等腰三角形（基础）知识讲解

1、乐博思等腰三角形（基础）知识讲解责编：张强 【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在

2、abc中，abac，abc是等腰三角形，其中ab、ac为腰，bc为底边,a是顶角，b、c是底角2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形abc,使ab=ac=b,bc=a.作法：1.作线段bc=a； 2.分别以b,c为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点a; 3.连接ab,ac. abc为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)bc； (3)bdcd，ad为底边上的中线.(4)adbadc90，ad为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的

3、三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.a1802b，bc .（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60.性质2：等

4、腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三

5、角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.3. 含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相

6、矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题一般证明步骤如下：（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题1、（2016春太仓市期末）如图，已知abc中，ab=bd=dc，abc=105，求a，c度数【思路点拨】由于ab=bd=dc，所以abd和bdc都是等腰三角形，可

7、设c=cdb=x，则bda=a=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出a，c度数【答案与解析】解：ab=bd，bda=a，bd=dc，c=cbd，设c=cbd=x，则bda=a=2x，abd=1804x，abc=abd+cdb=1804x+x=105，解得：x=25，所以2x=50，即a=50，c=25【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，d、e分别为ab、ac上的点，acbcb

8、d，adae，dece，求b的度数【答案】解：acbcbd，adae，dece，设ecdedc，bcdbdc，则aedade2，ab1804在abc中，根据三角形内角和得a、d、b在同一直线上，2180由 ，解得36b180418014436.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40，求其余各角【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40，分别从40是等腰三角形顶角与40是底角的角度去分析求解即可求得答案【答案与解析】解：(1)当40的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和18040140，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个

9、底角的度数；(2)当40的角为底角时，另一个底角也为40，则顶角的度数1804040100其余各角为70，70或40，100 【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长13337； (2)3为底边长时，则两个腰长的和13310，则一腰长 这样得两组：3，3，7 5，5，3 由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，337，故不能构成三角形，应舍去 等腰三角形的周长为13，一

10、边长为3，其余各边长为5，5【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边bc8，且|acbc|2，那么腰ac的长为( ) a10或6 b10 c6 d8或6【答案】a；解 ： |acbc|2， acbc2 又bc8 ac10或6 ab10（）或（6）类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，在abc中，边abac求证：acbabc【思路

11、点拨】在ab上截取ae=ac，连接ce，根据等腰三角形的性质推出aec=ace，根据三角形的外角性质求出aecabc即可【答案与解析】证明：证明：在ab上截取ae=ac，连接ce，ae=ac，aec=ace，aecb，acbabc【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出aec=ace和aecabc是解此题的关键举一反三：【变式】已知：如图，在abc中，ab=ac，a=60，bd是中线，延长bc至点e，使ce=cd求证：db=de【答案与解析】证明：如图，在abc中，ab=ac，a=60，abc是等边三角形，abc=2=60，bd是中线，bd是abc的平分线，1=30

12、，ce=cd，e=3，e=2=30，e=1，db=de类型四、等腰三角形的判定5、如图1，在abc中，bo平分abc，co平分acb，过点o作debc，交ab于点d，交ac于点e（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；（2）若bd=4、ce=3，求de的长；（3）若 ab=12、ac=9，求ade的周长；（4）若将原题中平行线de的方向改变，如图2，odab，oeac，bc=16，你能得出什么结论呢？【思路点拨】（1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形；（2）由等腰三角形两腰相等求解；（3）由ade的周长=ad+do+oe+ae=ab+ac求解；（4）由odab，oeac，bo平分abc，

13、co平分acb，得出bdo和eco是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出ode的周长等于bc的长度【答案与解析】解：（1）dbo和eoc是等腰三角形bo平分abc，dbo=cbo，debc，cbo=dob，dbo=dob，db=do，dbo是等腰三角形，同理eoc是等腰三角形；（2）bd=4、ce=3，由（1）得出do=4，eo=3，de=do+oe=4+3=7；（3）ade的周长=ad+do+oe+ae；do=db，oe=ec，ade的周长=ab+ac，ab=12、ac=9，ade的周长=ab+ac=12+9=21；（4）odab，oeac，bo平分abc，co平分acb，bdo和eco是

14、等腰三角形，bd=do，ce=oe，bc=16，ode的周长为16即ode的周长等于bc的长度【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等举一反三【变式】如图，abc中，d、e分别是ac、ab上的点，bd与ce交于点o给出下列四个条件：ebd=dco；beo=cdo；be=cd；ob=oc上述四个条件中，哪两个条件可判定abc是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明abc是等腰三角形【答案】；都可以组合证明abc是等腰三角形；选为条件证明abc是等腰三角形；证明：在ebo和dco中，ebodco（aas），bo=co，obc=

15、ocb，ebo+obc=dco+ocb，即abc=acb，ab=ac，abc是等腰三角形类型五、 含有30角的直角三角形6. 如图所示，abc中，acb=90，cdab，垂足是d，a=60.求证：bd=3ad. 【答案与解析】证明：cdab，adc=90，又a=60，acd=30在rtacd中，ad=ac，又acb=90，在rtacb中，b=30，ac=ab ad= ab，则ad=bd，即bd=3ad.【总结升华】根据直角三角形中30角所对的边是斜边的一半可得到bc=2bd，ab=2bc，从而可推出ab=4bd，从而不难证得bd与ad的数量关系此题主要考查含30角的直角三角形的性质：在直角三角

16、形中，30角所对的直角边等于斜边的一半举一反三：【变式】如图，已知，在四边形abcd中，adbc，bd平分abc，a=120，cd=4cm，abc=dcb，求bc的长【答案】解：adbc，a=120，abc=180120=60，bd平分abc，dbc=abc=60=30，又abc=dcb=60，bdc=1803060=90，bc=2cd=24=8cm类型六、反证法7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。【答案】已知：abc 求证：abc中至少有一个内角小于或等于60证明： 假设abc中没有一个内角小于或等于60则a60,b60,c60a+b+c60+60+60=180即a+b+c180，这与三角形的内角和为180度矛盾假设不成立abc