静电场环路定理电势及其与场强关系

1、静电场的性质：静电场的性质： 1）电荷在电场中受到电场力）电荷在电场中受到电场力 电场强度电场强度 2）当电荷在电场中移动时，）当电荷在电场中移动时， 电场力要对电荷作功。电场力要对电荷作功。 电势能电势能 E W 从库仑定律和场强叠加原理出发，可以证明，静电场从库仑定律和场强叠加原理出发，可以证明，静电场 力对电荷所做的功与路径无关，说明静电场是保守场，力对电荷所做的功与路径无关，说明静电场是保守场， 可以引入电势能的概念。在此基础上，还可以引入描可以引入电势能的概念。在此基础上，还可以引入描 述静电场的另一个状态量述静电场的另一个状态量电势。电势。 静电场的环路定理电势能静电场的环路定理电

2、势能 (7.4) Circulation Theorem of Electrostatic Field and Electric Potential Energy E 一、静电场力所做的功一、静电场力所做的功: Q 0 q dAF dl 0 3 0 () 4 q Qr r r d r r 0 q E dr 1、点电荷的电场中、点电荷的电场中: 0 3 0 () 4 () b a b b r a r ra r q Qrr AdA rr d rr 在点电荷的静电场中移动电荷在点电荷的静电场中移动电荷q0 时，电场力做的功只时，电场力做的功只 与与q0的始末位置有关，而与路径无关。的始末位置有关，而

3、与路径无关。 a b r r dr rdr O 00 3 00 ) 4 1 4 (1 b a r a r rr b q Qrrrd rr q r Q rr r r 0 03 0 () 4 ii i i q Qrr Fq E rr 2、点电荷系的电场中、点电荷系的电场中: 0 3 0 () () 4 bbi iaa rr i ab r i i r i rr i q Qr AF d r rrd r rr 0 0 11 4 i ibi i a rr Q r q r 2、连续分布电荷的电场中、连续分布电荷的电场中: 0 0 ( )11 4 b b Va a r r dV r Aq rr 静电场力可对处

4、于其中的电荷做功静电场力可对处于其中的电荷做功静电场具有能量；静电场具有能量； 静电力做功只与场点的起止位置有关，而与路径无关。静电力做功只与场点的起止位置有关，而与路径无关。 ( )() abba AW rW r 都可写成形式 0 l EEdl 静静 的环流 A B C D 000 ABCADCCDA q E dlq E dlq E dl 0( )0 ABCCDA AqE dlE dl 环路 二、静电场的二、静电场的环路定理环路定理: 静电力做功只与移动的起止位置有关，而与路径无关。静电力做功只与移动的起止位置有关，而与路径无关。 在静电场中沿在静电场中沿任意任意闭合环路移动闭合环路移动 任

5、意任意电荷时，静电场对电荷所做电荷时，静电场对电荷所做 的功的代数和总是为的功的代数和总是为0。 静电场的静电场的 环路定理环路定理 利用数学中利用数学中Green定理，则定理，则 () () L S L V dlVdS 围成 静电场的环路定理静电场的环路定理 的微分形式的微分形式0E 静 静电场无涡旋；即静电场无涡旋；即 电场线不形成回路电场线不形成回路 静电场的两条基本定理静电场的两条基本定理 （反映真空中静电场的两条特性）（反映真空中静电场的两条特性） 注意：一般地，如果电场包含有非静电场，则不是保守场。注意：一般地，如果电场包含有非静电场，则不是保守场。 定理 高斯定理 (关于场强的通

6、量) 环路定理 (关于场强的环流) 积分形式 微分形式 物理含义 0 1 S S V E dSdV 内 0 E 0 l Edl 静 0E 静 静电场是保守场静电场是保守场 （静电场是无旋场）（静电场是无旋场） 静电场是有源场静电场是有源场 静电场是保守场，静电力是保守力；故可引入势能。静电场是保守场，静电力是保守力；故可引入势能。 关于静电场力的功能原理：关于静电场力的功能原理： 前知，静电力所做的功可写成前知，静电力所做的功可写成 0 ( )( ) b abba a Aq E dlW rW r AW 三、三、电势能电势能 (Electric Potential Energy) : 其中函数其

7、中函数 称为电荷在电场中的电势能。称为电荷在电场中的电势能。( )W r 0 q E 注意：注意： 电势能反映电荷在静电场中特定位置处的势能，电势能反映电荷在静电场中特定位置处的势能， 它与电荷所处在静电场中的位置有关；它与电荷所处在静电场中的位置有关； 电势能是系统的能量，属于电荷与静电场共有；电势能是系统的能量，属于电荷与静电场共有； 电势能也存在零点选择问题。电势能也存在零点选择问题。 视方便而选；常选无穷远处为视方便而选；常选无穷远处为0 (积分路径任选积分路径任选) 电荷电荷 q 在静电场中点处的电势能在静电场中点处的电势能:r ( )( ) r WqE rdrr 势能零点 数值上等

8、于把电荷从该点移到势能零点过程中静电力数值上等于把电荷从该点移到势能零点过程中静电力 对该电荷所做的功。对该电荷所做的功。 例：电荷例：电荷q0 在点电荷在点电荷Q产生的静电场中的电势能产生的静电场中的电势能 (无穷远处为无穷远处为0)： 0 0 ( ) 4 Q qr Q W rr 比值与比值与q0的大小无关，仅取决于的大小无关，仅取决于 电场的性质及场点的位置。电场的性质及场点的位置。 电势：单位正电荷在场点处所具有的电势能。电势：单位正电荷在场点处所具有的电势能。 电势（电势（Electric Potential） 7.4 一、一、电势电势的定义的定义: ( )U r 0 ( )W r q

9、 注：注： 电势是静电场的属性，与产生该电场的电荷源电势是静电场的属性，与产生该电场的电荷源 有关，但与场中的试验电荷无关；有关，但与场中的试验电荷无关； ( )( ) r UE rdrr 电势零点 (积分路径任选积分路径任选) 电势有相对性，需要选择零点电势有相对性，需要选择零点(常取地球、仪器常取地球、仪器 外壳、无穷远处等为电势零点外壳、无穷远处等为电势零点)； 电势的单位：电势的单位：V. 能量单位能量单位eV的由来的由来 ( ) b a r baba r UUUE rdr （电势差与电势零点的选择无关。）（电势差与电势零点的选择无关。） 电势电势差（电压）差（电压）: 二、二、电势电

10、势的计算的计算: 1、点电荷的、点电荷的电势电势: (以无穷远处为以无穷远处为0) 0 3 0 4 ( ) 4 r Q Q Q r Q dr r r Q r r r r U 讨论讨论 对称性：以对称性：以Q为球心的同一球面上各点的电势相等为球心的同一球面上各点的电势相等 00; ,QUrUrU : ，处最小 00; ,QUrUrU: ，处最大 2、电势电势叠加原理叠加原理: i i EE i i UE dlU 场点 零点 （矢量叠加）（矢量叠加）（标量叠加）（标量叠加） 点电荷系的点电荷系的电势电势: 点电荷系的电场中某点的电势，等于各点电荷单独点电荷系的电场中某点的电势，等于各点电荷单独 存

11、在时在该点的电势的代数和。存在时在该点的电势的代数和。 0 1 ( ) 4 i i i Q r U r r 连续分布电荷的连续分布电荷的电势电势: 0 1 ( ) 4 ( ) V rV r d r r U 已知场强分布时已知场强分布时, 2）电势叠加法）电势叠加法: 当带电体为无限大时，只能用该方法计算当带电体为无限大时，只能用该方法计算 UE dl 场点 零点 场点 步骤：步骤： (1)先求场强分布先求场强分布; (2)选择合适的路径选择合适的路径; (3)计算积分计算积分. 1）场强积分法）场强积分法 3、电势计算的方法：电势计算的方法： 已知源电荷分布已知源电荷分布(有限尺寸有限尺寸)时

12、时,各源的电势标量叠加各源的电势标量叠加 0 1 ( ) 4 i i i Q r U r r 0 (1 4 ) V r d r V r 例例 求均匀带电圆环轴线上的电势分布。求均匀带电圆环轴线上的电势分布。 (已知：已知：R、q ) 解：解： 方法一方法一 点电荷电势点电荷电势 + 电势叠加原理电势叠加原理 r dq dU 0 4 dUU dq r q 0 0 4 1o x R q x dq dU r 2122 0 4 / )(Rx q 方法二方法二 场强积分法场强积分法 由前由前, 电场强度的分布电场强度的分布 223 2 0 4() qx E xR 3 22 2 0 4() x qxdx

13、xR ( )( ) x U xE x dx 22 0 4xR q 零零点点 p p l dEU o x R q P x 例题例题 无限长带电直线，电荷线密度为无限长带电直线，电荷线密度为 ，求电势分布。，求电势分布。 o r P 解：解： r E 0 2 P P l dEU 若选无穷远为电势若选无穷远为电势 0 点，点， ( ) r E r dr dr r r 0 2 r )ln(lnr 0 2 B B r 无意义无意义 当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在 无穷远处。无穷远处。 0 2 B Br P Pr UE dldr r r rB ln

14、 2 0 选取某一距带电直导线为选取某一距带电直导线为rB 的的B点为电势零点，点为电势零点， 例题例题 在正方形四个顶点上各放置在正方形四个顶点上各放置 带电量为带电量为+q的四个的四个 点电荷，各顶点到正方形中心点电荷，各顶点到正方形中心O的距离为的距离为r。求：。求： （1）O点的电势；（点的电势；（2）把试探电荷）把试探电荷q0从无穷远处移到从无穷远处移到 O点时电场力所作的功；（点时电场力所作的功；（3）电势能的改变。）电势能的改变。 解：解： 4 1 0 4 i i i O r q U r q r q 00 4 4 q q o （1）根据电势迭加原理）根据电势迭加原理 （2）根据电

15、势差的定义）根据电势差的定义 0 q A UU O O )( OO UUqA 0 O Uq0 r qq 0 0 （3）根据）根据() abba AWWW OOO AWWW r qq 0 0 r q q 解： 例题： 设有无限长同轴圆柱面，内外柱半径设有无限长同轴圆柱面，内外柱半径RA 、RB，均匀，均匀 带电等量异号。带电等量异号。求电场分布；求电场分布； 若已知若已知 UAB ，求，求 电荷密度电荷密度？ 由高斯定理由高斯定理 0 , 2 0, AB RrR rE 其其它它 B A R AB R UE dl 0 2 B A R R dr r 由此求解出由此求解出值值 0 ln 2 B A R

16、 R A R B R 0 (2)/ln B AB A R U R 如图已知如图已知+q 、-q、R。求：单位正电荷求：单位正电荷 沿沿odc 移至移至c ，电场力所作的功，电场力所作的功。 将单位负将单位负 电荷由电荷由移到移到 o 点过程中电场力所作的功点过程中电场力所作的功。 解： 练习题: q q RRR o d ab c 0( ) ococ Aq VV ： 0( )0 Oo Aq VV 0 1 ()0 4 O qq V RR 0 1 () 43 C qq V RR 0 6 q R 0 0 6 qq R 由点电荷电势公式由点电荷电势公式 及电势叠加原理：及电势叠加原理： 思考：思考： 如

17、电荷是从其它路如电荷是从其它路 径从径从 O 移到移到 C, 电电 场力做功场力做功AOC = ? 1. 等势面等势面 电场中电势相等的点组成的曲面电场中电势相等的点组成的曲面 静电场场强与电势的关系静电场场强与电势的关系(7.5) 为了直观反映空间电势的分布，规定：为了直观反映空间电势的分布，规定： 任意两相邻等势面间的电势差相等。任意两相邻等势面间的电势差相等。 P P UE dl 零点 场强与电势间的积分关系场强与电势间的积分关系 点电荷的等势面点电荷的等势面 两平行带电平板的电场线和等势面两平行带电平板的电场线和等势面 一对等量异号点电荷的电场线和等势面一对等量异号点电荷的电场线和等势

18、面 2）等势面与电场线处处正交，电场线）等势面与电场线处处正交，电场线 指向电势降低的方向。指向电势降低的方向。 3）等势面较密集的地方场强大，较稀疏的）等势面较密集的地方场强大，较稀疏的 地方场强小。地方场强小。 cos0 I dAE dl Edl Edl 1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，静在静电场中，沿等势面移动电荷时，静 电场力不做功：电场力不做功：0 00 b a abab Uql dEqA E a b l d n U UdU 2. 电势梯度电势梯度 cosEdldU 单位正电荷从单位正电荷从 a到到 b电场力的功电场力的功 电场强度沿某电场强度沿某 一方向的分量一方向的分量 沿该

19、方向电势的变化沿该方向电势的变化 率率(方向导数方向导数)的负值的负值 l E 方向上的分量方向上的分量 在在E dl 从图上可看出，电势沿等势面法线方向的方向导数从图上可看出，电势沿等势面法线方向的方向导数 最大，这个最大方向导数称为最大，这个最大方向导数称为“梯度梯度”。 ()UUdU cosE dlEdl l E dldU l dU E dl p l dE F dl 似 一般，各坐标轴向方向导数一般，各坐标轴向方向导数 3. 静电场场强与电势梯度的关系静电场场强与电势梯度的关系 注：上式仅对静电场时才成立！一般地，注：上式仅对静电场时才成立！一般地， ( , , )UU x y z ,

20、x U E x , y U E y z U E z 其中梯度算符其中梯度算符 ijk xyz A EU t EU 静 BA 方向与方向与U 的梯度反向的梯度反向, 即指向电势降落的方向即指向电势降落的方向E （场强与电势间的微分关系场强与电势间的微分关系） 例题例题 利用场强与电势梯度的关系，利用场强与电势梯度的关系， 计算计算 均匀带电细圆环轴线上任意点的场强。均匀带电细圆环轴线上任意点的场强。 解：解： 22 0 1 4 q Rx ( )UU x 3 22 2 0 1 4 () qx Rx 22 0 1 () 4 q x Rx x U E x 0 yz EEx EE i 3 22 2 0 1 4 () qx i Rx 真空中的静电场小结真空中的静电场小结 EU 一、一、 基本概念：场强和电势基本概念：场强和电势 0 q F E UE dl 场点 场点 零点 b ab a UUE dl 两者的关系：两者的关系： a a UE dl 零点 EU ， （积分）（积分） （微分）（微分） 场强场强电势电势电势差电势差 二、基本规律和基本定理二、基本规律和基本定理 12 3 0 4 q qr F r 库仑定