热传导方程的初边值问题[教学应用]

1、例4 周期初始温度分布求解热传导方程,给定初始温度分布。解 .初始高斯温度分布例 5求解定解问题，其中常数. 解 .3初边值问题设长度为,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布满足以下初边值问题对于这样的问题,可以用分离变量法来求解. 将边值齐次化令再作变换引入新的未知函数,易知它满足我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形解 设代入方程这等式只有在两边均等于常数时才成立.令此常数为,则有 （3.4） （3.5）先考虑（3.5）,根据边界条件(3.3),应当满足边界条件 （3.6）情形A： 当时,方程（3.5）的通解可以写成要使它满足边界条件（3.6）,就必须由于只能故

2、在的情况得不到非平凡解.情形B： 当时,方程（3.5）的通解可以写成要满足边界条件（3.6）,即.也只能恒等于零.情形C： 当时,方程（3.5）的通解具有如下形式：由边界条件知再由可知,为了使就必须于是 （3.7）这样就找到了一族非零解 （3.8）称为常微分方程边值问题的固有函数（特征函数）.而称为相应的固有值（或特征值）.将固有值代入方程（3.4）中,可得 （3.9）于是得到一列可分离变量的特解 （3.10）由于方程（3.1）及边界条件（3.3）都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解 （3.11）其中.由（3.2）,为使在时,取到初值,应成立 （3.12）得出. （3.13）得到问题（

3、3.1）（3.3）的解其中,.定理 若则 （3.14）是 的古典解（经典解）.证明 由得在上可积.对任意当时,成立（任意整数）又对任意而级数收敛,所以在上一致收敛.于是，即级数,当时,关于及具有任意阶的连续偏导数,并且求偏导与求和可以交换.由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数在时,确实满足方程及边界条件.再由的任意性,得在时满足方程及边界条件,且再证由条件由Bessel不等式,知,从而得到在上一致收敛, 在上一致收敛于,从而得在上连续.于是.3.1初边值问题解的渐近性态定理 假设初始函数满足则当趋于无穷大时,问题（3.1）（3.3）的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当时,对一

4、切,其中是一个与解无的正常数.证明 古典解是唯一的,是唯一的古典解,其中在上有界,设,则有当时.3.2非齐次方程求解方法齐次化原理考虑非齐次方程.齐次化原理：若是下述问题 （*）的解（其中为参数）,则是非齐次问题的解.证明 显然,则满足.是非齐次问题的解.现在来求问题（*）的解.作变换则问题（*）化为 （*）我们已知问题（*）的解为其中,.于是故是非齐次问题的解.初边值问题的解为其中,.3.3非齐次初边值问题的特征函数展开法 （3.15）方法步骤 把,方程的非齐次项和初值都按照特征函数系展开：由特征函数系在区间上的正交性,可得,.而函数暂时还是未知的.为确定,把上述展开式问题（3.15）代入方

5、程和初始条件,由特征函数系的完备性,从而得到适合下列微分方程和初始条件.于是得到从0到积分故非齐次初边值问题解的表达式为这与前面的结果一致.能量衰减估计用乘以方程两端,在上积分,于是, ,.定理 (Cauchy-Schwarz不等式)设在上可积，则有。证明 证法一 对区间的任意分割：，任取 ，记，；由于成立 ，在上式中，令取极限，则得到 ；证法二 考虑二次函数，；如果，在上式中取，得到，从而，于是成立；如果，则对，成立 ，必有 ，此时自然成立，。 定理 (Minkowski不等式)设在上可积，则有.证明 因为，若，则不等式自然成立；若，则消去公因子，所以1. 用Cauchy-Schwarz不等式证明（1） 若f (x)在