高中数学必修一知识点总结

1、高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：（ 1）元素的确定性如：世界上最高的山（ 2）元素的互异性如： 由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y（ 3）元素的无序性 : 如： a,b,c 和 a,c,b 是表示同一个集合3. 集合的表示： ? 如： 我校的篮球队员 ， 太平洋 , 大西洋, 印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集R(1)

2、 列举法： 把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如：a,b,c ? (2) 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。x R| x-32 ,x| x-32(3) 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 (4)Venn 图 : 韦恩图（文氏图） 是用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合例： x|x 2=5(3)空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意： A B 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（ 2）

3、A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB或 BA2“相等”关系：A=B (5 5，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1“元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。A A真子集 : 如果 A B, 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC如果AB同时 B A那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。含有 n个元素的集合的子集的共有2n 个；真子集共有 2n1 个：非空

4、真子集共有2n2 .集合的基本运算运算交集并集补集类型定由所有属于A 且属由所有属于集合A 或设S是一个集合， A是S的一义于 B 的元素所组成属于集合 B 的元素所个子集，由S 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S 中的集合 ,叫做 A,B 的组成的集合，叫做子集 A 的补集（或余集）交集记作 A BA,B的并集 记作：记作 CSA，即（读作 A 交 B ），AB（读作 A 并即 AB= x|x A ，BC S A= x| xS, 且 x且 xBA韦B），即 A=x|xA ，或 xB) 恩ABABS图A示图 1图 2性AA=AAA=A(C uA)(Cu B)= C u (AB)A =A =

5、A(C uA)(Cu B)= C u(AB)AB=BAAB=BA(CuA)=UABAABA质ABBABBA(CuA)= 容斥原理 有限集 A 的元素个数记作card(A). 对于两个有限集 A ， B，有 card(A B)= card(A)+card(B)- card(AB) 重点习题：注意：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个或多个集合的交集，有助于解题1. 求方程 x 2 x 1 0 的解集；2. 设 A4,2 a 1,a2， B 9,a5,1a ，已知AIB9 ，则实数a。3. 设关于x 的方程x2px120 ， x

6、2qxr0 的解集分别为A ，B，若A U B3,4，AI B3 ，求 p, q, r 的值。224.设 A=x|x +ax+b=0,B=x|x+cx+15=0, 又 AB=3 ，5 ，A B=3，求实数 a,b,c的值 .5.设 Ax x 2px q 0, xR , M 1,3,5,7,9 , N1,4,7,10 。若 AN A，AM求 p,q 的值。6. 设 Ax x24x0 ， Bx x22( a 1)xa210 B（）若（）若AIB B AUB B，求，求aa的值；的值7. 某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49 ，电视机拥有率为85 ，洗衣机拥有率为44 ，至少拥有上述三种

7、电器中两种以上的占63 ，三种电器齐全的为25 ，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少？二、函数（一）函数定义域、值域求法综合设 A、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（ function ），记作 y f ( x), x A ，其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（ domain ），与 x 的值相队对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 f ( x) xA 叫做函数的值域(range)。定义域

8、、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y 是 x 的函数” , 绝对不能理解为“y 等于 f与 x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x) 、 F(x) 、 G(x) 等符号来表示；自变量x 在其定义域内任取一个确定的值a 时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数 f(x)=x2+3x+1, 当 x=2 时的函数值是：f(2)=22 +32+1=11 。

9、注意： f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x) 中当自变量x=a 时的函数值。（ 2）定义域是自变量 x 的取值范围；注意：定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如： y=x 2(xR) 与 y=x 2 (x0) ； y=1与 y=x 0若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的集合；在实际中，还必须考虑x 所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2 倍，其面积为y=2x 2，此函数的定义域为x0,而不是 xR 。（ 3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。

10、（求值域通常用 观察法、配方法、代换法 ）定义域的求法：当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；（ 2）如果 f(x) 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（ 3）如果 f(x) 是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（ 4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（ 5）如果 f(x) 是由实际问题列出的， 那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。函

11、数的三种表示方法（ 1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如 y3x22x1, Sr 2 ,C2 r , S6t 2 等。（ 2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（ 3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）.（二）函数奇偶性与单调性问题的解题策略一般地，设函数f (x) 的定义域为I ：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、 x2 , 当 x 1x2 时都有f (x 1 )f(x 2 ). 那么就说f(x) 在这个区间上是增函数（i

12、ncreasing function）。如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1 f (x 2).那么就是f(x) 在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函说y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x) 的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。1函数最大值与最小值的含义一般地，设函数yf (x) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（ 1）对于任意的xI ，都有f ( x)M ；（ 2）存在x0I ，使得f (x 0 )M 。

13、那么，我们称M 是函数yf (x) 的最大值（maximum value） .2二次函数在给定区间上的最值利用二次函数的性质求最值对二次函数yax 2bxc(a0) 来说，若给定区间是(,) ，则当 a 0 时，函数有最小值是 4ac b2，当 a0 时，函数有最大值是4ac b2 ；若给定区间是a,b ，则4a4a必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值。利用图像求函数的最值利用函数的单调性求最值3.一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(-x)=f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做 偶函数 （ even function）。（图像关于y 轴对称），那x

14、，都有 f ( x)4.一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个f ( x)么函数 f(x) 就叫做 奇函数 (odd function)。（图像关于原点对称）注意：奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；（三）函数解析式的表达求函数解析式的常用方法有：1、待定系数法例 1、（ 1 ）已知二次函数f(x) 满足 f (1)1， f ( 1)5 ，图象过原点，求f ( x) ；（ 2）已知二次函数f ( x) ，其图象的顶点是(1,2) ，且经过原点，f (x) 解：（ 1）由题意设f ( x) ax 2bx c ， f (1)1，f (1)

15、5 ，且图象过原点，abc1a3 abc5 b2c0c0 f ( x)3x22x （ 2）由题意设f( x)a(x 1) 22 ，又图象经过原点， f (0)0 ， a 2 0得 a2 ， f (x)2x 24x 说明：（ 1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；（ 2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等） ，代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数 。2、代入法例 2、根据已知条件，求函数表达式（1）已知f (x)x24x3 ，求 f ( x1) （2）已知f (x)3x 21 ， g( x)2x1，求 f g(x) 和 g f ( x) .解：（ 1） f ( x

16、)x24x 3 f (x 1) ( x 1) 24( x 1) 3 x 22x （ 2） f ( x)3x21， g( x)2x 1 f g( x)3 g( x)213(2 x1) 21 12x 2 12x 4 g f ( x)2 f ( x)12(3x 21) 16x 21说明： 已知 f ( x)求 f g (x)，常用“代入法” .基本方法：将函数f(x)中的 x 用 g(x)来代替，化简得函数表达式3、配凑法与换元法：例 3 、（ 1）已知 f ( x1) x22x ，求 f ( x) .（ 2 ）已知 f (x1)x2x ，求 f (x1)解：（ 1）法一配凑法： f (x 1) (

17、 x 1) 22x 1 2x (x 1) 24x 1 ( x 1) 24( x 1) 3f ( x)x24x3 法二换元法：令 x1t ，则 xt1 ，f (t)(t 1)22(t 1)t 24t 3 f ( x)（ 2）设 u于是x2x 1f (u)4x3 1，则 x =u 1 ， x (u 1) 2(u1)22(u 1) u 21(u 1) f ( x) x2 1(x 1) f ( x1)( x1) 21x22x( x 1 1)即 f ( x1)x 22x( x0) .说明： 已知f g( x)求 f ( x) 的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定

18、中间量的取值范围4、构造方程法1例 3、已知f(x)满足 2 f ( x)f ( )3x ，求 f ( x) .x1解： 2 f (x)f ()3x -x1得将中 x 换成1x1f (x)3() -2 f ( )xx3 2- 得3 f ( x)6x1x f ( x)2xx1) 之间的关系式，求f ( x) 的解析式，可通说明： 已知 f ( x) 与 f (x) ，或 f ( x) 与 f (x1过“互换”关系构造方程的方法，消去f ( x) 或 f() ，解出 f ( x) .x（三）恒成立问题的求解策略主要讨论二次函数问题（四）反函数的几种题型及方法反函数的定义一般地，设函数yf (x)(

19、x A) 的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y 把 x表示出，得到x=(y).若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过x=(y) ， x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么， x=(y) 就表示 y 是自变量， x 是自变量y 的函数，这样的函数x= (y)(y C) 叫做函数yf ( x)( xA) 的反函数，记作xf( y) , 习惯上改写成y f11( x)1. 求反函数的基本步骤：一求值域：求原函数的值域二反解：视y 为常量，从yfx 中解出唯一表达式xf1 y，三对换：将x 与 y 互换，得yf 1x ，并注明定义域。2. 反函数yf1x 与原函数yfx 的关系：性质 1

20、、 yf 1 x 的定义域、值域分别为yf x的值域、定义域。性质 2 、若 yfx 存在反函数，且yfx 为奇函数，则yf1x 也为奇函数。性质 3 、若 yfx 为单调函数，则yf 1x 同 yf x有相同的单调性。性质 4 、 yfx 和 yf 1x 在同一直角坐标系中，图像关于yx 对称。探讨 1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数yf ( x) 来说，不一定有反函数，如yx 2 , 只有“ 一一映射 ”确定的函数才有反函数，yx 2 , x0,) 有反函数是yx探讨 2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知

21、，函数 yf (x) 是定义域A 到值域 C 的映射，而它的反函数yf 1 ( x)是集合C 到集合A 的映射，因此，函数yf ( x) 的定义域正好是它的反函数yf 1 ( x) 的值域； 函数 yf (x) 的值 域正 好是 它的 反 函 数 yf 1 ( x)的定义域f f1 (x)x, f1 f ( x)x （如下表）：函数 yf ( x)反函数 yf 1 ( x)定义域AC值 域CA探讨 3： yf 1 ( x) 的反函数是？若函数y f ( x) 有反函数 yf 1 ( x) ，那么函数y f 1 ( x) 的反函数就是y f (x) ，这就是说，函数yf ( x) 与 yf1 (

22、 x) 互为反函数例 1：已知 fxlog 2 x 31，求 f1x（对数函数形式）x 3x 3解 ：fx的值域为R,令ylog 21，则 log 2y12 y 1x3x2y13f1 x2x13例 2：已知fx2x21 求 f1x（指数函数形式）解：令 y2x 21 ， y 的值域为y1，2x2y1log2 y 1x 2x log 2y1 2f1 xlog 2 x 12x10x12，求 f 1例 3：已知 fx1x10x1x（根式形式）22解 ： 令 y1 x 1 0 x 1Q 0 x 11 x 1 00 x 112220 1 x 1101 x 11 Q 0 y 1 Q y1 x 11 y2x

23、 12x1 y21f 1 x1 x 21 0 x 1例 4：求 yx1xR 且 x1的反函数（分式形式）2 x12解：由题意知， y12x 1 x 1 xy11，反解为 yy22 y12x11原函数的反函数为yx2x12例 5、已知fx1x22x1 x1,2 ，求f x 的反函数（二次函数形式）解： Q 1x22 x1 3 令 tx1 2 t3x t 1所以原函数可化为f tt 122 2 即 f xx22 2 x 32 t 1 1 ty f xx22 （ 2 y7 ）y 2 x 2xy 2 （ 2y 7 ）所以fx 的反函数f1xx2 2x7x2x0例 6、求 y的反函数（分段函数形式）1

24、xx02解： x0 时， yx2 则 xy（ y0 ） 则 y 的反函数为yx ( x0)1x0 时， yx 则 x2 y （ y0 ）则 y 的反函数为y2x x02x(x0)所以原函数的泛函数y2xx0注：求分段函数的反函数要分段求，最后要用分段函数的形式表示出来利用反函数求值（性质一的应用）例 7、已知 f x2 2 x 1 ,求 f 12的值1x3解一：先求反函数f 1x解：令 y2，得 x212Q x1x1 2且y 01x2yy故 f x 的反函数为f1x2x0f221x3解二：根据性质一22x2Q x1 x2 即f2解：21 x 233例 8 、已知fxa xk 的图像过点1,3

25、，其反函数yf 1x 的图像过2,0 点，求f x 的表达式。解： Q yf1x的 图像过点2,0，fx的 图像过点0,2，2a0kk1fxax1又 Q yfx的图像过点1,3 ，3 a 1 a2fx2x1利用图像（性质四的应用）例 9：已知函数 fx2 x1a1y x 对称，求 a, x a 的图像关于直线的值xa2解：由题意fx 的图像关于直线yx 对称，则fxf1 x1令 y f x2x( y 2)y x a2x 1 x1 ayxax2所以 f 1 x1 ax x 2由 f xf 1 x得 1 ax = 2x 1解得 a2x2x 2x a（五）二次函数根的问题一题多解&指数函数 y=ax

26、 运算规律：aa*ab=aa+b(a0,a、b 属于 Q)(aa)b=aab(a0,a、 b 属于 Q)(ab)a=aa*ba(a0,a、b 属于 Q)指数函数图像对称规律：1、函数 y=ax 与 y=a-x 关于 y 轴对称2、函数 y=ax 与 y=-ax 关于 x 轴对称3、函数 y=ax 与 y=-a-x关于坐标原点对称指数函数问题解决方法：1 比较大小2xx例 1 已知函数 f ( x)xbx c 满足 f (1x) f (1 x) ，且 f (0)3 ，则 f ( b) 与 f (c )的大小关系是 _ 分析：先求b ， c 的值再比较大小，要注意bx， cx 的取值是否在同一单调

27、区间内解： f (1x) f (1x) ，函数 f ( x) 的对称轴是 x1 故 b 2 ，又 f (0) 3， c3 函数f ( x) 在 ， 1 上递减，在 1， 上递增若 x 0 ，则 3x 2 x 1 ， f (3 x ) f (2 x ) ；若 x 0 ，则 3 x2 x1 ，f (3 x )f (2 x ) 综上可得 f (3 x ) f (2x ) ，即 f (cx ) f (b x ) 评注： 比较大小的常用方法有：作差法、 作商法、 利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例 2 已知 (a22a5)3x(a 22a

28、5) 1 x ，则 x 的取值范围是 _ 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解： a 22a 5 (a 1) 244 1，函数 y(a 22a5) x 在 ( ， ) 上是增函数， 3 x 1x ，解得 x1 x 的取值范围是1， 44评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例 3求函数 y1 6 x 2的定义域和值域解：由题意可得 16 x 2 0 ，即 6 x 2 1，x20 ，故 x2 函数f (x)的定义域是， 2令 t 6 x 2 ，则 y1 t ，又 x

29、 2 ， x2 0 0 6 x 2 1 ，即 0 t 1 0 1 t 1 ，即 0 y 1 函数的值域是0，1 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题0 且例 4函数 ya 2x2a x1(aa1) 在区间 11 ， 上有最大值14，则a 的值是_ 分析：令ta x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围解：令 ta x，则 t0 ，函数 ya 2x2a x1 可化为y (t 1) 22 ，其对称轴为t1 当 a1 时，x11， ， 1 a x a ，即 1 t a aa当 ta时， ymax(a 1) 2 2 14 解得 a3 或 a5 （

30、舍去）；当 0a 1 时， x11， ， a a x 1 ，即 a t 1 ，aa1 时， ymax12 t12 14，aa解得 a1 或 a1 （舍去）， a 的值是3或1353评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例 5解方程 3 x2 32 x80 x 2xx解：原方程可化为 9 (3)8039 0 ， 令 t3 (t 0) ， 上 述 方 程 可 化 为9t80t 90 ，解得 t9或 t12 ，经检验原方程的解是 x 2 2（舍去），3 9 ， xx9评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例

31、 6 为了得到函数y93x5 的图象，可以把函数y 3 x 的图象（）A向左平移 9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度，再向下平移5 个单位长度C向左平移 2个单位长度，再向上平移5 个单位长度D向右平移 2个单位长度，再向下平移5 个单位长度分析：注意先将函数y93x5 转化为 t3x2 5 ，再利用图象的平移规律进行判断解： y 9 3 x53x 25 ，把函数y 3x 的图象向左平移2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数y9 3 x5 的图象，故选（C）评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本

32、函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等&对数函数 y=logax如果 a0，且 a 1 ， M0，N 0，那么：1(MN)log a M log a N ； log a2Mlog alog a M log a N ；N3nn log a M(n R) log a M注意：换底公式log a blog cb0 ，且 a 1 ；c0 ，且 c 1；b0 ）log c（ aa幂函数 y=xa(a 属于 R)1、幂函数定义：一般地，形如 y x (a R) 的函数称为幂函数，其中 为常数2、幂函数性质归纳（ 1）所有的幂函数在（ 0，+）都有定义并且图象都过点（ 1，1）；（ 2）

33、0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0,) 上是增函数特别地，当1 时，幂函数的图象下凸；当 01时，幂函数的图象上凸；（ 3） 0 时，幂函数的图象在区间 (0, ) 上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴三、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y f ( x)( x D ) ，把使 f (x)0成立的实数 x 叫做函数 y f ( x)( xD ) 的零点。2、函数零点的意义： 函数 yf ( x) 的零点就是方程 f ( x) 0实数根，亦即函数yf (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程 f (x)0有实数根函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 yf ( x) 有零点3、函数零点的求法：的实数根；1（代数法）求方程f (x)0 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y f (x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 y ax 2bxc( a0)（ 1），方程 ax 2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点（ 2），方程 ax 2bxc0有两相等实根，二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个