17-18版第7章第34课等差数列及其前n项和

1、第 34 课等差数列及其前n 项和 最新考纲 要求内容ABC等差数列1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列用符号表示为an1and(n N ，d 为常数 )(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是Aab，其中 A 叫作 a， b 的等2差中项2等差数列的有关公式(1)n a1 (n 1)d.通项公式： a1 an(2)n na1n n1 d n a.前 n 项和公式： S223等差数列的常用性质(1)通项公式的推广： an am(n m)d(n，mN )(2)若 an 为等差数列，且kl m

2、n(k， l，m， n N)，则 akal am an.(3)若 an 是等差数列，公差为d，则 a2n 也是等差数列，公差为2d.(4)若 an ， bn 是等差数列，则 panqbn 也是等差数列(5)若 an 是等差数列，公差为d，则 ak，ak m，ak 2m， (k， mN)是公差为 md 的等差数列1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1) 若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列n 为等差数列的充要条件是对任意 ，都有 2an 1anan 2 a n N.()(3)等差数列 an 的单调性是由公差 d

3、决定的 ()(4)数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数 ()答案(1)(2)(3)(4)2等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 S36，a30，则公差 d_. 2 依题意得 S33a26，即 a22，故 d a3a2 2.3(2017 南京模拟 )若等差数列 an 满足 a7a8 a90，a7 a100， a8a90， a9 0，S3S11，则当 n 为多少时， Sn 取得最大值(1)7 法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有 a41a42a433a42，同理第二行也有 a51a52a533a52，第三行也有 a61a62a633a62，又每列也成等差数列

4、，所以对于第二列，有 a42a52a623a52，所以 a41a42a43a51a52 a53 a61a62a633a423a523a6233a5263，所以 a527.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9 个数均相同，显然满足题意，所以有 639 7，即 a527.法一：由3 S11，可得 3a13 211110，(2)S2 d11a2d2即 d 13a1.d2d1249a从而 Sn2n a1 2 n13(n 7)13a1，a1因为 a10，所以 130，S3S11 可知 d0，a80，d0a的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm.，时，满足0m10a 变式训练n3a9

5、 27a6， Sn 表示数列 an 的前n项和，则3 (1)在等差数列 a 中， aS11_.1199因为 a3 a927 a6,2a6a3a9，所以 3a6 27，所以 a6 9，所以 S11 2 (a1a11)11a6 99.(2)设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 S510，S1030，则 S15_.60 因为数列 an为等差数列，所以 S5，S10 S5，S15 S10 也成等差数列，设 S15x，则10,20，x30 成等差数列，所以220 10(x 30)，所以 x 60，即 S1560. 思想与方法 1等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及 “五个量 ”，“ 知三求二

6、”，需运用方程思想求解，特别是求a1 和 d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为 ，a2d，a d，a，ad，a2d， .(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为 ， a 3d，ad，ad，a3d，.2等差数列 an 中，an anb(a，b 为常数 )，SnAn2 Bn(A，B 为常数 )，均是关于 “n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程3等差数列的四种判断方法：(1)定义法： an 1 and(d 是常数 )? an 是等差数列(2)等差中项法： 2an 1 an an 2(nN)? an 是等差数列(3)通项公式： an pn q(p，q 为常

7、数 )? an 是等差数列(4)前 n 项和公式： Sn An2 Bn(A， B 为常数 )? an 是等差数列 易错与防范 1要注意概念中的 “ 从第 2 项起 ”如果一个数列不是从第2 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别3求等差数列的前n 项和 Sn 的最值时，需要注意 “自变量 n 为正整数 ” 这一隐含条件课时分层训练 (三十四 )A 组基础达标(建议用时： 30 分钟 )一、填空题在等差数列n中，若前10项的和1060，且 a77，则 a4 _.1 a S10a1 45d60，a1 3，5 法一：由题意得 a1

8、6d 7，解得d2，3 a4 a13d5.法二：由等差数列的性质有a1a10 a7a4， S10 10 a1a10 60， a1a1012.又 2a77， a45.2已知数列 an 是等差数列，且 a7 2a4 6， a32，则公差 d_.【导学号： 62172187】4 法一：由题意得 a3 2， a72a4 a34d2(a3 d)6，解得 d4.72a4 a1 6d 2 a13d 6，a1 6，a法二：由题意得3a1 2d 2，解得4.ad3设n 为等差数列 an的前n项和，若1 1，a35，Sk2 Sk 36，则 k 的值为Sa_8 设等差数列的公差为 d，由等差数列的性质可得 2da3

9、 a14，得 d2，所以 an12(n1) 2n1，Sk 2 Skak 2 ak 12(k2) 12(k1)14k436，解得 k 8.4若数列 an 满足 a115，且 3an 13an2，则使 akak10 得 n23.5，使 akak10 的 k 值为 23.5(2017 苏州期中 )等差数列 an 中，前 n 项和为 Sn，若 S4 8a1，a44a2，则 S10_.120 an 为等差数列， 2da4a24，d2.43由 S48a1 得 4a1 2 28a1，即 a13. S1010310 9 2 120. 26(2016全国卷改编)已知等差数列n前9项的和为10 8，则 a100

10、a 27 ， a_.98 法一： an 是等差数列，设其公差为 d，9 S9 2(a1a9 )9a527， a5 3.a14d 3，a1 1，又 a10 8，a19d 8，d1. a100a1 99d 1 99198.法二： an 是等差数列，9 S9 2(a1a9 )9a527， a5 3.在等差数列 an 中， a5，a10，a15， ， a100 成等差数列，且公差d a10a5835.故 a100a5 (20 1)598.已知数列n中， 11 且1 11 )，则 a10_.7 a aan 1an 3(n N【导学号： 62172188】1 由111得 1为首项为 1，公差为 1的等差数

11、列，1 1 (n1)1n2，4an1a3an3a33nn a103112 .48设数列 an 的通项公式为 an2n 10(nN)，则 |a1| |a2| |a15|_.130 由 an 2n10(n N )知an是以 8 为首项， 2为公差的等差数列，又由an 2n10 0 得 n 5， n5 时， an0，所以 a3a4，所以 a3 9， a413，所以a12d 9， a1 3d 13，所以a1 1，d4.所以通项 an4n3.11， d 4，(2)由(1)知 an n 12121所以 Sn na12d2nn2 n48.所以当 n1 时， Sn 最小，最小值为 S1a1 1.(3)由(2)

12、知 Sn 2n2 n，2Sn2n n所以 bn，1615所以 b11 c，b22c， b33c.因为数列 bn 是等差数列，所以 2b2b1 b3，6115即 2 c21c3c，所以 2c2c0，1所以 c 2或 c 0(舍去 )，1经验证 c 2时， bn 是等差数列，1故 c 2.B 组能力提升(建议用时： 15 分钟 )1设等差数列 an ， bn 的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数n 都有 Sn 2n 3， Tn 4n 3则 a9 a3 的值为 _b5b7 b8b419 an，n为等差数列，41 b aaaaa9 a3a93936 b5 b7b8b42b62b62b6b6

13、.S11a1a112a62 11319 T11b1b11 2b6 4 11341，a619 b641.nn为常数，则称数列 an 为“吉祥数项和为 n，若 S2(2017 南京模拟 )设数列 a 的前 nSS2n列”已知等差数列 bn的首项为，公差不为，若数列n为“吉祥数列”，则数列n10 b b 的通项公式为 _n 2n1 设等差数列 bn的公差为d(d0)，Sn k，因为 b11，则 n1bSn(n1)d22n1k 2n22n 2n 1 d ，即 2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得 (4k1)dn(2k1)(2d) 0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以 (4k1)d0，(2k1

14、)(2d) 0，1解得 d2，k4，所以数列 bn 的通项公式为 bn2n1.3已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，a1 1， an0，anan1 Sn 1，其中 为常数(1)证明： an2 an ；(2)是否存在 ，使得 an 为等差数列？并说明理由 解(1)证明：由题设知 anan 1Sn1，an 1an2Sn11，两式相减得 an 1(an 2an)an1，由于an 1 0，所以an2an .(2)由题设知a1 1， a1a2S11，可得 a2 1.由 (1)知， a31.令 2a2a1a3，解得 4.故 an 2an 4，由此可得 a2n 1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，

15、 a2n 14n3； a2n 是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a2n4n1.所以 an 2n1，an 1 an2，因此存在 4，使得数列 an 为等差数列4(2017 苏北四市摸底 )已知数列 an 满足 2an 1 anan 2 k(n N ，kR)，且 a12， a3 a5 4.(1)若 k0，求数列 an 的前 n 项和 Sn；(2)若 a4 1，求数列 an 的通项公式 an. 解(1)当 k 0 时， 2an 1 anan 2，即 an 2 an1an 1 an，所以，数列 an 是等差数列a1 2，a12，设数列 an 的公差为 d，则解得42a16d 4，d 3.所以， Sn na1n n 1d2nn n1 42 28223 n n.33(2)由题意，4a3 a5k，即 2 4 k，所以 k2.2a又 a42a3a2 2 3a2 2a16，所以 a23，由 2an1anan22，得 (an 2 an 1)(an 1an) 2