八年级数学上册 一次函数要点讲解 北师大版

1、一次函数的图象性质知识要点一、正比例函数ykx的性质(1)正比例函数ykx的图象都经过原点(0,0),(1，k) 两点的一条直线(2)当k0时，图象都经过一、三象限；当k0时，图象都经过二、四象限(3)当k0时，y随x的增大而增大； 当k0时，y随x的增大而减小。二、一次函数ykxb的性质1、当k0时，y随x的增大而增大 当k0时，y随x的增大而减小2、k值相同，图象是互相平行 3、b值相同,图象相交于同一点(0，b)4、影响图象的两个因素是k和bk的正负决定直线的方向b的正负决定y轴交点在原点上方或下方五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次

2、函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函数的解析式就确定出来了。解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=32+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过a（3，4）和点b（2

3、，7），求函数的表达式。分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。解：因为，直线y=kx+b的图像经过a（3，4）和点b（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-33+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时

4、间x（小时）之间的关系求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点a（0，40），b（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y

5、=-5x+40。当汽车没有行驶时，油箱里的油是40升，此时，行驶的时间是0小时；当汽车油箱里的油是0升，此时，行驶的时间是8小时，所以，自变量x的范围是：0x8.四、根据平移规律，确定函数的解析式例4、如图2，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 （08年上海市）分析：仔细观察图像，直线oa经过坐标原点，所以，直线oa表示的一个正比例函数的图像，并且当x=2时 y=4，这样，我们就可以求出，平移的起始函数的解析式，根据函数平移的规律，就可以确定一次函数的解析式。把正比例函数y=kx（k0）的图像向上或者向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k

6、0，b0）的图像。具体平移要领：当b0时，把正比例函数y=kx（k0）的图像向上平移b个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k0）的图像。当b0时，把正比例函数y=kx（k0）的图像向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k0）的图像。解：因为，直线oa经过坐标原点，所以，直线oa表示的一个正比例函数的图像，设y=kx，把x=2， y=4代入上式，得：4=2k，解得：k=2，所以，正比例函数的解析式为：y=2x，所以，直线向上平移1个单位，所得解析式为：y=2x+1，所以，这个一次函数的解析式是y=2x+1。五、根据直线的对称性，确定函数的解析式例5、已知直线y=kx+b与直线y=

7、 -3x+7关于y轴对称，求k、b的值。分析：直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，所以，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，这可以是解题的理论依据，当然，也可以从已知直线解析式的图像上，确定出两个点的坐标，分别求出它们关于y轴的对称点的坐标，然后利用待定系数法，计算出k、b的值。解法1：设a（x，y）是直线y= -3x+7上一个点，其关于y轴对称的点的坐标为（-x，y ），则有：y= -3x+7，y= -kx+b整理，得：-3x+7= -kx+b，比较对应项，得：k=3，b=7。解法2：设a（m，n）是直线y= -3x+7上一个点，其关于y轴对称的点的坐标为（a，b），则

8、有：b=n，m=-a，因为，a（m，n）是直线y= -3x+7上一个点，所以，点的坐标满足函数的表达式，即n=-3m+7，把n=b，m=-a，代入上式，得：b=-3（-a）+7，整理，得：b=3a+7，即y=3x+7，它实际上与直线y=kx+b是同一条直线，比较对应项，得：k=3，b=7。解法3：因为，y=kx+b，所以，x=，因为，y= -3x+7，所以，x=，因为，直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，所以，两直线上点的坐标，都满足纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数，所以，= -=，比较对应项，得：y-b= y-7，k=3，所以，k=3，b= 7。解法4、因为，直线y= -3x

9、+7，所以，当x=1时，y=-31+7=4，即点的坐标（1，4）；当x=2时，y=-32+7=1，即点的坐标（2，1）；因此，（1，4）、（2，1）关于y轴对称的坐标分别为（-1，4）、（-2，1），所以，点（-1，4）、（-2，1）都在直线y=kx+b，所以，留一个练习：1、 已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x轴对称，求k、b的值。2、 已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于原点对称，求k、b的值。参考答案：1、k=3，b=-7.2、k=-3，b=-7.5专心 爱心 用心/jiaoyuwendang“一次函数的应用”专题复习教学目标

10、：1 通过本课学习使学生能够熟练地求出实际问题中一次函数的解析式；2 结合实际问题的讲练，培养学生收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测的能力。教学过程：一、练习1汽车由南京驶往相距300千米的上海，当它的平均速度是100千米/时，下面哪个图形表示汽车距上海的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系？（ ）s（千米）s（千米）s（千米）s（千米）300300300300t（小时）o3t（小时）o3t（小时）o3t（小时）o3（a） （b） （c） （d）q（升）4236302418126aoc2某机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中余

11、油量q（升）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示，根据下图回答问题：（1）机动车行驶 小时后加油；d（2）中途加油 升；b1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t（时）说明：通过这两题的教学，使学生初步知道识图的一般步骤:（1）观察图象，捕捉有效信息；（2）对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模来加以解决。二、例题解析例1某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米

12、/时，最终停止. 结合风速与时间的图像，回答下列问题：（1）在y轴（ ）内填入相应的数值；（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？（3）求出当x25时，风速y（千米/时）与时间x（小时）之间的函数关系式. （4）若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间？cb（ ）y（千米/时）（ ）ad4 10 25 x(小时)o说明：（1）从图象中可得到如下信息：沙尘暴分四个阶段：04小时，风暴平均每小时增加2千米/时；410小时，风速平均每小时增加4千米/时；1025小时，风暴速度保持不变；25小时后风暴速度平均每小时减小1千米/时，最终停止；（2）对于第（3）题引导学生观察图

13、象得出当x25时，风速y（千米/时）是时间x（小时）的一次函数；（3）第（4）题进一步培养学生应用数学知识实际问题的能力。yxoab例2阅读下列函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：(1) 折线oab表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；(2) 根据你所给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出a、b两点的坐标；(3) 求出图象ab的函数解析式，并注明自变量x的取值范围。说明：本题要求学生根据图象收集有关信息设计一个情景，把一个数学模型返还成一个实际问题，以考查学生的逆向思维能力、探究问题能力以及语言表达能力。三、巩固练习900010 20 30 40 50

14、 距离（米）时间（分）cd900010 20 30 40 50 距离（米）时间（分）ab900010 20 30 40 50 距离（米）时间（分）900010 20 30 40 50 距离（米）时间（分）1.张大伯出去散步，从家走了20分钟，到了一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家。下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系？（d ）2某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发。该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费。月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图像如图所示。（1）填空，月用电量为100度时，应交电费 60 元；（2）

15、当x100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月用电量为160度时，应交电费多少元？解：(2)设y=kx+b，由图象知过（100，60），（200，110），则：100k+b=60，200k+b=110，解得k=，b=10y=x+10（3）当用电量为100度时，应交电费60元，剩下的160度电应交电费为20060100110y（元）x（度）o160+10=90元，故合计应交电费为150元。四课堂小结一次函数的图像和性质是各地中考命题的一个热点，是中考中重点考查的知识，纵观近年来的中考试题，从能力层面上加强了对一次函数考查的力度，它往往结合实际知识，用一次函数的有关知识解决应用问题，如在实际问题

16、中去确定变量y与x之间的函数关系式，求函数自变量x的取值范围及画出相应的图像等等，是常见的命题要求，试题可以有选择、填空和解答题等各种形式。五、作业:1已知地面温度是20，如果从地面开始每升高1km，气温下降6，那么气温t（）与高度h（km）的函数关系用图象表示是（ b ）tttt202020203ho333hohoho(a) (b) (c) (d)2某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元;“神州行”不缴月基础费, 每通话1分钟，付电话费0.6元(这里均指市内通话).若一个月内通话x分钟,两种通讯方式的费用分别为y1元和y2

17、元。（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内通话费200元，则应选择哪种通讯方式较合算？解：（1）y1=0.4x+50，y2=0.6x（2）由题意得：0.4x+50=0.6x，解得x=250（3）当0.4x+50=200时，得x=375，当0.6x=200时，得x=，所以，选择“全球通”合算。答（略）3某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数。（1）根据下表提供的数据，求y与x之间的函数关系式；1吨水的价格x（元） 3 4 6 用1吨水生产的饮料所获利润y（元） 201 200 198（2）当水价为每吨10元时，该饮料厂若想获得2万元的利润，则至少需用水多少吨？（精确到个位）略解：（1）设y=kx+b，则3k+b=201，4k +b=200，解得k=-1，b=204，y=-x+204（2）当x=10时，y=-10+204=194，20000194103