全国高中数学优秀教案椭圆的简单几何性质教学设计

1、2.2.2 椭圆的简单几何性质设计一教学内容解析： 椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用， 也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。研究曲线的性质，可以从整体上把握曲线的形状，大小和位置。利用方程研究椭圆的简单 几何性质之前，先引导学生想一想我们应该关注椭圆哪些方面性质。研究椭圆的具体性质之前，先让学生观察图形直观得到性质，而后利用方程去研究。根据 曲线的条件求出曲线的方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的几何 性质则可以说是解析几何的一个手段。方程研究曲线性质，即代数方法解决几何问题，将复杂的几何关系的研究转化为对曲线方 程特点的分析，代

2、数方法可以程序化地进行运算，代数法研究曲线的性质有较强的规律性， 这是当年 Descartes 创立解析几何的直接目的。二教学目标设置：（ 一 ） 知识与技能：1. 给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；2. 在图形中，能指出椭圆中 a,b,c,e 的几何意义及其相互关系；3. 知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响；（ 二 ） 过程与方法：1. 通过画图并观察得到椭圆的一些性质，培养学生观察分析意识；2. 方程研究椭圆性质，让学生感受到解析几何的目的代数法研究几何问题；3. 让学生注意“顶点” “椭圆中心”的概念，体会到特殊与一般的区别；4. 通过设置填表和例 2（2），

3、让学生体会类比法和分类讨论的重要性。（ 三 ） 情感态度与价值观：合作讨论突破难点，培养学生 合作意识 ；通过对椭圆对称性及离心率对椭圆形状影响的研 究，让学生感受到 数学美 ；方程研究曲线的性质，可以程序化运算，感悟数学家 创立解析几 何的目的 ；结合之前的学习，学生发现曲线与方程的互相结合，体会出事物的 辩证统一，相 互转化 的唯物主义。三学生学情分析： 本班学生数学基础参差不齐，学习水平发展不平衡；学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标 准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生接触过 由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比较

4、抽 象，直接引入比较突兀，给学生明确的问题，结合适当的点拨与演示，是非常必要的。四重难点 ：重点：1. 用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2. 椭圆的简单几何性质。难点： 1. 用方程研究椭圆的范围和对称性；2. 离心率的引入五教学策略分析：1. 问题串引导学生探究式法 ，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考；2. 学生实物 投影展示 和 板演 相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；3. 在研究范围和离心率时，学生 自主探究 与 合作讨论 相结合突破重难点；4. 教师 几何画板动态 演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。六.教学过程：（一）回顾引入：1.知识回

5、顾：椭圆的标准方程:2 2当焦点在x轴时，X- y 1( a b 0)a2 b2当焦点在y轴时,2y2ab21(ab 0)【设计意图】：回顾上节课所学内容，巩固知识并为本节课所学做铺垫。2 22.活动创设：运用所学的知识，你能否画出方程 1所对应的曲线？94（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图。）（预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与 x轴y轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；预案四：学生可能会联系函数描点法画图（对学生方程与函数理解要求较高）【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐

6、标取值有范围限制，即 椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交 点），即椭圆的顶点。（二）知识探究： 师：研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置。以椭圆2x2a2与 1（ a b 0）为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质?b2【设计意图】：引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度。 探究一：问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？（预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定：图形观察很直观）（师：在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的 话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质则是解析几何

7、的目的。）问题2:你能否用方程说明该范围？（先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果。）（预案一：2 2利用x20和y20的特点;ab预案二：观察方程形式，（-）2 （上）2 1联系cos2sin21；a b| 2 ； 2 预案三：与函数定义域和值域联系， y b 1 x2和y b1 x2） ba a师：研究了范围给我们带来了好处，如：该椭圆在该矩形框内，方便于画图。【设计意图】指明用方程研究曲线性质是解析几何的目的。学生观察方程形式特点，利用方程去说明范围， 能体会到方程研究性质的应用。联系之前所学三角函数和函数定义域值域知识，更能加强学生对知识综合运用加深理解。探究二：问题1:该

8、椭圆具有什么对称性？问题2:能否用代数法说明该对称性？（问题2对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生回答过程中，强调“任意取一点”，并引导学生用曲线方程的定义回答问题。）问题3：能否判断方程x2 xy 2y210所对应曲线的对称性？并说说用方程判断曲线对称性的好处。师：该椭圆关于x轴和y轴轴对称，是不是所有椭圆都关于x轴和y轴轴对称？（学生回答）师：所有椭圆是不是都有两条对称轴？（学生回答）师：同样的，是不是所有的椭圆都像该椭圆一样都关于原点中心对称呢？（学生回答）师：是不是所有的椭圆都有一个对称中心呢？（学生回答）椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。【设计意图】 用代数法判

9、断对称性具有相当难度，老师适当引导，突出“任意取一点”。学以致用能让学生体会到方程判断曲线对称性的好处。研究该椭圆对称性时，指出一般椭圆的对称性，体现出特殊与一般的区别。探究三：师：研究曲线上某些特殊点，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出它与 x轴和y轴的交点坐标。问题1 ：该椭圆与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？（指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长；x轴和y轴为该椭圆的对称轴，这四个交点为椭圆的顶点。）问题2:椭圆的顶点如何定义？（预案：学生可能会回答“椭圆与 x轴和y轴的交点称为椭圆的顶点”）【设计意图】让学生明确特殊与一般的区别。探究四：问题1:用a,b,c

10、中的哪两个量的比值可以刻画椭圆的扁平程度？（先思考（过了 3分钟）小组合作讨论，互相交流看法；小组展示成果）（预案一：b ；预案二：-；预案三：-；预案四：-）abab师：其实，用a,b,c中任意两个量的比值都可以刻画椭圆的扁平程度。为什么采用-来刻画椭圆的扁平程度？a和c是原始量，另外采用 -也是为了后边研究aa圆锥的统一性等性质的方便。问题2:离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度？（预案：学生可能假设a不变，长轴长不变，改变 c，短轴长改变去说明离心率对椭圆的扁平 程度的影响。老师肯定他们做法的同时，也要指出“长轴长可能改变”，引导学生用c b与的关系去刻画。)a a1的性质；另一方面【设计

11、意图】：通过填表，一方面让学生巩固刚学椭圆(让学生用逼近的思想想象当 e 0 _时，椭圆接近于圆；当 e 1时，椭圆接近于一条线段。标准方程2 2毎答(a b 0)ab2 2-Oy 歹 1(a b 0)图形范围顶点长轴长短轴长对称性a,b,c关系离心率其中0看成圆，1看成线段，方便学生的记忆。)2 x2 a22的知识。让学生类比已有的知识，得出椭圆爲a(三) 知识应用:例1 .椭圆16x225 y2400的长轴长,短轴长，离心率焦占) 八 、八、坐标,顶点坐标例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：3(1) 经过点P( 3,0), Q(0, 2)(2)长轴长为20,离心率等于-5预案一：例2(1)学生可能设方程为 mx2 ny2 1(m 0, n 0, m n)代入求方程;预案二：例2(1)学生可能由顶点坐标直接判断焦点位置和a,b的值。(老师要肯定学生不同解法，并指出预案一方法的一般性以及预案二方法的简洁)【设计意图】：例1由方程得性质，例 2由性质得方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的 关系。(四) 课堂小结：本节课你有什么收获？结合所学知识和知识探究过程。1. 知识上：一框两轴七点，e来刻画圆和扁；(师：不是所有的椭圆都以