不等式与不等式综合问题

1、精品资料欢迎下载 1. 不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：a _b .0= a . b; a _b = 0= a = b; a _b : 0= a b. （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式 （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2. 不等式的基本性质 （1）a b= b ：a （对称性 （2） a . b,b c : a .c （传递性） （3） a . b= a c . b c （加法单调性） （4）a.b,c .d=a亠c . b亠d （同向不等式相加） （5）a.b,c ：d = a_c .b-d （异向不等式相减） （6）a

2、. b,c 0= ac bc （7）a.b,c ： 0二 ac： be （乘法单调性） （8）a.b . 0,c . d.0= ac . bd （同向不等式相乘） （9）a b 0,0 g：d = a（异向不等式相除） c d （10）a b,ab .0=-:-（倒数关系） a b （11）a .b .0= an . bn（n 三 Z,且n . 1）（平方法则） （12）a .b .0=na .n b（ nZ,且 n .1）（开方法则） 例1: （12茂名一模）已知a，b都是实数，那么“ ab|”是“ a2 - b2 ”的 （ ） A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充要条件D .既

3、不充分也不必要条件 1 1 例2:（12茂名一模）若0) x | a v x c a | x|a(a 0) x | x a 或 x a | ax + b |vc,| ax +b |ac(c 0) 把ax +b看成一个整体，化成| x | a , | x a（a a 0）型不等式来求解 例3:不等式 3x-4 2的整数解的个数为 ( ) A0 B1C 2 D大于2 例4:不等式| 8-3x |w 0的解集是（） A. 0 B. R C. (1,-1) D. 3 例 5:设 A=x| X-2|v 3 , B=x|x-1p 1，则 A n B 等于() A. x|-1 v xv 5B. x|x 2

4、C. x|-1 v xw 0D. x|-1 v xw 0或2w xv 5 例6：设集合A=x xe Z日.10兰x兰一1 , B=x x迂Z且x兰5，贝V AU B中的元素 个数是() A. 11B. 10C. 16D. 15 例7:不等式丨x+2 | v 3的解集是，不等式丨2x-1 | 3的解集是 1 例8:不等式1 -x 1的解集是 2 例9:根据数轴表示a,b,c三数的点的位置，化简la+bl+la+cl-lb-c|= _. 例 10:解不等式 | x +1|+| x 2|0(a 0) 的解集 X | X 论或 X X2 r 1b _ x| X式 2a R 2 ax +bx+c0(a0

5、) 的解集 X | 为 X X2 0 0 例11:（11广东）不等式2x2-x-10的解集是（ ） 11 A. （,1）B. （1,二）C.（一心,1） （2,二）D.（匕，）_. （1,二） 22 例12: （10广一模）不等式x2 -3x 2 ： 0的解集为 a.:, -2 U -1, : B.-2,-1 c.：,1 U 2,- D. 1,2 例13:（深二模）若对任意正数 2 X，均有a 3 （2） 若a、b R ；则a2 b2 _2ab（或a2 b2 _2|ab|_2ab）（当仅当 a=b 时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么兰竺生（当仅当a=b时取等号） 2 14 例16:已知

6、两个变量x,y满足x+y=4,则使不等式m恒成立的实数 m的取值范围是 x y 例17:已知a、b （ 0, 1 ）且b,下列各式中最大的是（） A. a2+b2B.2 . abC. 2a bD. a +b 例18:已知x+3y-1=0，则关于2x8y的说法正确的是（） A.有最大值8 E.有最小值 2 2 C.有最小值8 D.有最大值 2 2 例19:下列结论正确的是（ A.当x0且x丰1时, igx+ .当x0时, ig x 1 、x 11 C.当x 2时，x + 2 D .当O0,y0,求证： X *y兰lX + y (使用分析法) 2 2 例21: -丄丄_ 3252(2n -1)2

7、71 石 _2(2n _1) (n_2) (使用放缩法) 1 (使用构造法) n 丽 g f(x)g(x) 0; 凹_0= f(x)g(X)-0 g(x)g(x)=o 例 22：求证:-ln(n 1) ： 1- 23 n + 12 6. 不等式的解法 (1) 整式不等式的解法(根轴法) 步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解 特例一元一次不等式axb解的讨论； 一元二次不等式 ax2+bx+c0( a* 0)解的讨论. (2) 分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 (3) 无理不等式：转化为有理不等式求解 卩(x)XO；宀义域 .f(x) g(x)二 g(x)_0 二定乂域 f(x

8、) g(x) f(x) g(x) f(x) ZO 二g(x) 30 或 ! 2 .f(x) g(x) Jf(x) ZO g(x) V0 g於0 f(x)0 g(x) v f(x) vg(x) |f（x）|g（x）二 g（x）兰0（f（x）,g（x）不同时为 0）或敌：雪（口或心皿） 注：常用不等式的解法举例（x为正数） 211 2 34 x(1_x) v 2x(1-x)(1x)违(才访 y=x(f 2X2(1_X2)(1_X2) 34 =0 27 2、3 22I11 类似于 y =sinxcos x =sin x（1 -sin x）， |x -H|x| - |-|（x与-同号，故取等）_2 x

9、x x 线性规划问题： 1了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 3解线性规划实际问题的步骤： （1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：画：画 可行域；移：移与目标函数一致的平行直线；求：求最值点坐标；答；求最值；（4） 验证。 x y _ 1 例23: （12广东）已知变量x, y满足约束条件 x_y_1，则z=x 2y的最小值为 x 1 _0 A. 3 B. 1C.5 D. -6 例24:（11广东）已知平面直角坐标系 M （x, y）为D上的动点，点A 0兰x兰 xOy上的

10、区域D由不等式组 x乞2 给定.若 xV2 的坐标为（4,1），则z=OM OA的最大值为（ A.3 B.4 D.4、“2 x y -20, x - y + 20,表示的 x t C. 3 例25:（ 12广一模）在平面直角坐标系中，若不等式组 平面区域的面积为4,则实数t的值为 A. 1B. 2 例26:（11广一模） 2x - y 一 5, 某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名，x和y须满足约束条件 x - y兰2, x v 6. 则该校招聘的教师人数最多是 A . 6B . 8C. 10D. 12 X-2 乞0 I 例27: （12深一模）已知点P（X, y）在不等式组y_1乞0表示的平面区域上运动，则 x 2y - 2 _ 0 z = x- y的最小值是 A. -2B. 2C. -1D. 1 工2x - y _ 0 例28： （12汕头一模）实数x, y满足不等式组 x，y-2_0，且z = axya . 0取得最 I 6x 3y _ 18 ,则实数a的取值范围是（ 无法确定 小值的最优解有无穷多个 A ._4 5 C. 2 例