数值分析试题及答案..(优选)

1、A. 10Xo= 0,11 X1B.1oXo= 0, 11 XC.o xo1,I1 X10 Xo11 X1一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字A . 4 和 3B .3和2C . 3 和 4D .4和42121fx dxf 1Af()f2.已知求积公式1636，则 A =()1112A .6 B .3C .2D .33.通过点Xo, yX1,y1的拉格朗日插值基函数lo x，h x满足（4.设求方程f X o的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速A .超线性 B .平方 C.线性D .三次X-! 2x2 x3 o2x1 2x2 3

2、x335.用列主元消元法解线性方程组X 3x22作第一次消元后得到的第3个方程（）A X2X322x21.5x33.5C.2x2 x33D x2 o.5x31.5单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分评卷人、填空题（每小题3分，共15 分）2. 一阶均差f X0,x3.已知n3时，科茨系数Co38。3C233C38，那么C34.因为方程 内有根。f x x 4 2x0在区间1,2上满足，所以f x 0在区间5.取步长h 0.1，用欧拉法解初值问题的计算公式1.已知函数1012y 1 x2的一组数据：Vi10 50 2求分段线性插值函数，并计算三、计算题（每题15分，共60 分）f

3、15f 的近似值.填空题答案f x0f 为1.9和血92.X。 儿13.84.f 1 f 20Yk 1Yk1.10.11 0.1k 2 ,k 0,1,2|5.y1得 分评卷人1.解 X 0,1，计算题1.答案x 2x 1,L x 0.5 0.20.3x 0.8x 1,2 , 1 2 2 1所以分段线性插值函数为1 0.5x x 0,1L x 0.8 0.3x x 1,2L 1.50.8 0.3 1.50.3510x-i x2 2x37.2xi 10x2 2x38.32.已知线性方程组x1沁5x3 4.2(1) 写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；(2) 对于初始值X 0,0,0，应用雅可

4、比迭代公式、高斯塞德尔迭代公1式分别计算X(保留小数点后五位数字).计算题2.答案1.解原方程组同解变形为x10.1x20.2x3 0.72x20.1人 0.2x3 0.83x30.2x!0.2x20.84m 1X1m 1X2m 1X3x2m 10.1x0.2沧0.83X3m10.2x0.2x2m0.84 0,1.)用雅可比迭代公式得x10.720 00,0.830 00,0.840 00用高斯-塞德尔迭代公式得X 0.720 00,0.902 00,1.164 403.用牛顿法求方程x3 3x 1 0在1,2之间的近似根(1 )请指出为什么初值应取2？(2 )请用牛顿法求出近似根，精确到0.

5、0001.计算题3.答案3.解 f Xx3 3x3x212x24 0，故取x 2作初始值迭代公式为xnXn 1Xn 1Xn 13Xn 1X1x0X2X1X3Xn 12 33322 13xn 13x211.888890.00944 0.00011.879453 131.87 9 452 11.87939x22x31 21 1)3 Xn 11n 1,2,32 1.888891.879451.888892 1X20.00006 0.00011.879394.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1丄dx0 1 x计算题4.答案bb af x dxf a f b4解梯形公式a21 11 1 1d

6、x0.752 10 11应用梯形公式得01 x辛卜生公式为f x dxa4f(ab) f b 2应用辛卜生公式得01 xdx160f昇41 11122536得 分评卷人四、证明题（本题 10 分）3次代数精确度确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有hf x dx A 1f hA)f0 A1 f hh证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数,2艮卩 AA0, A，将 f x 1,x,x分别代入求积公式,并令其左右相等，得A1 A) A12 hh(A1 A) 022 3hA0 (A1 A)-h3。所求公式至少有两次代数精确度。又由于x3dxh1A1 A _h 得3h43hf x

7、 dx故hh -f34f 0h具有三次代数精确度。填空(共20分，每题2 分)1.设x殳3149541，取5位有效数字，则所得的近似值x=f X1,X22.设一阶差商f x2x2x1f X2,X3f x3f x2X3X2则二阶差商MX*3.设 X (2,3,1)T,则 IIX |2l|X|24.求方程x1.250的近似根,用迭代公式x x 1.25，取初始值X01 ,那么X15 解初始值问题y f(x,y)y(X0)y。近似解的梯形公式是yk 16、7、，则A的谱半径f(x)23x 5, xkkh, k 0,1,2,则 f Xn ,xn 1, xn 2xn , xn 1, xn 2 , xn

8、3若线性代数方程组 AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 塞德尔迭代都9、解常微分方程初值问题的欧拉Euler )方法的局部截断误差为1y 1010、为了使计算x 12(x 1)233(x 1)的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写成1、2.31502、X1,X2, X3fX2,X3f NK53211X3X14 164、1.55、ykf Xk i, yk i7、Xn, Xn 1, Xn 23, f Xn,Xn 1,Xn 2,人收敛 9、y 1010、(x 1)3(x 1)、计算题(共75分，每题15 分)3f (x) X2, X01 设1一，X11, X24(1)试求1

9、94 4上的三次Hermite插值多项式X使满足H(Xj) f(Xj), j 0,1,2,H(X1)f(xj以升幂形式给出(2)写出余项R(X) f(X) H(x)的表达式计算题1.答案143263 22331X X X X 1、( 1)225450450251 94!1652(x1X 1)2(x 4),42 已知* =傀对的卩）满足回一耳妇，试问如何利用就对构造一个收敛的简单迭代函数 .-，使 0, 1收敛？计算题2.答案、由（X），可得x 3x(x) 3x12（X）3X）(X)因（X）2（X）3），故(X)（X）-3故 Xk 1(Xk)1(Xk) 3Xk , k=0,1,.收敛23.试确定

10、常数A, B, C和a,使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案10 169，B9，a律,该数值5次代数精确度，它是4.推导常微分方程的初值问题Gauss型的y f（x,y）y（Xo） y。的数值解公式:h yn 1 yn 13(yn 1 4yn yn1)3（提示：利用Simpson求积公式。）计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程 yf（x）在区间 Xn1,Xn 1上积分,X n 1y（Xn 1） y（Xn1）f （x,y（x）dx得Xn1，记步长为h,f (x,y(x)dx对积分Xn 1用Simps

11、on求积公式得Xn12hh f(x,y(x)dx=f(Xn!)4f (Xn)f (Xn!)= (y.14ynyn1)Xn163h 所以得数值解公式：yn1 yn1 3(yn1 4yn yn1)X12x23x3142x15x22X3185.利用矩阵的LU分解法解方程组 3X1X25X320计算题5.答案1123ALU21145、解：35 124令Lyb得y(14,10, 72)t,Uxy 得 X (1,2,3)t三、证明题 （5分）1设-，/_，证明解 丿 冷勺Newt on迭代公式是线性收敛的证明题答案1、证明：因f(x) (X3a)2,故 f (x) 6x2(x3 a),由Newton迭达公

12、式Xn 1Xnf (Xn) n,n0,1,.得f (Xn)Xn 1Xn(x； a)2235Xna-,n 0,1,.6Xn (Xn a)66Xn因迭达函数（x） 5x而 （X）5 ax 3,66x26 3又xVa,M（Va）5a（即孑）3 5 110,63632故此迭达公式是线性收敛的。、填空题（20分）（1）.设x* 2.40315是真值x 2.40194的近似值，则x有位有效数字。(2).对 f(x)x3 x j 差商 f 0,1,2,3()。(3).设 X (2, 3,7)t,则 |X|nC（n）（4）.牛顿一柯特斯求积公式的系数和k 0。填空题答案（1）3（ 2）1（ 3）7（ 4）1二

13、、计算题1）.（ 15分）用二次拉格朗日插值多项式L2（x）计算sin 0.34的值。插值节点和相应的函数值是（0, 0）,（ 0.30, 0.2955），（ 0.40, 0.3894）。计算题1.答案(xxj(xX2)f (xx0)(xX2)ff 0f11）=0.333336(x X)(x xj(X2 X0)(X2 X1)(XoXj(Xo X2)(为x0)(X1X2)2）.（ 15分）用二分法求方程f（x）x3 x 1 0在口。1.5区间内的一个 根，误差限 102。计算题2.答案N 6为 1.25x2 1.375x3 1.31252) x41.34375 x51.328125 x 1.32

14、031254x1 2x2 x311X1 4x2 2x3183) .( 15分)用高斯-塞德尔方法解方程组2x1 x2 5x3 22，取x(0) (0,0,0)T，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。k屮）000012 753.81252.537520,209383 17893.680530.240432.55S73.18391(22计算题3.答案3）迭代公式x1k1)4(112x2k)x3k)x2k1)-(184X1(k 1)2x3k)x3k1)4）. （15分）求系数A1, A2和A3,使求积公式1f（x）dx A1 f（ 1） A2f （丄）AjC）对于次数2的一切多项式都精确成立133

15、计算题4.答案1111 2A A2A32A13A23A50 A9 A2A3-9313A12A20A34）23x12X210X31510X14x2X355).(10分）对方程组2x110X24X38试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案5）解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10X! 4x2 x352x110x2 4x383x1 2x2 10x315故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛迭代格式为x1k1)1(4x2k) x3k) 5)10x2k 1)1 ( 2x(k 1)4x3k) 8)10x3k 1) ( 3才 1) 2x2k 1)15)310=巳取x() (0,0,0

16、)T，经7步迭代可得：x* x(7) (0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000 010)T .三、简答题1) (5分)在你学过的线性方程组的解法中，你最喜欢那一种方法，为什么？2) ( 5分)先叙述Gauss求积公式，再阐述为什么要引入它。、填空题(20分)1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，贝U a有()位有效数字.2. I(x), h(x),ln(x)是以0,1，-n为插值节点的Lagrange插值基函数，则nili(x)i 0().3.设f (x)可微，贝U求方程x f(x)的牛顿迭代格式是().(k 1)(k)(k 1 Bx(k)4. 迭

17、代公式X BX f收敛的充要条件是 5.解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0)的迭代格式x9x1 X28中的B称为().给定方程组x1 5x24，解此方程组的雅可比迭代格式为(1 . 32.xXnf(Xn)Xn 1Xn,3.1f (Xn)4.(B)1k 1X119(8x2k)k 1X21(4x1k)5.迭代矩阵，5得 分评卷人二、判断题(共10分)1. 若 f(a)f(b) ，则 f(x) 在(a,b)内一定有根。()2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。()3. 若方阵A的谱半径(A) 1，则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛。()n4. 若f (x)

18、与g (x)都是n次多项式，且在n+1个互异点Xii 上f (Xi) g(Xi)，贝y f (x) g(x)。()1 x 1X2x5. 用 2 近似表示e产生舍入误差。()判断题答案1. x 2. x 3. x 4. V5. x得 分评卷人三、计算题(7分)1.(10分)已知f(0) = 1, f(3)= 2.4, f=5.2，求过这三点的),插值多项式二次插值基函数 li(x)=(), f0,(15分)确定求积公式,4=(P2(X)=(),用三点式求得f(使其代数精度尽量高，并确定其代数精度)().计算题1.答案由插值公式可求得它们分别为：1777勿 203_x(x 4),一,1 一x 一x

19、(x 3),禾口仁 3121512632.(15分)已知一兀方程x 3x 1.201)求方程的一个含正根的区间;2)给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性);3)计算题给出在有根区间的Newton迭代法公式。2.答案2. (1)f(0)1.2 0 , f(2)1.80又f (x)连续故在(0,2)内有一个正根，x 3 3x 1.2,(x)(3x1.2)233, maxx (0,2)(x)121, xn 13 3xn 1.2收敛1.23f (x)3x2 3,xn 1xn(3)3Xn3x 1.23x2 311f(x)dx Af( 5)Bf(x1)Cf(0.5)的待定参数,ABC20.5AB

20、x10.5C00.25ABx20.25C230.125AB*0.125C0解此方程组得AC4 ,B233求积公式为1f (x)dx1if(0.5)2f(0)4f (0.5),当f (x) x4时,4.（15分）设初值冋题y 3x 2yy(0) 1121左边-右边-左边右边代数精度为3o56（1）写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；（2）写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解 的公式，并求解，2，保留两位小数。2yn)0.3xn 1.2Yn计算题4答案0.2(2) yn 1yn2(3Xn 2yn)3(xn0.2)2yn1=yn0.1(6

21、Xn2yn 2yn 10.6)333yn 1-yn-Xn一24403336333迭达得y11.575, y22.5852402404 0.2404.(1) Yn 1Yn0.1(3xn5. （15分）取节点x。0, x1 0.5, x2 1，求函数y e %在区间0,1上的二次插 值多项式B（x），并估计误差。15 / 19word.10.50.5e e e 1P2(X)e00.5 e0.51(x 00)10.510.500(x0)( x 0.5)0.5=1+2(e1)x2(e0 52e01)x(x0.5)IIyX 一/ Xe , M 3 max y 1, ex 0,1P2(X)3!x(x 0.

22、5)(x 1)0 x 1 时忙 p2(x)l计 x(x 0.为2 f(x) x 1,则 f1,2,3, f1,2,3,4。填空题答案1.相对误差绝对误差)(x 1)一、填空题(每题4分，共20分)1、 数值计算中主要研究的误差有 和。2、 设lj(x)(j0,1,2|n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则nIj(Xi) (i, j 0,1,2|n) ； j 0lj(x) _。3、设lj(x)(j0,1,2 |l|n)是区间a,b上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ;插值型求积公式中求积系数 A ;且nAjj 0o4、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式1, i j,.0, i j1b.至少是nalk(x)dxab-ab a(ba)4f(4)( ),(a,b)180 25. 1、计算题1、已知函数yf(x)的相关数据01230123X =怎)13927由牛顿插值公式求三次插值多项式F3(x),计算题1答案y y x 1,x (0,0.6)2、( 10分)利用尤拉公式求解初值问题，其中步长 h OH，y(0) 1.f(x,y) y x 1, yo1,h 0.1,yn 1yn 0.1(Xn 1.),(n 0,1,2,3,卅)yo 1,yk 1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;解