热点专题突破五解析几何的综合问题

1、热点专题突破五解析几何的综合问题 1 .(2015重庆巴蜀中学三诊)|已知椭圆Ci: +石=1(ab 0)过点,其焦距 为2,已知Fi,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为直线x=2上一点.直线PFi,PF2与圆 x2+y2=1的另外一个交点分别为 M,N. (1) 求椭圆C1的方程； (2) 求证:直线MN恒过一定点. 1. 【解析】(1)由题意知,c=1,左、右焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0), -2a=|AF1|+|AF2|=一 一 =2, 二椭圆的标准方程为+y2= 1. fv = (X +1)222 设 P(2,t),直线 PF1：y=? (x+1),由，八得 9x2+t2

2、(x2+2x+1)=9, x2 + y2 = 1 即(t2+9)x2+2t2x+t2-9=0, -1xm=,.xmJ M ra+9 rz+9 Xr3+9 rz+9 / 同理可得N；一一：， kMN=，直线MN的方程为y-_-，即 4r 2t y-： x+ 一=0, y-二=0, 直线MN恒过定点T 一 . 2. (2014湖南高考)如图,0为坐标原点，椭圆Ci：=1(ab 0)的左、右焦点 分别为F1,F2,离心率为e1；双曲线C2：二1的左、右焦点分别为F3,F4,离心 率为 e2.已知 过C上一点p(xo,yo)(yo旳)的直线I： -yoy= 1与直线AF相交于点M,与直线 gyr x=

3、相交于点N.证明:当点P在C上移动时， 恒为定值并求此定值 3. 【解析】(1)设F(c,0),因为b=1,所以c= ，直线0B方程为y=- x,直线 BF的方程为y= (x-c),解得Bl；. 又直线0A的方程为y= x, 又因为AB丄OB,所以=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为.-y2=1. (2)由知a= ,则直线l的方程为:-yy=1(y0旳)，即y=-. 因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点M 直线l与直线x=的交点为N MF 耀过 屹岳尸m则+冷宀尸 T b0), 显然有 c=1,a=2,A b=, I椭圆N的标准方程为=1. 43 (2)显然直线m的斜率存在，

4、不妨设直线m的直线方程为y=kx-1, 联立椭圆N的标准方程=1得(3k2+ 4)x2-6kx-9= 0, 设 B(X1,y1),C(x1,y2),则有 |BC|=I V |X1-X2|= . _.-, 又A(0,2)到直线m的距离d1=, S= |BC|d1=- 再将式联立抛物线方程x2=-4y,得x2+4kx-4= 0, 同理易得 |DE|=4(1+k2),d2= , 二 =2”：T 1 :, Z=S1S2=12l I . 12 = _ =9,当 k=0 时，等号成立.故当 k=0 时,Zmin=9. 5. (2015泰州一模如图,在平面直角坐标系xOy中，离心率为乎的椭圆C:音+石 =1

5、(ab 0)的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两 点直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点若直线PQ斜率为-时,PQ=2. (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结 论. 5. 【解析】(1)设P ., =1即卩厂+2 =4, 直线PQ斜率为一时,PQ=2 -/=3,解得 =2. 同理，直线QA方程为y二二(X+2),： N 一 , 以MN为直径的圆为(x-O)(x-O)+=0, 即 x2+y2- . y+=0, * Jfc-4 T . - -4=-2 -，二 x2+y2+y-2=0, 令y=0,

6、解得x= +, 以MN为直径的圆过定点F(,0). 6. (2015济宁模拟)平面内动点M(x,y)与两定点A(-*W ,0),B( ,0)的连线的斜率之 当m=0时,PQ的方程是x=-2,也符合上述方程. 仗+亠1 设P(xi,yi),Q(x2,y2),将直线PQ的方程x=my-2与椭圆C的方程联立得 x = rny-2. 22 消去 X,得(m +3)y -4my-2=0, 其判别式 Y16m2+8(m2+3)0, 所以yi+y2= 4m_2 刑2= xi +x 2=m (yi +y2)-4= 12 m2+3 所以PQ的中点N的坐标为 rn2 +3 m1 +3 所以直线ON的斜率koN二-

7、. 又直线OT的斜率kOT=-,所以点N在线段OT上, 因此OT平分线段PQ. (ii )由(i )可得 |TF|=.一， |PQ|=.心.込7池了 J (亦 + 1)伽 + y2)2-4y1yz 24 当且仅当m2+1=，即m= 1时，等号成立 所以当罟最小时,T点的坐标是(-3,1),(-3,-1). I e=_ _aI 2=4,b2=2. aa2 椭圆C的标准方程为一 一=1. (2)以MN为直径的圆过定点F(,0). 设 P(X0,y),则 Q(-X0,-y0),且,：!- - A(-2,0),.直线 PA 方程为 y=+ (x+2),. M0 亍;, 积为，记动点M的轨迹为C. (1)求动点M的轨迹C的方程； 定点F(-2,0),T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P,Q. (i )证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点); (ii )当一最小时，求点T的坐标. 6. 【解析】由已