江苏省高中数学竞赛-第25讲-反三角函数与三角方程教案8页

1、精诚凝聚 =_= 成就梦想 第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了一反正弦函数1定义：函数ysinx(x-，)的反函数就是反正弦函数，记为yarcsinx(x1，1)这个式子表示：在区间-，内，正弦函数值为x的角就是arcsinx，即 sin(arcsinx)x， x1，1 2反正弦函数的性质： 定义域为1，1；值域为-， 在定义域上单调增； 是1，1上的奇函数，即 arcsin(x)arcsinx， x

2、1，1 yarcsinx的图象：与ysinx(x-，)的图象关于yx对称 arcsin(sinx)的值及yarcsin(sinx)的图象： arcsin(sinx)x， x-， 二反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1定义：函数ycosx(x0，p)的反函数就是反余弦函数，记为yarccosx(x1，1)这个式子表示：在区间0，p内，余弦函数值为x的角就是arccosx，即 cos(arccosx)x， x1，1 2反余弦函数的性质： 定义域为1，1；值域为0，p 在定义域上单调减； 是1，1上的非奇非偶函数，即 arccos(x)parccosx， x1，1 yarccosx的图象：与y

3、cosx(x0，p)的图象关于yx对称 arccos(cosx)的值及yarccos(cosx)的图象： arccos(cosx)x， x0，p 三反正切函数1定义：函数ytanx(x(-，)的反函数就是反正切函数，记为yarctanx(xR)这个式子表示：在区间(-，)内，正切函数值为x的角就是arctanx，即 tan(arctanx)x， xR 2反正切函数的性质： 定义域为R；值域为(-，) 在定义域上单调增； 是R上的奇函数，即 arctan(x)arctanx， xR yarctanx的图象：与ytanx(x(-，)的图象关于yx对称 arctan(tanx)的值及yarctan(

4、tanx)的图象： arctan(tanx)x， x(-，) 四反余切函数 请根据上面的内容自己写出A类例题例1证明： cos(arcsinx)；sin(arccosx)； tan(arccotx)并作它们的图象 sin (arc tan x) ； tan(arcsinx) ； cos(arctanx) ； tan(arccosx) 证明： 设arcsinxa，则a，且sinax，于是，cosa，即cos(arcsinx) ；同理可证其余 设arctanxa，则a(-，)，tanax于是，seca，所以，sinatanacosa，就是sin(arctan x)；同理可证其余说明 本题给出了反三

5、角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算 例2证明： arcsinxarccosx， x1，1 arctanxarccotx， xR证明：令arcsinxa，arccosxb，则a-，b0，p，b-，而 sinax，sin(b)cosbx，即sinasin(b)，但a与b都在区间-，内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而ab就是arcsinxarccosx同法可证说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式例3计算： sin(arcsinxarcsiny)；x，y1，1 cos(arc

6、cosxarccosy)x，y1，1解： sin(arcsinxarcsiny)xy cos(arccosxarccosy)xy情景再现1若arctanxarctanyarctanzp，证明：xyzxyz； 证明：cotarctanxarctan(1x)1xx22设f(x)x2x, arcsin，arctan,arc cos(),darc cot( ),则Af()f()f(d)f() Bf()f(d)f()f() Cf(d)f()f()f() Df(d)f()f()f() 3函数yarc cos(-x2)的值域是A-， B-， C， D， B类例题例4求10cot(arc cot3arc co

7、t7arc cot13arc cot21)的值解：设 arccot3a，arccot7b，arccot13g，arccot21d，则0dgba tana，tanb，tang，tand， tan(ab) tan(gd) tan(abgd) 10cot(arc cot3arc cot7arc cot13arc cot21)1015例5求常数c，使得 f(x) arc tanc在区间(-，)内是奇函数解：若f(x)是(-，)内的奇函数，则必要条件是f(0)0，即carctan2当carctan2时，tan(arctaarctan2) 2x即f(x)arctan(2x)；f(x)arctan(2x)a

8、rctan2xf(x)故f(x)是(-，)内的奇函数 说明 例6 x表示不超过x的最大整数，x表示x的小数部分（即xx-x)，则方程 cotxcotx1的解集为 ；解：由于0x1，故cotxcot10，即cotx0 cotx tanxcot(x)， xkpx即xxkp(kZ)，就是xkp(kZ)说明 情景再现4函数f(x)arc tanxarc sinx的值域是A(-，)B， C(- ，) D-，5、设-1a0，arc sina,那么不等式 sinxa的解集为 Ax|2nx(2n1) -，nZ Bx|2n-x(2n1) ，nZ Cx|(2n-1) x2n-，nZ Dx|(2n-1) -x2n，

9、nZ 6、在区间0，上，三角方程cos7xcos5x的解的个数是 ；C类例题例7求使方程sinx有实数解的实数a的取值范围分析 解：sinx0，平方得sin2xa，故asin2x，平方整理得，a2(2sin2x1)asin4xsinx0，这是一个关于a的一元二次方程D(2sin2x1)24(sin4xsinx)4sin2x4sinx1(2sinx1)2 a2sin2x1(2sinx1)其中，asin2xsinx1sin2x，故舍去； asin2xsinx，当0sinx1时，有a，0当a0时，得sinx0或1，有实解；当a时，sinx，有实解即a的取值范围为，0说明 例8解方程：cosnx-si

10、nnx1，这里，n表示任意给定的正整数分析：可先从n1，2，3，着手研究，找出规律再解 n1时，cosxsinx1， n2时，cos2xsin2x1， n3时，cos3xsin3x1， n4时，cos4xsin4x1解：原方程就是，cosnx1sinnx 当n为正偶数时，由于cosnx1，sinnx0，故当且仅当cosnx1，sinnx0，即xkp(kZ)时为解 当n为正奇数时，若2kpx2kpp，则cosnx1，sinnx0，故只有cosnx1，sinnx0时，即x2kp(kZ)时为解；若2kppx2(k1)p，由于1sinnx0，故只能在2kpx2(k1)p内求解，此时x2kp满足方程若2

11、kpx2(k1)p，当n1时，cosxsinx|cosx|sinx|1，当n3时，cosnxsinnx|cosnx|sinnx|cos2x|sin2x|1即此时无解 所以，当n为正偶数时，解为xkp(kZ)；当n为正奇数时，解为x2kp与x2kp(kZ)说明 情景再现7解方程：cos2xcos22xcos23x18求方程x2-2xsin10的所有实数根； 习题251、arc sin(sin2000) (2000年全国高中数学联赛)2已知函数yarcsin(2x), ysinxcosx, ylog2xlog1/2(1x)其中，在区间,1上单调的函数是A、和 B和 C和 D3函数yarcsinsi

12、nxarcoscosx，x0，2）的值域（其中x表示不超过实数x的最大整数）是A0， B-， C0， D-2，-1，0，14已知（-，），sin2sin(-)，则 ；5求方程x2-2xsin10的所有实数根； 6求关于x的方程 x2-2x-sin20的实数根7解方程：；8求方程 sinnxcosnx的实数解，其中m、n是正奇数本节“情景再现”解答：1证明：令arctanxa，arctanyb，arctanzg，则abgp，tanax，tanby，tangz xytanatanbtan(ab)(1tanatanb)tang(1tanatanb)z(1xy)zxyz xyzxyz 设arctanx

13、a，arctan(1x)b，则 tan(ab) cot(ab)1xx2故证2选B解：f(x)(x)20a，b，g，d |g|b|d|a|，故f(a)f(d)f(b)f(g)3选D解：1-x2，yp 4解：定义域1，1，在此范围内arc tanx，arc sinx x，故选D5解：pqxq，(2n-1) -x2n，选D6解：7x5x2kp，xkp，x(kZ)，x，(k0，1，2，3，4，5，6)7解：(1cos2x1cos6x)cos22x1，cos4xcos2xcos22x0，cos2xcos3xcosx0cos2x0，2xk，xk；cos4x，4x2k，xk(kZ)8解：D4sin240，故

14、sin1，k，x2k1(2k1)22(2k1)(1)14k24k2(4k2)0当k为偶数时，4k20，k0；当k为奇数时，4k28k40，k1故解为x1“习题25”解答：1解：2000180018020，故sin2000sin(18020)sin20故原式202解：函数在x,1时，2x1，2，此时yarcsin(2x)无意义；从而A、C均错； ysinpxcospxsin(px )在,1上单调减；故D错； ylog2xlog1/2(1x)log2 log2(1)在,1上单调增故选B3解：x0时，sinx0，cosx1，arcsinsinxarcoscosx0， x(0，)时，sinx cosx

15、 0，arcsinsinxarcoscosx； x时，sinx1，cosx0，arcsinsinxarcoscosx， x(，p时，sinx0，cosx1，arcsinsinxarcoscosxp； x(p，)时，sinx1，cosx1，arcsinsinxarcoscosx； x，2p)时，sinx1，cosx0，arcsinsinxarcoscosx；选C4解：2a2kp-，a2kp-，a-； 2a2kppa，a，a5解：D4sin240，故sin1，k，x2k1(2k1)22(2k1)(1)14k24k2(4k2)0当k为偶数时，4k20，k0；当k为奇数时，4k28k40，k1故解为x16解：D44(2sin)0，4sin4，sin1，2k，x4k1得x22x10，x1(k0)7解：()，但，而故sinx1，csc2x1从而，xk(kZ)8