中世纪的中国数学.ppt

1、1 数学史 校级公选课程 2007年9月中世纪的中国数学2 第三讲 中世纪的中国数学 中世纪数学的主角，是中国、印度和阿拉伯地区的 数学。 与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的 算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的 概括，不讲究命题的形式推导。 所谓“算法”，不只是单纯的计算，而是为了解决 一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性 的计算方法。 2007年9月中世纪的中国数学3 第三讲 中世纪的中国数学 本讲介绍中国古代数学史。就 繁荣时期而言，中国数学在 上述三个地区中是延续最长 的。从公元前后至公元14世 纪，先后经历了三次发展高 潮，即两汉时期、魏晋南北 朝时期以及宋元时

2、期，其中 宋元时期达到了中国古典数 学的顶峰。 2007年9月中世纪的中国数学4 第三讲 中世纪的中国数学 周髀算经与九章算术 古代背景 周髀算经 九章算术 从刘徽到祖冲之 刘徽的数学成就 祖冲之与祖暅 算经十书 宋元数学 从“贾宪三角”到“正负开方”术 中国剩余定理 内插法与垛积数 “天元术”与“四元术” 2007年9月中世纪的中国数学5 3.1 周髀算经与九章算术 古代背景 古代世本中提到黄帝使“隶首作算术”，但这只是传说。 无论如何，殷商甲骨文中已经使用完整的十进制记数。至 迟到春秋战国时期，又开始出现严格的十进位值制筹算记 数。 关于几何学，史记“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规 矩，

3、右准绳”。从战国时代的著作考工记中也可以看 到与手工业制作有关的实用几何知识。 战国诸子百家，与希腊雅典学派时代相当。其中的“墨家” 与“名家”，其著作包含有理论数学的萌芽。 2007年9月中世纪的中国数学6 3.1 周髀算经与九章算术 古代背景 墨经（约公元前4世纪）提出了一系列数学逻辑的抽象 定义： l 点：“端，体之无厚而最前者也”； l 直线：“直，参也”； l 圆：“圜，一中同长也”； l 正方形：“方，柱隅四佑也”； l 平行：“平，同高也”； l 体积：“厚，有所大也”。 2007年9月中世纪的中国数学7 3.1 周髀算经与九章算术 古代背景 庄子中记载名家辩论哲学的名辩，也可以

4、从数学的意义 上去理解： l 矩不方，规不可以为圆； l 飞鸟之影未尝动也； l 一尺之棰，日取其半，万世不竭 2007年9月中世纪的中国数学8 3.1 周髀算经与九章算术 周髀算经 在现存的中国古代数学著作中，周髀算经是最 早的一部。 周髀算经作者不祥，成书年代据考应不晚于公 元前2世纪西汉时期。这部著作实际上是从数学上 讨论“盖天说”宇宙模型，反映了中国古代数学 与天文学的密切联系。 从数学看，周髀算经主要的成就是分数运算、 勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾 股定理的论述最为突出。 2007年9月中世纪的中国数学9 3.1 周髀算经与九章算术 周髀算经 周髀算经卷上记载西周开国时

5、期周公 与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高 答周公问时提到“勾广三，股修四，径 隅五”，这是勾股定理的特例。 卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子的对 话中，则包含了勾股定理的一般形式： “以日下为勾，日高为股，勾股各自 乘，并而开方除之，得邪至日。” 2007年9月中世纪的中国数学10 3.1 周髀算经与九章算术 中国数学史上最先完成勾股 定理证明的数学家，是公 元3世纪三国时期的赵爽。 赵爽注周髀算经，作 “勾股圆方图”，其中的 “弦图”，相当于运用面 积的出入相补证明了勾股 定理。 a b 2007年9月中世纪的中国数学11 3.1 周髀算经与九章算术 九章算术 九章算术是中国古典数学最重要

6、的著作。是从先秦至西 汉中叶的长时期里众多学者编纂、修改而成的一部数学著 作。 采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为： 方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、 勾股。 2007年9月中世纪的中国数学12 3.1 周髀算经与九章算术 2007年9月中世纪的中国数学13 3.1 周髀算经与九章算术 九章算术 1、算术方面 分数四则运算法则。“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除 以及约分和通分运算法则。 比例算法。提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。设 从比例关系 求x。 盈不足术。“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来 求繁难算术问题的解的方法。

7、九章算术中典型的盈亏类问题如： “今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几 何？” “盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”，即中国 算法。13世纪意大利数学家斐波那契算经一书也有一章讲“契 丹算法。” xcba: 2007年9月中世纪的中国数学14 3.1 周髀算经与九章算术 九章算术 2、代数方面 九章算术在代数方面的成就 是具有世界意义的。 方程术。“今有上禾三秉，中 禾二秉，下禾一秉，实三十九 斗；上禾二秉，中禾三秉，下 禾一秉，实三十四斗；上禾一 秉，中禾二秉，下禾三秉，实 二十六斗。问上、中、下禾实 一秉各几何？” 2632 3432 3923 zyx z

8、yx zyx 4 3 2 4 1 4 4 1 9 z y x 2007年9月中世纪的中国数学15 3.1 周髀算经与九章算术 九章算术 正负术。九章算术在代数方面的另一项突出贡献是负 数的引进。 “同名相除，异名相异，正无入负之，负无入正之。其异名 相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。” “同名”、“异名”即同号、异号；“相益”、“相除”指 两数绝对值相加、相减。 开方术。“少广”章有“开方术”和“开立方术”，给出 了开平方和开立方的算法。 2007年9月中世纪的中国数学16 3.1 周髀算经与九章算术 九章算术 3、几何方面 九章算术“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问 题。其中“

9、方田”章讨论面积计算，“商功”章讨论体积 计算，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。 几何问题具有很明显的实际背景，如面积问题多与农田测量 有关，体积问题则主要涉及工程土方计算。各种几何图形 的名称就反映着它们的显示来源。 如平面图形有：“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、 “圭田”（三角形）等等。 2007年9月中世纪的中国数学17 3.1 周髀算经与九章算术 九章算术 与欧几里得原本中将代数问题几何化的做法相反，九 章算术将几何问题算术化和代数化。 九章算术对于它所给出的几何问题的算法，一律没有推 导证明，可以说九章算术中的几何部分主要是实用几 何。 2007年9月中世纪的中国数学18 3

10、.2 从刘徽到祖冲之 从公元220年东汉分裂，到581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。 这是中国历史上的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的 时期。 在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴 起了论证的趋势，许多研究以注释周髀算经、九章 算术的形式出现，实质是要寻求这两部著作中一些重要 结论的数学证明。 2007年9月中世纪的中国数学19 3.2 从刘徽到祖冲之 刘徽的数学成就 隋书“律历志”中提到 “魏陈留王景元四年刘徽 注九章”，由此知道刘徽 是公元3世纪魏晋时人， 并于公元263年（景元四 年）撰九章算术注。 刘徽数学成就中最突出的是 “割圆术”和体积理论。 2007年9月中世纪的

11、中国数学20 3.2 从刘徽到祖冲之 刘徽的数学成就 1、割圆术 刘徽在九章算术方田章“圆田术”注中，提出割圆术 作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。 割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。从圆内 接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的 正多边形的周长和面积。他指出：“割之弥细，所失弥 少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失 矣。” 2007年9月中世纪的中国数学21 3.2 从刘徽到祖冲之 刘徽从圆内接正六边形出发， 并取半径r为1尺，一直计 算到192边形，得出了圆 周率的精确到小数后二位 的近似值： 化成分数为157/50，这就是 有名的“徽率”。 刘徽是中算

12、史上第一位建立 可靠的理论来推算圆周率 的数学家。 14. 3 2 2 2 2 22 2 2 1 2 1 nn n lrrl cdacadl c o a b d 2007年9月中世纪的中国数学22 3.2 从刘徽到祖冲之 刘徽的数学成就 2、体积理论 刘徽倾力于面积与体积公式的推证，并取得了超越时代的漂亮结果。 其面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓 的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若 干部分后，面积或体积的总和保持不变。 他在推证九章算术中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无 限小方法：极限方法与不可分量方法。 如“阳马”体积公式与球体积

13、公式。 刘徽在九章算术“勾股”章之后所加的一整篇文字，作为九章算术 注第十卷，后来单独刊行，称为海岛算经。 2007年9月中世纪的中国数学23 3.2 从刘徽到祖冲之 祖冲之与祖暅 刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期（公元420589）被 祖冲之和他的儿子祖暅推进和发展了。 祖冲之（公元429500）活跃于南朝宋、齐两代，出生于历 法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史和公府参军， 都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正 史的数学家之一。 祖冲之在公元462年创制了一部历法大明历，在当时是 最先进的历法。 南齐书祖冲之传“注九章，造缀术数十篇”，但缀术 也未能流传下来。 2007年

14、9月中世纪的中国数学24 3.2 从刘徽到祖冲之 2007年9月中世纪的中国数学25 3.2 从刘徽到祖冲之 祖冲之与祖暅 1、圆周率 隋书律历志说：“祖冲之更开密法，以圆径一亿为一 丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭 数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二 限之间”。即 按刘徽割圆术从正六边形出发连续计算到正24576边形时，恰好可以得 到祖冲之的结果。 )(1415927. 3)(1415926. 3盈数肭数 2007年9月中世纪的中国数学26 3.2 从刘徽到祖冲之 祖冲之与祖暅 隋书律历志还记载了祖冲之在圆周率计算方面的另一 项重要结果：“密率：圆径一百一十三，

15、圆周三百五十 五；约率：圆径七，圆周二十二”。 在现代数论中，如果将圆周率表示成连分数，其渐进分数 是： , 33215 104348 , 33102 103993 , 113 355 , 106 333 , 7 22 , 1 3 2007年9月中世纪的中国数学27 3.2 从刘徽到祖冲之 祖冲之与祖暅 2、祖氏原理与球体积 曾使刘徽绞尽脑汁的球体积问题，到祖冲之时代终于得以 解决。这一成就被记录在九章算术“开立圆术”李淳 风注中，李淳风是唐代数学家，他在注文中将球体积的 正确解法称为“祖暅之开立圆术”。 这是中国数学史上第一次获得的正确的球体积公式。 33 6 1 3 4 4 drvv 牟合

16、方盖球 2007年9月中世纪的中国数学28 3.2 从刘徽到祖冲之 算经十书 大唐盛世，是中国封建社会最繁荣的时代，可是在数学方面， 整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的 宋元时期相媲美的数学大家。隋唐时期中国数学发展的两 件大事是数学教育制度的建立和数学典籍的整理。 唐代不仅沿袭了“算学”制度，而且还在科举考试中开设了 数学科目，叫“明算科”，考试及第者也可做官，不过只 授予最低官阶。 2007年9月中世纪的中国数学29 3.2 从刘徽到祖冲之 算经十书 唐高宗亲自下令对以前的十部数学著作进行注疏整理。受诏 负责这项工作的是李淳风，公元656年编成以后，成为国 学的标准数学教科

17、书，称“十部算经”或“算经十书”。 周髀算经、九章算术、海岛算经、 孙子算经、张邱建算经、夏侯阳算经、 五曹算经、五经算经、缀术、辑古算经 2007年9月中世纪的中国数学30 3.2 从刘徽到祖冲之 算经十书 张邱建算经和“百鸡问 题” 张邱建算经三卷，据考 大约成书于公元466485 年间，卷下最后一题通常 称“百鸡问题”： “今有鸡翁一，直钱五；鸡 母一，直钱三；鸡雏三， 直钱一。凡百钱买鸡百只。 问鸡翁、母、雏各几何？” 100 3 1 35 100 zyx zyx 84, 4,12 ;81,11, 8 ;78,18, 4 333 222 111 zyx zyx zyx 2007年9月中

18、世纪的中国数学31 3.3 宋元数学 “宋元四大家”： 杨辉、秦九昭、李冶、朱士杰 杨辉 2007年9月中世纪的中国数学32 3.3 宋元数学 从“贾宪三角”到“正负开 方”术 宋元数学最突出的成就之一， 高次方程数值求解，是 九章算术开平方和开 立方术的继承发展。 1、贾宪三角 目前有明确记载保留下来的 最早的高次开方法是贾宪 创造的“增乘开方法”。 14641 1331 121 11 1 “开方作法本源” 图 2007年9月中世纪的中国数学33 3.3 宋元数学 1、贾宪三角 贾宪增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算法， 可适用于开任意高次方。这种随乘随加、能反复迭代计算 减根变换

19、方程各项系数的方法，与现代通用的“霍纳算法” （1819）已基本一致。而与此方法相联系的“贾宪三角”， 在西方文献中则称“帕斯卡三角”（1654）。 2007年9月中世纪的中国数学34 3.3 宋元数学 从“贾宪三角”到“正负开方”术 2、秦九昭“正负开方术” 秦九昭，字道古，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江苏、 浙江等地做官，1261年左右被贬职梅州，不久死于任所。 他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”， 1247年写成数书九章。 数书九章全书18卷，81题，分九大类。 2007年9月中世纪的中国数学35 3.3 宋元数学 内插法与垛积术 朱世杰（公元1300前后），自号松庭，寓居

20、燕山，是一位平 民数学家和数学教育家，“以数学名家周游湖海二十余 年”。朱世杰的代表著作有算学启蒙和四元玉鉴。 算学启蒙是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日 本与朝鲜数学的发展。四元玉鉴则是中国宋元数学高 峰的又一个标志，其中最突出的数学创造是“招差术” （即高次内插法），“垛积术”（高阶等差级数求和）以 及“四元术”（多元高次联立方程组与消元解法）等。 2007年9月中世纪的中国数学36 3.3 宋元数学 “天元术”与“四元术” 宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就 是“天元术”和“四元术”的发明。 1、天元术 宋元时期高次方程数值求解技术的发展，必然引起对列方程方 法

21、的需求。“天元术”就是在这样的情况下产生的。在传 世的宋元数学著作中，首先系统阐述了天元术的是李冶的 测圆海镜（1248）和益古演段（1259）两部著作。 “立天元一为某某” 2007年9月中世纪的中国数学37 3.3 宋元数学 “天元术”与“四元术” 2、四元术 在李冶之后，天元术被朱世杰 从一个未知数推广到二元、 三元及四个不同的未知数。 这就是“四元术”。 朱世杰四元玉鉴中详细记 载了这种列多元高次方程组 的方法。四元术以“天”、 “地”、“人”、“物”来 表示四个不同的未知数。 2007年9月中世纪的中国数学38 结束语 四元玉鉴可以说是宋元数学的绝唱。 元末以后，中国传统数学骤转衰落。整个明清两代（1368 1911），不仅未再产生出能与数书九章、四元玉鉴 相媲美的数学杰作，而且在清中叶乾嘉学派重新发掘研究 以前，“天元术”、“四元术”这样一些宋元数学的精粹， 竟长期失传，无人通晓。明初开始长达三百余年的时期内， 除了珠算的发展及与之相关的著作的出现，中国传统数学 不仅没有新的创新，反而倒退了。 2007年9月中世纪的中国数学39 结束语 中国古代数学的特征 首先是其表现形式，