word完整版双曲线知识点总结及练习题推荐文档

1、、双曲线的定义1、第一定义:到两个定点Fi与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|FiF2|）的点的轨迹(|PFi| PF22a F1F2 ( a为常数)）。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a |FiF2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线a2I （准线一）的距离之比是常数e（e 1）时，这个动c点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程b2c2 ax2焦点在x轴上：冷a2 y b2(a 0,2焦点在y轴上：笃ax2(a 0,b 0)（1）如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上

2、；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。a不一定大于bo判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上2 2(2)与双曲线笃爲a b21共焦点的双曲线系方程是 仝一a2 k(3 )双曲线方程也可设为:2L 1(mn 0) n顶点坐标(a,0)(a,0)(0, a,) (0，a)离心率准线方程2 a y T准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离:2a2e c(e 1), c2 a2 b2, e越大则双曲线开口的开阔度越大a2顶点A ( A2)到准线l1 (I2 )的距离为a工顶点到准线的距离c2顶点A ( A2)到准线

3、l2 ( h )的距离为ac焦点F1 ( F2)到准线l1 ( l2 )的距离为c兰E焦点到准线的距离c c焦点Fi( F2)至线12( I1)的距离为兰cc渐近线方程y bx (虚),少少 a 实a 和 a将右边的常数设为 0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系方程2 2x y存 k (k 0) a b直线和双曲线的位置过双曲线上一点的切X2双曲线笃a2x 利用a221与直线y kx b的位置关系: b22匕1b2转化为一元二次方程用判别式确定。kx b二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB通径:的弦长 |ab| 7l k(x1X2)2 4x1X2ab| 卜2

4、yi2b2与椭圆一样a弩与 1或利用导数a b岁寻1或利用导数四、双曲线的参数方程:x a secy b tan椭圆为x a cosy b sin五、弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A (xi,yi) B (X2,y2)两点，则仆占y1 y2 21 21+卩 V y1 y24%丫2221+kx, x21+k2_X2 2_4x1x2k为直线斜率提醒解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的 思想方法。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长I AB |2b2oa3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点

5、弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦半径公式2双曲线务a2每 1 (a0, b0) 上有一动点 M(x0,y0)b左焦半径:r= I ex+a |右焦半径:r= I ex-a |当 M(X0,y0)在左支上时 |MF1| ex0 a ,| MF2 |当 M(X0,y0)在右支上时 |MFi| exo a ,| MF21 exo左支上绝对值加-号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则:(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算,|mFi| exo a而双曲线不带符号)构成满足|mF 1 |mF 2 2aI MF 2 ex0 a注：焦半径公式是关于 xo的一次函数，具

6、有单调性，当 M(xo,yo)在左支端点时|MFi| c a ,I MF2I c a，当 M(X0,y0)在左支端点时 | MR | c a , | MF2 | c a七、等轴双曲线2 2罕 y- 1 (a0, b0)当a b时称双曲线为等轴双曲线 a2 b22。离心率e J2 ；3。两渐近线互相垂直,分别为 y= x ；4。等轴双曲线的方程八、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线。九、1、2 y b2点与双曲线的位置关系,点与双曲线2xP(xo, yo)在双曲线pa2xP(xo,yo)在双曲线pax2P(xo,yo)在双曲线

7、p a互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:直线与双曲线的位置关系1(a0,b0）的内部2勺2aYq2 x 2 a2y_ 0 b2代值验证，如x2 y212 y b22 y b21(a1(a0,b0,b0）的外部0)上2Xo2a2X02a2y0b2直线与双曲线代数法:设直线l : y kxm，双曲线2xa2咅 1(a0,b0）联立解得(b2a2k2)x22a2mkxa2m22ca b0(1)0时,(2)mP，ka0时,-k aB，或ab，直线与双曲线交于两点a（左支一个点右支一个点）k不存在时，直线与双曲线没有交点;a若 b2a2k20，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8、2(2a mk) 4(b a k )( a m a b ) 4a b (m b a k )0时，m2 b2 a2k2 0 ,直线与双曲线相交于两点；0时，m2 b2 a2k2 0 ,直线与双曲线相离，没有交点；k存在时，若交2. 2a k-，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点;b20时 m2b2 a2k20 ,k22 .m b2 a2-直线与双曲线有一个交点；相切k不存在， a m a时，直线与双曲线没有交点;m a或ma直线与双曲线相交于两点;十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为2b- 1(a 0，b0)渐近线方程:2 x2 a2、(a 0,若双曲线方程为b 0)渐近线方程

9、:2 y2 a3、若渐近线方程为X_ya b2x0 双曲线可设为二a4、2x若双曲线与飞a1有公共渐近线，则双曲线的方程可设为2 x 2 a0 ,焦点在x轴上,0，焦点在y轴上)卜一、双曲线与切线方程2 21、双曲线-y 21(aa bXqXy。y0,b 0)上一点P(x0, y0)处的切线方程是22a b1。2x2、过双曲线a2yJ 1(a 0,b 0)外一点P(X0,y0)所引两条切线的切点弦方程是2baXqXYcy2x3、双曲线一2a2c2。冷1(a0,b 0)与直线Ax By C 0相切的条件是A2a2 B2b2b椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积

10、为K时得到不同的曲线。椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55 1、A、B两点在X轴上时(1)当斤0时轨迹是双曲线，除去乩B两点，与双曲线的标准方程4-4=1*比较知八I所以G bC(2)当(=-1时轨迹是圆+除去人B两点;(3)当-収kco时，轨迹是焦点落在送轴上的椭圆，除去乩护B两点，其中疋；当g-l时，轨迹是焦点落在y轴上的椭圆，除去A, B两点，其中k一 ?.2、A、B两点在丫轴上时结纶3设点Ar B的坐标分别为(Q-边(Qdh直线AM,2BM相交于点比且它们的斜率之积是所求点M的轨谡方程是务十卜IgO) fl结沦4设点AB的坐标分别为直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率

11、之枳是2#，所求点M的2轨迹方程是 才斧1(叭十三、面积公式双曲线上一点 P与双曲线的两个焦点2S PFt F2 b cot 2面积公式推导：解：在PF1F2中，设 FiPF2构成的二角形 称之为双曲线焦点二角形,COS|PFi|2 p F2I2 IF1F22|PF1I IPF2,PFi ri, PF2 2，由余弦定理得(ri 2)2212 4c2(2a)2 2r1r2 4c22rir22汀212 2(c2 a2)2b2rir2rir22b2即 r1r22b21 cosb2= b2cot 1 cos2 S 卩时2jriDsin1 2b2sin2 1 cos椭圆上一点与椭圆的两个焦点F1, F2

12、构成的三角形PF1F2称之为椭圆焦点三角形.Sp F1F2 b2ta n-面积公式推导解：在 PF1F2中，设，PFi ri，PF22，由余弦定理得2 2 2PF1PF2F1F22|pfJ PF2F1PF2cosr；(2c)22ri2(ri D)22印2 4c2(2a)22也22r, r2 4c224(a2 c2) 2订22晁2b2 卬2防2- r1r2 cos 2b2即 r1r22b21 cosPFiF21 . rir2 sin 21 2b2sin2 1 cosb2= b2 tan - .1 cos2kOMb22 a十四、（双曲线中点弦的斜率公式）:2 2设M（X0,y0）为双曲线 务 占1

13、弦AB （ AB不平行y轴）的中点，则有Raba b证明：设A(X,yi)，B(X2,y2)，则有 Rab 生丄XiX22Xa2a2yiyfb两式相减得:2 2XiX22a2 2yiy20整理得:2 2.2b2，即XiX2 a(yiy2)(yi y2)(Xl X2)(X X2)b2，因为M (xo, yo)是弦AB a的中点,所以koMyXo.2，所以 kAB kOMX,X2a椭圆中线弦斜率公式2a双曲线基础题)双曲线2x2 y2= 8的实轴长是(2 B . 2 羽 C.2.设集合x,Q = (x, y)|x 2y+ 1 = 0，记 A = Pn Q,则集合 A 中元素的个数是(A .2“ E

14、=1的焦点到渐近线的距离为()1692 B. 3 C. 4 D . 54.双曲线7-9 = 1的共轭双曲线的离心率是 3.C .X2双曲线x能力提升5 .中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4, 2)，则它的离心率为()a/6 B.V5 C.爭 D.爭X2 y2x2 n = 1(a0)的渐近线方程为3x2y= 0,贝U a的值为(a 9C . 2 D . 16.设双曲线4 B. 3x2 y2从L = 1(其中m, n 1,2,3)所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、m n则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()1423込巧逅D.4 y2 X2片=1的渐近线与圆(x 3)2 +

15、 y2= r2(r0)相切，则r =(633 C. 4 D. 67.抛物线)方程中任取一个,9. 如图B为焦点且过点3K51 1 ,在等腰梯形 ABCD 中，AB / CD 且 AB= 2AD，设/D的双曲线的离心率为 e1，以C、D为焦点且过点 A的椭圆的离心率为DAB = 0, 0 0, 2，以 A、e2,贝U e1 2 =x2 y210.已知双曲线右支有且只有一个交点，11 . 已知双曲线 曲线的方程为x2 七=1(a0 , b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的a b则此双曲线离心率的取值范围是 .02 令=1(a0 , b0)的一条渐近线方程为 y = d3x,它

16、的一个焦点为 F(6,0)，则双12 . (13分)双曲线C与椭圆27 + 36= 1有相同焦点，且经过点(锁,4).(1)求双曲线C的方程；若F1, F2是双曲线C的两个焦点，点 P在双曲线C上，且/ FiPF2= 120 求 FiPF2的面积.难点突破13 . (1)(6分)已知双曲线 羊一y2= 1和椭圆m2+羊=1(a0 , mb0)的离心率互为倒数，那么以 a,b, m为边长的三角形是()A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形或钝角三角形(2)(6分)已知Fi、F2为双曲线C： X2 y2= 1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且/ FipF2= 60 则 |

17、PFi| |PF2|=()A . 2 B . 4 C. 6 D. 8双曲线综合训练一、选择题（本大题共 7小题，每小题5分，满分35分）1.动点P到点M（1,0）及点N（3,0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（A 双曲线2 设双曲线的半焦距为B .双曲线的一支C.两条射线D .一条射线c，两条准线间的距离为d，且c d，那么双曲线的离心率 e等于（3 .过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦 PQ，F1是另一焦点，若/ PF1Q 2，则双曲线的离心率e等于（A .701B .近 C. 72 1 D. 724.双曲线mx211的虚轴长是实轴长的2倍，则m5.双曲线面积为1,)1D .42X2a1

18、(a,b0）的左、右焦点分别为Fi, F2,点P为该双曲线在第一象限的点, PF1F2且 tan PF1 F21,tan2PF2F12,则该双曲线的方程为（12x2A.53y25x2123y21C2C. 3x12y25X26.若F1、F2为双曲线2 X 2 a2与 1的左、b2右焦点，O为坐标原点，点 P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足FQ PM,0P0F10M ） （0），则该双曲线的离心率为（|OmA .运27 .如果方程P1表示曲线，则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是2A .2q P2B .2q P2p q q2D .2p qy2q二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，

19、满分15 分）18双曲线的渐近线方程为x 2y 0,焦距为10，这双曲线的方程为O2x9 .若曲线42yrk1表示双曲线，则k的取值范围是10.若双曲线1的渐近线方程为y，则双曲线的焦点坐标是2三、解答题:（本”大题共2小题，满分30分）11.（本小题满分10分）双曲线与椭圆有共同的焦”点F1（0, 5）,F2（O,5），点P（3,4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与 椭圆的方程。12.（本小题满分20分）已知三点P ( 5, 2)、 F1(-6, 0)、F2 (6, 0)。（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;（2）设点P、F1、F2关于直线y = x的对称u点分别

20、为P、F；、F2，求以F；、F2为焦点且过点 P的双曲线的标准方程U.【基础热身】X2 y21. C 解析双曲线方程可化为 y 1= 1，所以a2 = 4，得a= 2，所以2a = 4.故实轴长为4.48x212. B解析由于直线x 2y+ 1 = 0与双曲线一y2=1的渐近线y = -x平行，所以直线与双曲线只B.有一个交点，所以集合 A中只有一个元素.故选2 2(5,0), 一条渐近线是3x 4y= 0,由点到直线的距离公3. B 解析双曲线話一9 = 1的一个焦点是 式可得d= QX 5- 0| = 3.故选B.2 29冷=1，所以a= 3, b = 7,所以c= 4，所以离心9754.

21、4 解析双曲线V % = 1的共轭双曲线是3 79率 e= 4.【能力提升】2 2x,因为点(4，5. D 解析设双曲线的标准方程为 02器=1(a0, b0)，所以其渐近线方程为y= 2)在渐近线上，所以b 1.根据c2= a2+b2,可得-二=1解得e2= 5所以e=，故选D.a 2a 4422236. C 解析根据双曲线 拿一y9 = 1的渐近线方程得：y=ax，即ay3x= 0.又已知双曲线的渐近线 方程为3x2y = 0且a0,所以有a= 2,故选C.7. B 解析若方程表示圆锥曲线，贝y数组(m, n)只有7种：(2, 1), (3, 1), ( 1, 1), (2,2),4(3,

22、3), (2,3), (3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P = 7.故选B.8. A 解析双曲线的渐近线为 y=2x,圆心为(3,0)，所以半径r = 1 233 0|=/6.故选A.9. 1 解析作DM丄AB于M，连接BD，设AB= 2，贝U DM = sin 0,在Rt BMD中，由勾股定理 得 BD = 5 4cos 0,所以e1二 ,l|BD| |AD| 寸 5 - 4COS 1|CD|2 2COS0心、C ,e2= MMz=，所以 e1 e2= 1.AC1 + |AD| 5 4cos0+ 1|AB|2|_10 . 2 , +8 )解析依题意，双曲线的

23、渐近线中，倾斜角的范围是60 90 ,所以- tan60 =3, a即 b23a2, c24a2，所以 e2.11.x9 27= 1解析a= 3，即 b=3a，而c= 6,所以b2 = 3a2=3(36 b2),得b2= 27,a2=9,所以双曲线的方程为27= 1.12 .解答椭圆的焦点为 Fi(0, 3), F2(0,3).设双曲线的方程为 羊= 1,贝y a2+ b2= 32= 9.又双曲线经过点215, 4)，所以学15 = 1，解得 a2= 4, b2= 5 或 a2= 36, b2= 27(舍去),所以所求双曲线 C的方程为 7 = 1.45(2)由双曲线C的方程，知a= 2, b

24、 = V5, c= 3.设 PF1|= m, |PF2|= n,贝U |m n|= 2a = 4,平方得 m2 2mn+ n2= 16.在 FjPF2 中，由余弦定理得(2c)2 = m2+ n2 2mncos120= m2+n2+mn= 36.由得mn = 20所以 Fipf2 的面积为 S= 2mnsin12O 二53.【难点突破】13 . (1)B (2)B 解析依题意有也工 mb = 1，化简整理得a2+ b2= m2,故选B.2|P Fill PF2|=|PFi| |PF2| 2 |FiF2|2 + 2|PFi| |PF2|(2)在 FiPF2中，由余弦定理得, cos60 = |P

25、 F112+ |P F2|TFiF2122|PFi| |PF2|4a2 4 c2 4b2=+ 1 =+ 12|P Fill PF2|2|P Fill PF2|因为 b = 1,所以 |PFi| |PF2|= 4.故选 B.一、选:择题1 . DPMPN 2,而 MN 2 ,P在线段MN的延长线上2. C2a22222 CC,C 2a ,e 2,eCa3. C PF1F2是等腰直角三角形，PF2F1F22c,PF1272cPF1PF22a,2V2c 2c 2a,ec1近1a忑14. A.5. A【思路分析】：设 p（X0, y。）,则-y。1y0J2, cy01,X0 CX0 C73C , X02【命题分析】:考察圆锥曲线的相关运算【思路分析】：由R0 PM知四边形FjOMP是平行四边形，又0P0M|0m*）知0P平分F1OM，即ROMP是菱形，设OF1 C,则PF,又I P