数学高考解题研究(共63页)

1、数学高考解题研究陕西师范大学数学系 罗增儒邮编 710062 电话emil :zrluosnnueducn不管人们怎么看高考和对高考的研究已经构成了一个具有中国特色的文化现象它是考试文化的一部分也是数学文化的一部分涉及高考的性质、高考的复习、高考的解题、高考的命题和高考临场的技术等很多方面有的属于教育有的属于数学其中的高考解题正与竞赛解题形成“双龙出海”之势堪称中国初等数学研究大地上的长江与黄河 罗增儒：谈中学教师的数学研究工作中学数学教学参考1997年第79期1 从数学高考的变革到高考解题的认识1-1 数学高考的32年回顾数学高考自1977年恢复以来32年间“两个

2、有利”基本不变但考试工作不断改革命题改革不断深入1-1-1 考试工作不断改革1977年12月10日恢复的高考沿用了“文革”前的考试办法：文理分科文史类专业考政治、语文、数学、历史、地理、外语；理工类专业考政治、语文、数学、物理、化学、外语、生物但是由于准备工作来不及1977年的高考由各省、市、自治区独立命题文理两类都只考政治、语文、数学文科加考史地理科加考理化可以说这是一种早期的各省自主命题且采用“3+x”模式（但“3”没有外语）从1978年开始高考恢复全国统一命题前几年的关键词是“恢复”试题主要“考知识”, 1985年以后高考发展的总体趋势朝着减少高考科目的方向前进先是将理科7门、文科6 门

3、均减为32共5门（上海则实行31共4门的方案）这一年国家教委决定在北京大学等43所高等学校进行招收保送生的试点工作1989年8月国家教委决定将广东省试行4年的标准化考试逐步推向全国推行命题标准化、施测标准化、评卷标准化；1993年又推行标准分数制度1994-2001年间曾有7个省市采用标准分后来由于社会不理解而陆续退出1991年实行高中毕业会考并在总结（恢复）高考十五年成果的基础上正式颁布考试说明对考试目的、考试性质、考试内容、考试要求以及试卷的题型构成、难度构成、学科构成等都作出了规范的界定与明确的说明1996年后上大学实行收费；1997年高校全面并轨,到2000年一直由国家“全包”的师范专

4、业亦执行收费标志着招生并轨改革的落幕而2007年教育部对六所部属师范大学又实行免费师范生制度1998年起高校扩招如今毛入学率已达到21%步入高等教育的大众化阶段（毛入学率在15%以下为精英教育达到15%为大众教育）成为中国高教史上备受好评亦饱经争议的一件大事考试的时间也由一年一次增加为一年两次从免费到收费从精英教育到大众教育表明在20世纪末中国的高考已与社会的变革“接轨” 1999年全国实行“3x”高考科目设置改革方案数学课提出了高考命题“能力立意”2001年教育部宣布取消高考考生年龄和婚姻限制2003年起高考从月改为6月并试行高校自主招生北大、清华等22所高校被赋予的自主招生权；这一年国家教

5、育部允许香港高校在内地自主招生赴港念大学在2006年形成一个小高潮2004年教育部决定在上海（1985年）、北京（2002年）两地试行的基础上扩大省市高考自主命题2004年有11个省市（上海、北京、天津、辽宁、江苏、浙江、福建、湖北、湖南、广东、重庆）2005年有14个省市（增加山东、安徽、江西）2006年达到16个省市（增加四川、陕西）2007年首批进行实验的4个省（广东、山东、海南、宁夏）开始新课程高考2008年增加到5个（江苏）2009年增加到10个（福建、辽宁、浙江、安徽、天津）明年还会有5个省市（北京、陕西、湖南、黑龙江、吉林）进入新课程高考还有网上阅卷（2000年广西率先网上阅卷）

6、、网上系统（在北京便可看到全国的考场）等举措总之高考改革连年不断高考经历了从恢复、到规范、到改革的发展1-1-2 命题改革不断深入1977年恢复高考的头几年试题主要“考知识”曾有“高分低能”的非议；1984年“出活题、考能力”考生成绩低社会有议论；1985年开始“出活题、考基础、考能力”趋于平稳；1996年后注重了“数学思想方法”的考查1999年数学高考命题提出了“能力立意”题型上1985年开始引进选择题1993年强调了“数学应用题”、“开放探索题”1994年有“信息迁移题”1998年出现了“数学情景题”和“数学开放题”2002年把三角形剪拼为三棱锥的题目是一道有深刻数学背景的开放题2008江

7、苏高考取消了选择题（2009能高中数学联赛取消选择题）题量上,经历了从少到多、从增到减的变化过程.19781982年一般为六九道大题（连小题、附加题一般不超过10道）；1983年开始使用选择题（5道）有九大题、15小题、18问之后主要是选择题的题量增加到1992（18道选择题）、1993年（17道选择题）达到全卷28题30问；之后主要是选择题的题量减少到2001年基本稳定在22题28问.可以说高考命题一直在“稳中求进稳中求变、稳中求新”已完成了从经验性命题向命题标准化、施测标准化、评卷标准化等的过渡考试更加公平、公正、公开在探索公平选拔、为素质教育服务的道路上已形成了一些稳定性的风格和值得注意

8、的导向（1）在明确考查“三基四能力”的基础上更加突出数学思想方法的考查突出数学与现实生活的联系 （2）在主体上考查中学数学的同时体现进一步学习高等数学的需要主要体现在一些有挑战性的拉距离题上尤其是各省独立命题之后关注点从关注学生的现实水平变为“关注学生的未来发展潜能与关注现实水平相结合”. （3）新课程理念的渗透虽然新课程高考2007年才开始出现但其三维目标和十个基本理念在新课程实验时就开始渗透如拓展命题范围出现人文关怀体现“情感、态度、价值观”课程目标（4）在命题技术上可以看到：以教材为依据又不拘泥于教材在知识交汇处设计命题 能力立意重视代数抽象推理的考查改变了“知识立意”和“代数考计算、几

9、何靠推理”的旧认识减少题量降低难度增加学生分析思考的时间对三类题型设计了两个从易到难的三个小高潮变小量难题把关为全卷把关试题切入容易深入难（阶梯题）避免死记硬背的内容和繁琐的运算（试卷提供难记易忘的公式）文理分卷难度有区别（姐妹题）1-2 高考解题研究的初步认识由上面的简要回顾可以看到高考变革对解题研究影响比较大的因素主要有5个分为2大类.1-2-1 稳定性因素 （1）试卷题型.1983年引进选择题并逐步增加到18题、稳定在12题导致了选择题的研究.1988年定型、并由考试说明法定下来的三大题型导致了选择题、填空题、解答题三大题型的研究.陆续出现的“应用题”、“探索题”“信息迁移题”“情景题”

10、和“开放题”推动了多类题型的广泛研究.（2）选拔性质.高考选拔的特点是以解题能力的高低为考核标准一次性决定胜负的如果说平时解题也是一种认识活动是对概念、定理的继续学习是对方法的继续熟练是在发生数学和掌握数学的话那么高考则是“通过解题水平来看数学思维水平”是一种评估活动.当一道数学题成为高考题后将具有不同于平时作业题的特性如能力的代表性；分数的选拔性；时间的限定性；评分的阶段性.需要我们迅速解决两个基本问题：从何处下手？ 向何方前进？由此决定了解题的基本策略和答题技术. 基本策略有： 模式识别差异分析层次解决数形结合当然最重要的是学会分析.答题技术有： 分解分步的解题策略 缺步解答引理思想（中途

11、点）的解题策略 跳步解答以退求进的解题策略 退步解答正难则反的解题策略 倒步解答扫清外围的解题策略 辅助解答（3）命题方式.高考命题的依据是考试说明而考试说明的依据是课程标准教材是课程的具体化因此高考命题最根本的依据是教材.由教材编拟试题的好处：依纲靠本抓住课本编题不容易偏离课标教材也不容易产生偏题、怪题或过难的题切合学生实际也有利于学生以稳定的心态作答、正常发挥 既有利于检查知识又可以考查能力这类题目与课本内容有某种直接联系但又作了一定的变化所考查的是“学生理解了的知识”既不能仅凭死记硬背作答又经过努力可以做出来对命题教师既实用又易行教师离开教材重新组织全部题目不仅工作量大而且容易偏离课标的

12、知识技能目标或过程性目标；如果照搬各种资料则有较大的盲目性不易结合学生的实际由教材编拟试题既实用、可靠、又容易掌握有人担心由教材编拟试题会缺少创新其实不然关键在编题技术的运用.由教材编拟试题的途径：选编课本原题考试用成题存在公平性的问题通常是要避免的但课本成题却是一个小小的例外因为它对每个考生是公平的问题是要有典型性、数量适度、并尽量减少“导致死记硬背”的负面影响课本中有很多体现核心知识、基本方法或典型模式的例题、习题（重要定理的内容、证法及应用、自然构成典型模式）不仅基本题可以用综合题也可以用用好了还能提供“踏踏实实钻研教材”的导向抵制“资料泛滥”或“题海战术”的歪风仿制课本类题根据课本的题

13、目类型与编拟思想或变换数据、或变更情境编成试题生成课本变题.直接由定义、定理、公式、法则、以及基本运算、基本推理、基本作图、基本方法、基本经验、基本思想等编拟理解题相当于日常教学的变式练习 综合题更注重知识的整体性结构更注重概念的实质性理解更注重能力的综合性与灵活性应用（高、中档题）；多个公式、多道习题、多个方法的串联、并联与综合习题的延伸或推广增加习题的层次（如给条件增加充分条件、给结论增加必要条件又如换元、把字母换成代数式等）改变设问的方向（如改变知识的形态、从新形态的视角设问又如交换条件与结论的位置产生逆向问题）引进讨论的参数（如把已知数据换成要讨论的字母又如隐去条件、反过来问当什么情况

14、下时有结论成立）设置隐含的条件创设新情景（如分散条件、或引进应用情景等）类比具体实施时常常是多项措施的同时使用由此产生高考解题的基本方向：化归为课堂上已经解决的问题，包括课本已经解决的问题和往年的高考题.1-2-2 发展性因素（4）自主命题.2004年教育部决定在上海（1985年）、北京（2002年）两地试行的基础上扩大省市高考自主命题标志着中国高校招生入学考试实行统一命题这个已经延续了半个世纪的方式迈出了实质性改革的一步有利于素质教育的实施一张试卷难以适应不同层次和不同方面的不同要求分省命题有利于提高选拔的科学性； 一张试卷承担的风险过分集中分省命题可以防范和降低过分集中而带来的风险；一张试

15、卷难以适应以省市为单位的中学课程改革的实际分省命题有利于中学课程教学改革的推进；16个省市自主命题使原来的文、理各1套国家卷十几倍的增加以前只有国家卷解题训练不够用现在自主命题解题训练用不命题风格的多样性、活泼性和新颖性大大增强“问题试题”也增加.（5）新课程实施.新课程实施不仅带来了考试内容的变化（理科从15个知识模块增加到21个知识模块文科也从13个知识模块增加到20个知识模块另外还有选修模块总趋势是宽而浅了）而且教育理念、人才规格、课程目标等都发生了变化这对命题会产生影响也必然要对解题产生影响.比如三维目标中的“方法与过程”如何考查？“情感、态度、价值观”如何考查？案例1 以能力立意命题

16、.例1-1已知函数若且证明.（1994年数学高考理科第（22）题12分）例1-2 已知函数(a0且a1xr+)若x1x2r+判断与的大小并加以证明（1994年数学高考文科第（22）题12分）讲解 本题在命题之初的基本立意是考查代数抽象推理背景是高等数学中函数的凸、凹性在确定这一立意以后选用了各种函数如因为当年数学科需要命制四种试卷其要求从高到底依次为老高考理科、新高考理科、老高考文科、新高考文科因为考查要求和难度要求不同经过比较决定老高考理科选定正切函数老高考文科选定以a为底的对数函数（需要分和两种情况讨论）新高考文科选定以10为底的常用对数函数由此可以看出不是首先选定考试内容的大类如代数、三

17、角、立体几何或解析几何然后的逐级细化而是先选定考查目的根据考查要求选定考试内容在编制设问时也是考虑到不同试卷的考查特点例如对理科试卷目的是考查考生的严密的逻辑推理能力所以应用了直接设问的方式；而对文科考生着重考查考生猜想、直觉判断再加以论证的能力所以其设问为“判断的大小并证明你的结论”从以上的命题过程可以看出，以能力立意命题拓展了命题思路 案例 数学思想方法的考查例2-1 设，求+（1985年数学高考理科第二（4）题）解法1 由二项式定理有，与已知条件作比较，得则 .可见，最终归结为的计算，这也可以由“差异分析”得出.解法2 让我们将已知式与求值式逐项对齐，并进行差异分析可见，已知式中的项有字

18、母，结论中的每一项都没有字母“没有字母”是什么意思？可以理解为每一项的字母都等于1，消除差异的办法应同时取所以取代人已知式，得评析 可见，在差异分析观点之下，取值就不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施并且，这一经验积累，又与“特殊化”的策略思想相通，可以用来处理很多数学问题（化归为往年的高考题）：例2-2 已知，那么（1989年高考数学第（16）题）解 设，则 填说明 我们在阅卷中发现，相当一部分考生令得答案为，其实得到的是 ，而所求的值，应再减去，从而 究其原因，是考生一见题型很熟悉，没有认真看清题目的小变化，就匆匆作答，结果“会而不对”例2-3 若，则的值为（ ） （a

19、）1 （b） （c）0 （d）2（1999年高考数学理科第（8）题）解 设，则选（a）说明 若把所求式展开为，会由于求不出平方而导致思路中断，这叫做解题的“策略性错误”例2-4 若，则(用数字作答)（2004年数学高考天津卷理科第（15）题）解 设，则例2-5 已知，则的值等于（2007年数学高考安徽文科第（12）题）解 分别取，有 ，解得 ，所以 例2-6 若,则 (用数字作答) (2008年福建理科第（13）题)例2-7 若，则的值为（a）2 （b）0 （c） (d) （2009年数学高考理科第（6）题）解法1 选（c）（求解对照）由二项式定理有，与已知条件作比较（或令，逐次求导后继续令）

20、，得， 则 解法2 选（c）（求解对照）设，则， ，相减 说明 （1）为什么7年都考此类题？看来不是为了考二项式定理，而是考“特殊与一般的基本数学思想”. （2）由7年都考此类题，可感悟高考解题的一个基本思路：模式识别（化归为课本已解决过的问题、化归为往届高考题），差异分析案例3 在知识交汇处设计命题例3 已知双曲线的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为求双曲线的方程； (ii)如图1，是双曲线上一点，两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围图1（2009年全国高考数学陕西卷（理科）21题）讲解 本题涉及双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，向量定比分点公式，直线

21、方程，点到直线距离公式，三角形面积公式，利用导数（或不等式）研究闭区间上的值域（涉及函数的单调性、极值）等不下个知识点，体现了在知识交汇处设计命题其中，的面积公式在新课程必修5（北师大版）中，曾以例题的形式出现过（用的是向量法）本题涉及函数与方程、数形结合、化归与转化等基本数学思想，用到待定系数法（题中可出现及等个字母）、代入法、消元法（要消去点坐标、点坐标、点坐标及等多个字母，很容易走弯路）一个思路：考虑更一般性的问题：例3-1 设是双曲线：上一点，两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围解法3 分三步求解.第1步：求的面积表达式（用的坐标表示）设，则直线的方

22、程为，即 原点到直线的距离（即的高）为 ，得的面积为 第2步：将面积表达式转化为的函数（消去中6个坐标，用到三点共线，及在双曲线的两条渐近线上）首先，由在双曲线的两条渐近线有， 代入得 又由得点的坐标为 代入，注意到，得 得 代入得面积为， 第3步：求面积函数在闭区间上的值域（1）当时，由基本不等式有且，故在上的最小值为 又，当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；的最大值为所以，面积的取值范围为（2）当时，有或，由上面的讨论知在区间上均为单调函数，记得面积的取值范围为题目的更广泛背景是例3-2过双曲线上一点，作双曲线的切线交两渐近线于两点，则称为双曲线的渐近三角形，双曲线的渐近三角形有如下性

23、质：（1）； （2）； （3）； 图2（4）；（5）记边上的高位，则，； （6）记点到两渐近线的距离为，则；（7）记与轴交于点，则；（8）记与轴交于点，则2 从高考解题的认识到高考解题的教学从1977年恢复高考历史走过了波澜壮阔的30多个春秋环绕着高考工作的文化积累正在考试学、数学等维度形成学术成果我期待着数学高考学的诞生数学高考的全程工作有4个基本问题:掌握数学知识问题 怎样复习（教育学）提高解题能力问题 怎样解题（数学）运用考试技术问题 怎样答题（考试学）科学填报志愿问题 怎样选择（运筹学）最核心的是解题搞好复习是为解题积聚力量，运用考试技术是为解题作充分的发挥，分段得分的技术基础是解题策

24、略我们对高考解题教学的基本建议是：明确解题过程.学会审清题意.运用应对高考的解题策略.运用应对高考的答题技术.明确各类题型的求解思路.2-1 明确解题过程我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程它通常包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤把书写等同于解题过程既不符合事实，更没有反映出问题的本质有时候，一个精炼而漂亮的书写恰好严严密密地掩盖着一个复杂而生动的思考；书写不是一点也不反映思考的过程，而是更加反映思考的初步结果（学解题正是要学会对这个“初步结果”的反思分析）不同的人对不同的题目，同一个人对同一个题目的不同处理，会使解题的过程既千差万别又百态千姿但是，不同的现象会有相同的本质，不同的形

25、式会有相同的实质，我们从便于操作理解的角度介绍两个解题过程：4个步骤的解题程序与“三位一体”的信息过程2-1-1 波利亚的4步骤解题程序著名数学家、数学教育家波利亚写过一本风靡世界的书，叫做怎样解题，书中把解题过程分为四步：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，并列出了一张解题表我们对解题表解说如下：（1）弄清问题.我们通常也叫做理解题意，主要是明确已知是什么？求证（解）是什么？亦即从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息题目的条件和结论是两个信息源从条件发出的信息，预示可知并启发解题手段，从结论出发的信息预告需知并诱导解题方向，为了从中获取尽可能多的信息，我们要逐字逐句地分析条件、分析结论

26、、分析条件与结论之间的关系，常常还要辅以图形或记号，以求得目标与手段的统一对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的目标与原始基础，继而可以用“差异分析”、“数形结合”等措施（2）拟定计划.“拟定计划”的过程是探索解题思路的发现过程，也是一个化归过程，我们通常叫做寻找解题思路其最朴素的含义是，把待解决或未解决的问题，归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题波利亚的建议是分两步走：努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等)，这是最简单的直接化归如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改，引

27、进辅助问题等，这是最实质的曲折化归为此，在“怎样解题”表中，波利亚拟出了启引我们不断转换问题的30多个问句或建议，促使我们产生灵感与念头如：“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？”这提示着熟悉化的原则和模式识别的策略；又如“看着未知数”，“回到定义去”，“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？”，这里既有重新表述问题、分解或重新组合，又有考虑相关问题、一般化与特殊化，还有联想与类比，都是在启发化归的念头，都是在提示化归的途径这实际上是阐述和应用化

28、归策略，并进行资源的提取与分配， “过去的经验和已有的知识”是化归的基础 中学生寻找思路的一个便于操作的方法是分析法寻找思路的一个简易可行的思考是“特殊化”，先退后进、以退求进此外，模式识别、差异分析、数形结合都是非常有效的解题策略（3）实现计划.就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具体表达出来，说服自己、说服朋友、说服论敌在实现计划中“怎样表达”，这对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问题我们建议记住（15字口诀）：“定方法、找起点、分层次、选定理、用文字”在这个基础上，进一步要做到（24字要领）：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范（4

29、）回顾.回顾的最起码要求是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的有的检验是解题的必要步骤，如分式方程、无理方程验根，其求解过程是必要条件过程，充分性并未解决，验根之后，解题才算完成；有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把住最后一关更深层次的回顾表现为解题后对数学命题的重新认识和对解题方法的评价如解题中用到了哪些知识？哪些方法？是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法?更一般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的方法？更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能够推广吗？条件能减

30、弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？如此等等的思考不仅能改进和完善眼前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息它的长期积累会升华为人们搜索、捕捉、分析、加工和运用信息能力的总和数学才能这4个步骤需要不断的反馈调节（如图3），即使4步完成了也存在反思改进的空间：有时候思路还比较麻烦，通过反馈调节而精简；有时候思路还存在错误，通过反馈调节而纠正 图32-1-2 数学解题的信息过程尽管不同的人对不同的题目，解题的过程可能会既千差万别又百态千姿，但我们总可以按照信息论的观点将其归结为三件工作（1）有用捕捉：从理解题意中捕捉有用的知识信息主

31、要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的（逻辑）联系?具体是通过观察和阅读，从题目的叙述中获取代数“符号信息”，从题目的图形中获取几何“形象信息”知识经验是有用捕捉的基础 （2）有关提取：从记忆贮存中提取有关的知识信息主要是在“有用捕捉”的刺激下，通过联想从记忆贮存中找出相关的公式、定理、基本模式等解题依据或解题凭借良好的认知结构和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础（3）有效组合：将上述两组知识信息进行有效的组合将上述两组信息，加工配置成一个和谐的逻辑结构逻辑思维能力是有效组合的基础其基本要求应能说服自己、说服朋友、说服论敌“有用捕捉、有关提取、有效组合”组成“

32、解题三步曲”，可示意为一个框图： 图4（如何填示意图中的空白方框，请参看下例的说明）例4 设，求（1993年数学高考第（23）题）讲解 原题没有的条件，函数的对应关系不是一一对应，故没有反函数，也就没有意义（图5）故加上的条件（参见例2-7）（）从理解题意中可以获得两个信息： 图5其一是函数的表达式；（信息）其二是反函数的自变量的取值为0（信息）（）从记忆储存中提取函数与反函数的关系作为解题的依据：（信息）问题转化课本例题的求解，（信息）解方程得出指数方程的解 再一次应用函数与反函数的关系，得（信息）说明 这个解法运用了方程观点，没有呆板地先求出反函数，整个解题过程就是条信息的有效组合，示意如

33、下： 图62-2 学会理解题意有这样一个方程问题，人们把它作为“补集思想解题”的范例由来已久：例5 已知三个方程 中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围讲解 若正面求解，三个方程至少有一个方程有实根，将出现7种可能，情况复杂，但其反面则只有一种情况：三个方程都没有实根，问题变得极为简单有 即 得 再求补集，得三个方程至少有一个方程有实根时实数的取值范围为这是一个经典的处理（简称“处理”），作为数学，策略对头、思路清晰、答案正确但作为教学，这个“处理”对审题的看法却是有问题的分三步解释如下：（1）审题的两种观点“处理”的一开头，对比了审题的两种观点第一种观点是把“三个方程至少有一个方程有实根”

34、理解为“7种可能”：某个方程有实根3种可能、某两个方程有实根3种可能、三个方程都有实根1种可能：接下来是7种情况的合并，形式上看这阵势，确实书写量较大第二种观点是看到这一思路“情况复杂”，提出“反面”理解：然后求补集两种观点相比较，曾形成了一些根深蒂固的认识：正面理解“三个方程至少有一个方程有实根”就是分7种情况讨论； 正面求解是麻烦的；反面求解是正面求解“麻烦”、“困难”等情况下的一种选择；反面求解才是经济的、简捷的、策略的、辩证的 （2）审题的第三个观点为明确起见，第一个方程有实根时实数的取值范围记为 ， 第二个方程有实根时实数的取值范围记为，第三个方程有实根时实数的取值范围记为 那么，由

35、“三个方程至少有一个方程有实根”你能得出哪些认识？就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根、或第三个方程有实根，得求的并集新解法 “三个方程至少有一个方程有实根”就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根、或第三个方程有实根，得 或 或 或， 或 或 求、的并集，可得三个方程至少有一个方程有实根时实数的取值范围为新解法的“正面求解”并不比原解法的“正面求解”麻烦可见，第二种观点比第一种观点优越不等于“反面求解”比“正面求解”优越，原因是“7种可能，情况复杂”不等于“正面求解，情况复杂”，第二种观点是“只知其一，不知其二”，只审清了题意的一半没有看出对题意的理解还存在第三种观点：“三个方程至少有一

36、个方程有实根”就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根、或第三个方程有实根，（1）审题新概念审题是接触到题目之后整个解题工作的第1步：弄清问题通常有三方面的认识：位置上，审题是整个解题工作的第1步，没有审题的开头就没有解题工作的后续，没有审题的明晰就难有“拟定计划”的成功内容上，审题就是弄清问题，主要弄清条件是什么、结论是什么功能上，审题首先是为思路探求奠定物质基础，而最终目的是获得题目的解没错，这些认识全都很实用，但是，我们在解题实践中感到，只有这些认识常常不够用，有时是没能真正弄清问题，有时是没能深刻弄清问题，我们的审题经验认为： “弄清问题”不仅首先存在于解题工作的开头，而且继续存在于思

37、路探求的过程中、和解法初步得出后的反思里没有后续的“弄清问题”，思路会中途受阻，认识会停留在表层或现象上“弄清问题”不仅要弄清条件，弄清结论，而且还要弄清条件与结论的基本联系，即题目的关系结构（更具体、明确的联系由思路探求去完成），题目的条件和结论是组成这个结构的、不可或缺的两类原材料“弄清问题”不仅要弄清题目的浅层结构，而且还要努力弄清题目的深层结构，这个深层结构有一个逐步明晰的过程、还常常可有不同的表征，不要毕其功于一役“弄清问题”不仅要获得题目的解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”（2）审题审什么审题就是弄清问题，但是怎样才算

38、把问题弄清了呢？我们说主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、以及沟通起点与目标之间联系的更多信息具体说来，要做好3件事：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件要把它们全都找出来、一无遗漏；其次，也是更重要的，是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站 弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何题目的结论有的是明显给出的，如

39、“求证”题（还有选择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解”题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联

40、系，这些联系（波利亚说的“主要联系”或“某种计划”）就表现为题目的结构为了更接近问题的深层结构，审题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思应该是循环往复、不断深化的过程题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示例6 设集合，则满足的集合b的个数是（ ）(a)1 (b)3 (c)4 (d)8）（2006年数学高考辽宁理科第（1）题）讲解 这是一道简单题，有一个概念性错误是把“并集”等同于“加法”，于是得，逻辑上就是把“充分条件”当成“充要条件”了而有的教师只是叫学生找、不断补充，“还有没有？还有没有？”一直

41、到找出了4个为止，造成学生“能找到答案，但说不清思路”我们说的审清题意包括三件事第一、由已知条件且可获得两条信息（1）是的子集；（2）合起来表明“是中含3的子集”第二、结论是求集合的个数第三、沟通条件与结论的数学联系（1）直接联系：因为是中含3的子集，因而的个数就是中含3的子集的个数，可以先取定，然后并上得出所有的（2）间接联系：题目求中含3的子集个数，可以先从中去掉3得，然后找出的所有子集的个数，得出的个数（可能含有1也可能不含1，可能含有2也可能不含2，共个）例7 已知，则的取值范围为 解 由有，即，解得 又由有， 即解得 合并、得讲解 这个解法的失误在于未审清的含义其实是说时，不等式不成

42、立，这有两种情况，其一，时式子有意义、但不等式反向，其二，时式子没有意义，即因而是或，合并得为所求所以，审清题意应包括如下三方面工作：第一、由已知条件，可获得四条信息（1）集合是不等式的解集，包含有参数；（2），即2是不等式的解，可得关于不等式；（3），即3不是不等式的解，或时式子没有意义，可得或；（4）是同时成立的关系（交集）第二、结论是求则的取值范围第三、沟通条件与结论的数学联系（1）建立的不等式；联立（2）解不等式得的取值范围（3）审题怎么审. 审题的程序可以细致分为4步： 读题弄清字面含义审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300 400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题

43、用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题目要求用“定义”证明，有的题目要求用“数学归纳法”证明，有的题目要求用数字回答，有的题目要求保留小数点几位等等，如果不按这些要求来，解答就会被认为不完整（存在扣分的危险），虽然有的同学并非不会做例8 已知数列是等差数列，（1）求数列的通项；（2）设数列的通项（其中），记前项和试比较与的大小，并证明你的结论（1998年高考数学理科第（25）题）讲解 当年有考生把当作，或，写来写去肯定做不出来，

44、原因是读题的时候就没有看清类似的审题不清，是高考“会而不对”的一个重要原因理解弄清数学含义看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”，弄清题目的数学含义这当中，我们常常要“回到定义”、激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号(参见例1-18)，使条件和结论都数学化，并被我们所理解求解例1-27的一个关键就是看懂题目的数学含义例8 已知是正整数，且证明（2001年高考数学理科第20题第（1）问）讲解 这道题目只有9个文字、5的字母，简洁

45、抽象，当年得分率不到02但是，题目的字面含义很简单，条件是3个正整数满足结论是证明一个不等式，关键是理解字母符号的数学含义一旦理解了题目的数学含义，证明不算曲折由真分数不等式，有，相乘 ，即 若把求证转化为，则这个抽象的数学不等式可有十分显浅的现实含义：设个人等可能地分配到个房间中的任一间去住，记事件为“恰有个房间住一人”，则有因为房间的数量越多（越大），则每个人住单间的可能性越大（越大），于是当时有，即表征识别题目类型信息在大脑的呈现叫做表征弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会激活相关的数学知识，而且也会调动相关的解题经验（在例0-12中，对三角形作不同

46、的表征，导致不同的解题难度与不同的解题长度）对于大量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，可以顺利进入下一阶段拟定计划解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来例9-1 一套徽章分放在一些小盒里，每个小盒有10个格 在小盒的某些格子里有一个徽章，其他格还是空的 放这套徽章的任何两个小盒至少能以同样的格子里有或者没有徽章互相区别显然，每个小盒里徽章最多数

47、是10，最少数是0（空盒）放这套徽章的小盒有多少？这道题多少有些难度，我们将其作点更具有实际的意义改编：代替小盒的每一格分别安上一个小电灯泡，这时，小电灯泡的一种可能状态（亮或不亮）对应于格子里有或者没有徽章，结果得到这样的习题：例9-2 一所住宅里有10个电灯泡住宅照明有多少种不同的方法？（每个电灯泡可能亮，也可能不亮即使最低限度用一个电灯泡的状态来区别照明方法，照明的两种方法也算是不同的所有的电灯泡都不亮也是一种照明方法）这个表征使问题更直观了，但解法也不是显而易见的为了更易于计算照明的不同方法（即盒子数），我们用“+”表示亮灯，“”表示关灯，问题转化为由“+”“”组成的10元排列，得到这

48、样一道题：例9-3 有一个10列的矩阵，在这个矩阵里每个元素的位置都置有“+”号或者“” 矩阵的任意两行至少有一个相同的列，它们的符号不同 这个矩阵最多有多少行？这个表征使盒子或照明问题更像一道较标准的数学题了，如果对它的求解仍感不够显然的话，那么可把“+”号看成数字1，“”号看成数字2（不能看成0），得到这样一道题：例9-4 由数码1、2能组成多少个不同的十位数？这个表征使盒子、照明或矩阵问题变为一道标准的排列组合题，解法也是现成的因为每一数位上都只能有1、2两种可能，由乘法原理得十位数共210=1024个这样，例9-1中的小盒有1024个，例9-2中的照明方法有1024种，例9-3中的矩阵

49、有1024行例9-4可以认为是对例9-1、例9-2和例9-3的识别深化接近深层结构 简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的对于变通过的、“形似而质异”的、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“弄清问题”因而，“弄清题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质的“弄清问题”、努力接近问题的深层结构这在例9中已经有体现例10 如果，则讲解 有的人审题停留在浅层现象上，只看到条件是一个等式，结论也是一

50、个等式，沟通条件与结论的数学联系就是等式变形相应的有下述解法：证明1 已知即 ， 移项，平方 ，再平方 ，整理得 ，即 ，开方 反思 （1）这个解法把含开方的式子转化为一次整式的大方向是对的，但两次平方产生二次整式是不是过头了？先平方、后开方有没有多余的思维回路？（2）题目已经做出来了，我们对题目的条件与结论有什么新的认识呢？我们对题目中“条件与结论的联系”有什么新的揭示呢？现在已经“拉开了黑房间的电灯”，应该有新的认识，应该有新的揭示我们把、连在一起， 如果这还没有获得新认识的话，那么我们记，并把改写为 ， 这无非是说：由函数值相等推出自变量相等函数应是单调函数或“一一对应”的由，知确实为增

51、函数这样，我们对题目就获得了新的认识：题目的“条件”给出了两个相等的函数值，题目的“结论”要证明自变量相等，沟通“条件与结论联系”的途径是确定单调性这可以用“作差、变形、判号”来处理证明2 已知即 ，有 （作差）（变形）但， （判号）所以 再反思 由推，已知与结论的差异主要是条件有开方式，结论没有，消除差异的关键是消去开方式注意到函数的特殊结构，有证明3 （加减消元）已知即 ，同理 ，相减 ，即 证明4 （数形结合）显然，当时命题成立当均不为零时，依题意有，不妨设，将已知式变为，再改写为坐标系上的距离这表明，横轴上点，分别到，两点的距离之和相等，这两点或是重合、或是关于纵轴对称（），由得，则2-3模式识别.在理解题意的过程中，我们获得了大量的信息，它们在我们的头脑里，一开始是孤立的、零散的、混乱的，经过初步的辨认筛选，可确定哪些是有用的，哪些