开法则 例例4 3351 1102 4315 2113 d 0355 0100 13111 1115 31 2 cc 34 cc 行列式计算的主要方法：先行列式计算的主要方法：先化零化零、再、再展

13、开展开 055 1111 115 )1( 33 055 026 115 55 26 )1( 31 50 28 .40 12 rr 证证用数学归纳法用数学归纳法 21 2 11 xx d 12 xx , )( 12 ji ji xx ）式成立）式成立时（时（当当12 n 例例5证明范德蒙德证明范德蒙德(vandermonde)行列式行列式 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 ).( 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx d )1( ，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n )()()(0 )()()(0 0 11

14、11 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx d n n n nn nn n n 就就有有 提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(1 1 xxi )()()( 2 11312j jin inn xxxxxxxxd ).( 1 j jin i xx 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n n nn n n xxx xxx xxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的

15、代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 . ji,aaaaaa jninjiji 0 2211 , 1 1 1 111 11 nnn jnj ini n jnjnjj aa aa aa aa aaaa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jad ij )det( , 1 1 1 111 11 nnn ini ini n jninji aa aa aa aa aaaa 可得可得换成换成把把), 1(nkaa ikjk 行行第第 j 行行第第 i ,时时当当ji ).(, 0 2211 jiaaaaaa jninjiji 同理同理).(, 0 2211 j

16、iaaaaaa njnijiji 相同相同 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0 , 1 ji jid daa ij n k kjki 当当 当当 ;,0 , 1 ji jid daa ij n k jkik 当当 当当 .,0 ,1 ji ji ij 当当 ，当当 其中其中 05320 04140 01320 25271 02135 d例例6 计算行列式计算行列式 解解 05320 04140 01320 25271 02135 d 660 270 132 10 66 27 210 .1080124220 532 414 132 52 5320 4140 1320 2135 21 52 13 rr 12 2 rr 思考题思考题 阶行列式阶行列式设设n n n dn 001 0301 0021 321 (1)求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和 . 1121