黄昆固体物理部分习题解答

1、固体物理学部分习题解答1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。vvvvvv2a2a32a3a1解 由倒格子定义 bvvvbvvv12a1a2a3a1a2a3vavvvvavv体心立方格子原胞基矢a1(ijk ), a22(ij2vvv2 av vvava2a3倒格子基矢 b1 2 vvvv02(ijk )2(ia1 a2a3vvvv a1va2 vb32a1a2a3vvavvvk ),a32(ijk )v v j k )2a2vvvvvv2vv(ijk ) (ijk )( jk )v04avvv2vvv2v v2a3a1同理 b2r rra(ik )b3a(

2、ij )a1 a2a3vvv可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢vvva1a( jk ) / 2vvva2a(ki ) / 2vvva3a(ij ) / 2vvvv2vvv2a2a3倒格子基矢 bvvvb( ijk)11aa1 a2a3v2vvvv2vvv同理 b2(ijk )b3a(ijk )avv v可见由 b1, b2 , b3 为基矢构成的格子为体心立方格子1.4证明倒格子原胞的体积为(2 )3，其中 v0 为正格子原胞体积v0vvv证2a2 a3倒格子基矢 bvvv1a1a2a3vvvv a3va1vb22a1a2a3vvv2 va1v

3、a2vb3a1a2 a3* v v v倒格子体积 v0 b1 (b2 b3 )*(2 )3 v vv vv v* (2)3v0v03(a2a3 ) (a3a1 ) ( a1a2 )v0v01.5证明：倒格子矢量证：vvvvGhbh bh b 垂直于密勒指数为(h1 h2 h3 ) 的晶面系。1 12 23 3uuurvv uuurvvCAa1a3 , CBa2a3h1h3h2h3vuuurGh1h2 h3CA0容易证明 vuuurGh1h2 h3CB0vvvvGh1b1h2b2h3b3 与晶面系 (h1h2h3 ) 正交。1.6v v v如果基矢 a, b, c构成简单正交系证明晶面族 (hk

4、l ) 的面间距为 d1( h )2( k )2( l ) 2abc说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证vvvvvvvvv简单正交系 abca1 ai ,a2bj , a3ckvvvvvvvvv2a2a32a3a1a1a2倒格子基矢 b1vvvb2vvvb3 2vvva1a2 a3a1a2a3a1a2a3v2 vv2vv2vb1i , b2bj , b3ckavvvvv2vk2v2倒格子矢量 Ghb1kb2lb3hibjlkac晶面族 (hkl) 的面间距 d2v1( h)2( k )2( l ) 2Gabc面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解

5、理1.9指出立方晶格(111) 面与 (100)面， (111)面与 (110)面的交线的晶向解 (111) 面与 (100) 面的交线的 AB AB平移，vvvA 与 O重合。 B 点位矢 RBaj ak（111）与（ 100）面的交线的晶向uuurvvABajak 晶向指数011(111) 面与 (110) 面的交线的 AB将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢vvvRBaiajuuurvv(111) 面与 (110) 面的交线的晶向ABaiaj晶向指数1102.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2 .证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离

6、子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，于是有r(1)2 1111.jrijr2r3r4r前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为21111.Q l n (1234x2x3x4.x)xx34当 X=1 时，有1111.l n 22l n 22342.3若一晶体的相互作用能可以表示为u( r )r mr nr 0求 1）平衡间距2 ）结合能W（单个原子的）3）体弹性模量4 ）若取m2, n10, r00.3 nm, W4 eV ，计算, 值。

7、解1 ）晶体能 U (r )N (r mr n)2平衡条件 dUmn( n100r0) n mdr r rr0m 1r0n 1m02)单个原子的结合能W1u( r0 )21m )( nmu(r0 )(r n)W(1) n mr mr r2nm0体弹性模量 K(2U3)V2 )V0 V0晶体的体积 VNAr 3 A 为常数， N 为原胞数目晶体能 U (r )N (r mr n)2Nmn1 )1(rm 1rn3NAr222UNrmn1 )12 V22V(m 1rn3NArrr体弹性模量 K(2U )VV0V 202UN1m2n2mnV22 mnmnV V02 9V0r0r0r0r0由平衡条件UN

8、mn1V V2( r0m 1r0n 1 ) 3NAr020V0mnr0mr0n2UN1m2n2V22 mnVV2 9V0r0r00体弹性模量 K(2U)VV0U 0N()V22r0mr0n02UN1m2n2V22mnVV2 9V0r0r002UN1mmn22 mnn VV V02 9V0r0r0mnN nmn （mn）2 mr0r02 9V0r0r02Umn( U0)KU0mnV22VV9V09V004） mn( n11m)( nmr0) n mW(1) n mr0mr0nm2nmW1095102r01.1810eVmr02 10 2W9.010 19 eVm2r02.6 用林纳德琼斯(Len

9、nard Jones) 势计算 Ne 在 bcc （球心立方）和fcc （面心立方）结构中的结合能之比值解1261126u( r ) 4 ( r)( r ) ,u(r )2 N (4 ) An ( r )Al ( r )du(r )0r62 A126u1NA62r0A602A12rbccu(r0 )bcc( A62)/( A6)12.252 / 9.110.957fccu(r0 ) fccA12A1214.452/12.13o2.7 对于 H 2 ，从气体的测量得到Lennard Jones 势参数为50 10 6J,2.96 A.计算 H 2 结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mo

10、l 单位），每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为0.751kJ mo1，试与计算值比较 解 以 H 2 为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：126U 2NiPij12RjPij6R.Pij614.45392;Pij1212.13188,ji10 16 erg,o10 23 / mol .502.96 A, N6.022将 R0 代入 U 得到平衡时的晶体总能量为。122.96628/ mol 50 1016erg12.132.962.55KJ / mol.U 2 6022 1014.453.163.16因此，计

11、算得到的 H 2 晶体的结合能为2.55KJ mol，远大于实验观察值0.75lKJ mo1对于 H 2 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因3.1 已 知 一 维 单 原 子 链 ， 其 中 第j 个 格 波 ， 在 第 n 个 格 点 引 起 的 位 移 为 ，nja j sin(j t _ naqjj ) ，j 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为 kT ，具体计算每个原子的平方平均位移。解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即nnjaj sin( jt naqjj )（ 1）jj2*2nj

12、 g*nnjnjnjnjjjjj j由于njnj 数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以22nnjj由于nj 是时间 t 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期的时间平均值为21T0 2naq j12（ 2）ja j sin( j tj )dta j02T0已知较高温度下的每个格波的能量为kT，nj 的动能时间平均值为Tnj1LT0T0dx001d nj2wj a2jT01dtL2sin(j t naqjj )dt222dt2T0a j4wjLa j0其中 L 是原子链的长度，使质量密度， T0 为周期。所以 T1w2 La21

13、KT（3）nj4jj22因此将此式代入（ 2）式有njKTPL2j所以每个原子的平均位移为22KTnnjPLjj2jKT12PLjj3.2讨论 N 个原胞的一维双原子链( 相邻原子间距为a) ，其 2N个格波解，当 M=m时与一维单原子链结果一一对应解质量为 M的原子位于2n-1， 2n+1 ， 2n+3 。质量为 m的原子位于2n ，2n+2 ， 2n+4 。m&2n(2 2n2n 12 n 1)牛顿运动方程&M(2 2n 12n 22 n )2 n 1体系有 N 个原胞，有2N个独立的方程m&2n(22 n2 n 12n 1 )方程&的解M1(22n12n22n )2n2 nAei t(2

14、 na) q2 n 1Beit (2 n 1) aq(2m2 )A(2cos aq)B0(2cos aq) A(2M2 )B0A , B有非零解 2m 22cosaq02cosaq2M22(mM )4mMsin2111aq 2 mM(mM )2两种不同的格波的色散关系22(m M ) 1 14mM2 sin 21aq 2mM( m M )(m M ) 1 14mMsin 21aq 2mM(m M )2对应一个q 有两支格波：一支声学波和一支光学波总的格波数目为2NM=m长波极限情况下4cos aqm24sin aqm2q0sin( qa)qa(2)q22m与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.

15、3 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于c 和 10 c令两种原子质量相同， 且最近邻间距为a 求在 k 0 和 k处的(k) 大略地画出色散关系 本2a题模拟双原子分子晶体，如H 2 。解a/2C10c?o?o?ous 1vs 1usvsus 1vs 1d2 uMsC Vs 1us10C Vsus，dt 2M d2Vs10C us VsC us 1Vs ,dt 2将 usueisKae i t ,VsVeisKa e i t .代入上式有M2uC 10e ikaV11Cu,M2VC eika10 u11CV ,是 U， v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为M211C

16、, C (10e iKa )=0 ，解出C (eiKa10), M211CM 2422MC220C2 (1conKa ) 02C 1112120 1conKa .M当 K= / a 时当 K=0 时，222C/M,220C/M ,20,22C/M,2 与 K 的关系如下图所示这是一个双原子(例如 H2)晶体3.6计算一维单原子链的频率分布函数()解设单原子链长度LNa波矢取值 q2每个波矢的宽度hNa状态密度Na间隔的状态数dq22NaNadq2 对应 q,取值相同， d间隔的状态数目()d2 Na dq24 sin2 ( aq )一维单原子链色散关系2m2令 040 sin( aq )m2两

17、边微分得到aaqd02cos(2)dqaq2a22ddqcos( )122020da222dqdq2 d0a220代入 ( )d2 Na dq 2 N1d2220一维单原子链的频率分布函数2N1( )2203.7 设三维晶格的光学振动在q=0 附近的长波极限有(q)0Aq2求证：频率分布函数为 f ()V11/ 24 2A3/ 20f ()0 ., 0 ;, 01120时，Aq20 f ( ) 0,0Aq22解00q A0Vr依据 q(q)2Aq, f ()ds，并带入上边结果有32q(q)VrV11/ 2V11/ 2dsAf23q ( q)23 2A24001/ 222A3/ 20h2h22

18、2h22B点能量BK x2K y2aa2, 所以B /A22m2m2ma3.8 有 N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T 2 。证明：在k 到 kdk 间的独立振动模式对应于平面中半径n 到 n dn 间圆环的面积2ndn ，且 2ndnL2kdk5kdk即3s2 d则222 vh2h3smh 2 d3s kBT3hd3s kBT3xD x2dxEE0DkBTkBT2 v20h / kBT2 v2h2Deh / kBT12 v2h2Dex1e1T0时， E T 3, Cv(E ) sT 2T3.9写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限

19、下，自由能为kB T qh qF U 0l n k TB1 h qhq证明 : 量子谐振子的自由能为FUkBTl n 1ekBT2 kBTq经典极限意味着（温度较高）kBT ?hg应用 ex1xx2.hqh qh2所以 e kB Tq.1kBTkBT因此F U1hqUkB Tl nhqhqkBTl n 1 1T0k Tq2qkBB其中 U0U1hqq23.10 设晶体中每个振子的零点振动能为1 h，使用德拜模型求晶体的零点振动能。2证明 : 根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能 E0就是各振m13V2动模零点能之和。E00E0gd 将 E0h和 g23代入积22

20、vs分有 E03V42vs3m169 hNm ，由于 h mkB D 得 E09 NkB D88一股晶体德拜温度为10 2 K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟3.11 一维复式格子m 5 1.67 10 24 g , M4,1.5101 N / m (即1.51 10 4 dyn / cm),m00A求（ 1），光学波 max ,min ，声学波max 。（ 2），相应声子能量是多少电子伏。（ 3），在 300k 时的平均声子数。0（ 4），与max 相对应的电磁波波长在什么波段。解 （1），Amax221.5 104 dyn / cm3.0013s1,M45

21、1.67 102410o2 Mm21.51044551.67 1024 dyn / cm6.701013s1maxMm451.6710 2451.6710 24A22 1.5104 dyn / cm5.9913s1maxm5 1.67102410hmaxA6.5810（ 2） hmaxo6.5810hmino6.5810165.991013 s 11.9710 2 eV166.701013 s 14.4110 2 eV163.001013 s 13.9510 2 eV（ 3） nmaxA10.873,nmaxO10.221ehAehOmax / kB T1max / kBT1nminOO10.276eh min/ kBT1（ 4）2c28.1m4.1 根据 k状态简并微扰结果，求出与E 及 E 相应的波函数及。说明它们a都代表驻波，