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1、名校真题 测试卷10 (数论篇一)时间:15分钟 满分5分姓名 测试成绩 1 ( 05年人大附中考题)有个四位数满足下列条件:它的各位数字都是奇数;它的各位数字互不相同;它的每个数字都能整除它本身。2( 05年101中学考题)9倍,问这个两位数如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零,那么所得的三位数是原来的数的 是 。3 (05年首师附中考题)120250513131313+ + 21 2121 212121 212121214 (04年人大附中考题)甲、乙、丙代表互不相同的 3个正整数,并且满足:甲X甲=乙+乙=丙乂 135.那么甲最小是5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是 (
2、)A 125 B 、 126 C 、 127 D 、 128【附答案】1【解】:62【解】:设原来数为 ab,这样后来的数为 a0b,把数字展开我们可得:100a+b=9X (10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为 45。125133 【解】:周期性数字,每个数约分后为+=121 21 21 214 【解】:题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是个偶数(乙 +乙),这样我们分解135=5 X 3X 3X 3,所以丙最小应该是 2X 2X 5X 3,所以甲最小是:2X 3X 3X 5=90。5 【解】:八进制数是由除以8的余数得来的,不可能出现 8
3、,所以答案是 Db第十讲小升初专项训练 数论篇(一)、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点,各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多,题型多样,变化众多,所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括:整数的整除性,同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。 作为一个理论性比较强的专题,数论在各种杯赛中都会占不小的比重,而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。二、2007年考点预测2007年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论,命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点, 大题则需综合运用数的整除,质数与合数,约数倍数以
4、及整数的分拆等方法,希望同学们全面掌握数论的 几大知识点,能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。三、基本公式1) 已知 b|c,a|c,则a,b|c, 特别地,若(a,b)=1,则有 ab|c。讲解练习:若3a75b能被72整除,问a=,b=.(迎春杯试题)2) 已知 c|ab , (b,c)=1,则 c|a。3) 唯一分解定理:任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即n= pl a1 x p2 a2 x . Xp kak (#)其中p1p2.bcd那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数,因此b=0或5,注意到bcd,所以b=5; 从大到小排列的第2个是abdc,它是
5、不能被4整除的偶数;所以c是偶数,cv b=5, c=4或2 从小到大的第二十个是 adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间,所以a=d+4;因为ab,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的 倍数,和条件矛盾。因此 d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了 a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。【例2】() 一个5位数,它的各个位数字和为 43,且能被11整除,求所有满足条件的 5位数?思路:现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和
6、,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手【解】:5位数数字和最大的为 9X 5=45,这样43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, 8。这样 我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979, 97999, 98989符合条件。【例3】()由1, 3, 4, 5, 7, 8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少?【解】:各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大,首位必须是8,第2位是7, 14-8=6那么第3位一定是5,第5位为1该
7、数最大为 875413。拓展:一个三位数,它由 0, 1, 2, 7, 8组成,且它能被9整除,问满足条件的总共有几个?【例4】() 一个学校参加兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7,女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人?【来源】:06年理工附入学测试题【解】:男生超过总数的 4/7就是说女生少个总数的 3/7,这样女生的范围在 2/53/7之间,同理可得 男生在4/73/5之间,这样把分数扩大,我们可得女生人数在28/7030/70之间,所以只能是 29人,这样男生为41人。2 质数与合数(分解质因数)【例5】()2005 X 684 X 375 X 最后4
8、位都是0,请问里最小是几 ?【解】:先分析1X 2X 3X 4XX 10的积的末尾共有多少个 0。由于分解出2的个数比5多,这样我们可以得 出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意:5的倍数能分解一个5, 25的倍数分解出2个5, 125的倍数能分解出3个5最终转化成计数问题,如5的倍数有10/5=2个。2005=5X 401684=2 X 2X171375=3 X 5X 5X 5前三个数里有2个质因子2, 4个质因子5,要使得乘积的最后4位都是0 应该有4个质因子2和4个质因子5,还差2个质因子。因此里最小是 4。拓展:2005 X 684 X 375
9、X 最后4位都是0,且是7的倍数,问里最小是 【例6】() 03年101中学招生人数是一个平方数,04年由于信息发布及时,04年的招生人数比03年多了 101人,也是一个平方数,问04年的招生人数?【解】:看见两个平方数,发现跟平方差相关,这样我们大胆的设03年的为A2 , 04年的为B2,从中我们发现04年的比03年多101人,这样我们可以列式子B2- A 2 =101此后思路要很顺,因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开,所以B2- A2= (A+B) ( A-B) =101,可见右边的数也要分成2个数的积,还得考虑同奇偶性,但101是个质数,所以101只能分成101 X 1,这样A+
10、B=101, A-B=1,所以A=50, B=51,所以04年的招生人数为 51 X 5仁2601。拓展:一个数加上10,减去10都是平方数,问这个数为多少?(清华附中测试题)3 约数和倍数【例7】()从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如 果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米?(2002,847)=77【解】:边长是2002和847的最大公约数,可用辗转相除法求得辗转相除示例:2002 - 847=2308847 - 308=2231308 - 231=
11、1 77231 - 77=3所以最后剪得的正方形的边长是 77毫米。求2个数的最大公约数,就用大数除以小数 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数【例8】() 一根木棍长100米,现从左往右每6米画一根标记线,从右往左每 5米作一根标记线,请 问所有的标记线中有多少根距离相差4米?【解】:100能被5整除,所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右作,可见转化成讨论5, 6的最小公倍数中的情况,画图可得有2根距离为4米,所以30, 60 , 90里各有2条,但发现最后96和
12、100也是距离4米,所以总共2 X 3+仁7。拓展:在一根长木棍上,有三种刻度线第一种刻度线将木棍分成十等份;第二种将木棍分成十二等份;第三种将木棍分成十五等份 如果沿每条刻度线将木棍锯断,那么木棍总共被锯成多少段?2以外都是奇数质因数,可见我【例9】() 1、2、3、42008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积?【解】:最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数,这样我们发现除们只要找需要多少个2,所以只要看12008中2 v n谁最大,可见2 v 10=1024,所以为10个2。【例101( )有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数,2号
13、说:“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,依次下去,每位同学都说,这个数能 被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。(写出解题过程)【解】:1)首先可以断定编号是 2, 3, 4, 5, 6, 7号的冋学说的一定都对。不然,其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对,这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此,这个数能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除。其次利用整除性质可知,这个数也能被2 X 5, 3X 4
14、, 2 X 7都整除,即编号为10, 12, 14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。2)这个数是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060因为60060是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的数就是 60060。4 数论的综合题型【例11】()某住宅区有12家住户,他们的门牌号分别是1, 2,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电话号码的首位数字 都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被
15、13整除,问:这一家的电话号码是什么数?【解】:设第一户电话号是 x+1,第二户x+2,.第12户电话号x+12根据条件得 x+i是i的倍数(i=1,2,12)因此x是1, 2,.12的公倍数1,2,.12=27720 所以 x=27720m27720m+9是13的倍数,27720除以13余数为4所以4m+9是13的倍数 m=1,14,27.第一家电话号码是 27720m+1 m取14合适;因此第一家电话号码是27720*14+1=388081拓展:写出连续的11个自然数,要求第1个是2的倍数,第二个是 3的倍数第11个是12的倍数?【例121( )有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到
16、15号。1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,依次下去,每位同学都说,这个数能 被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。(写出解题过程)【解】:1)首先可以断定编号是 2,3,4,5,6,7号的冋学说的一定都对。不然,其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对,这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此,这个数能被2,3,4,5,6,7都整除。其次利用整除性质可知,这个数也能被2 X
17、 5,3X 4,2 X 7都整除,即编号为10,12,14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。2)这个数是 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060因为60060是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的数就是 60060。小结本讲主要接触到以下几种典型题型:参见例1,2,3,4。参见例5,6参见例7,8,9,10参见例11,121)数的整除。2)质数与合数(分解质因数)3)约数和倍数。4)数论的综合题型。【课外知识】打开另一扇心窗很久以前,在意大利的庞贝古城里,一个普通人家出生了一个
18、叫莉蒂雅的女孩。莉蒂雅自小双目失明,但她并不怨天怨地,也没有垂头丧气,反而热爱生活,对生活充满信心和希望。稍稍长大后,她像 常人一样劳动,靠卖花自食其力。不久,维苏威火山爆发,庞贝城面临一次大的灾难,整座城市被笼罩在 浓烟尘埃之中。浓密的火山灰,遮掩了太阳、月亮和星星,大地一片漆黑。黑暗中,惊慌失措的居民跌跌 撞撞地根本找不到出路,人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见,但这些年来,她走街串巷在 城里卖花,对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路,不但救了自己的家人,还 救了许多市民。后来,莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂,并出现在很多的文学作品中。启迪:莉蒂雅的不幸反而成
19、了她的大幸,她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实,上苍很公平。有时候,命运向你关闭这一心窗的同时,又为你开启了另一心窗,同样可以享受人生的快乐作业题(注:作业题-例题类型对照表,供参考)题1, 4 类型1 ;题2,6类型3;题3,5,8类型2;题7类型21. ()在1100这100个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少?解:1+2+100=50509+18+27+99=9 X (1+2+ +11)=495随意1-100中所有不能被9整除的数的和是 5050-495=455512. ( )某班学生不超过60人,在一次数学测验中,分数不低于90分的人数占-,得8089分的人
20、711数占一,得7079分得人数占,那么得70分以下的有 人。23111解:有一、一、一,说明总人数一定为 7的倍数、2的倍数、3的倍数,故为7、2、3 = 42的倍数;72 3又由于人数不超过 60人,故这班的人数只能为42人。f 111、从而70分以下的有:42X 1 一一 一一 |= 1人。I 723丿3. ( )自然数 N是一个两位数,它是一个质数,而且N的个位数字与十位数字都是质数,这样的自然数有个。解:枚举法:23, 37, 53, 73,有4个4. ()三个自然数,其中每一个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除,那么这样的三个自然数的和的最小值是多少?解:这三个自然数最小是6, 10, 15 (分别是2X 3,2X 5,3X 5)和的最小值为31。5、()五个连续偶数之和是完全平方数,中间三个偶数之和是立方数(即一个整数的三次方),这样一组数中的最大数的最小值是多少?解:设中间一个数为 2x那么5个数的和为10x=mA2中间3个数的和为6x=nA3设 x=2Ap X 3Aq X 5Ar再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幕都是偶数,一个数是立方数等价于他的各个质因子的幕都是3的倍数可以求得 p=5
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